Mathematik Für Wirtschaftswissenschaftler Lineare Algebra Und Ökonomische Anwendung

ISBN-13: 9783531111421 / Niemiecki / Miękka / 1972 / 332 str.

Siegmar Stoppler

Opis

Die Komplexitat, Undurchschaubarkeit und Lebendigkeit der wirt- schaftlichen Erscheinungen lassen jeden Versuch, sie zu beschreiben und zu anaysieren, zu einer Suche nach den "wesentlichen" Zusam- menhangen werden. Vielleicht findet man dann derartige Beziehungen, die fur eine Darstellung einfach genug sind, die jedoch bei einer rein verbalen Darstellung nur in unmittelbarem Bezug zu dem empi- risch Erfaten verstanden werden konnen. Die Aufdeckung von Wider- spruchen, die sich infolge der ungenauigkeit der Sprache einschlei- chen konnen, oder die Ableitung der dem Sachverhalt innewohnenden Konsequenzen werden durch das anschauliche Verstandnis der Begriffe und die Intuition sehr erschwert oder sogar unmoglich gemacht. Die Mathematik mit ihren spezifizierten, trocken anmutenden Strukturen erscheint den lebendigen okonomischen Beziehungen gegenuber zunachst als armselig oder gar unbrauchbar. Es hat sich aber gezeigt, da sich im Bereich der quantifizierbaren Groen (und nicht nur dort) die ver- bal beschriebenen Zusammenhange auch mathematisch darstellen lassen mit zusatzlichen Vorteilen. Der Bezug zum Anschaulichen wird durch die weitere Abstraktion zunachst aufgehoben. Auf dieser abstrakten Ebene ist es moglich, sowohl die Widerspruche oder Trivialitaten leichter zu erkennen, als auch nach den mathematischen Regeln (deren Anwen- dung infolge der Identifizierung der okonomischen mit der mathema- tischen Struktur gerechtfertigt ist) Folgerungen abzuleiten, fur die der Bezug zur Realitat wieder hergestellt werden kann. Die Mathematik ist dabei nichts weiter als eine prazise, fur viele okonomische Pro- bleme geeignete Sprache.

Spis treści

I.- 1. Einführung in Grundbegriffe und Probleme der Linearen Algebra.- 1.1. Linearität.- 1.1.1. Linearformen und lineare Funktionen.- 1.1.2. Lineare Gleichungen.- 1.1.3. Operationen mit Linearformen und linearen Gleichungen.- Aufgaben zu 1.1. Die Umsatzfunktion zu Einer Linearen Preis-Absatz-Funktion.- 1.2. Lineare Gleichungssysteme.- 1.2.1. Problemstellung.- 1.2.2. Systematische Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme.- 1.2.3. Geometrische Interpretation der Lösung linearer Gleichungssysteme.- 1.2.4. Lineare homogene Gleichungssysteme.- 1.2.5. Lineare inhomogene Gleichungssysteme.- Aufgaben zu 1.2. Ein Mischungsbeispiel.- 1.3. Vektoren im Rn.- 1.3.1. Definition, Operationen und Regeln.- 1.3.2. Lineare Gleichungen in n-Vektoren.- 1.3.3. Skalarprodukt, Norm und Abstand im Rn.- Aufgaben zu 1.3. Ein Beispiel zur Listenverarbeitung in Einer Bank.- 1.4. Ein Beispiel der Linearen Programmierung.- 2. Mathematische Grundlagen.- 2.1. Aussagenlogik.- 2.1.1. Aussagen und Wahrheitswert.- 2.1.2. Operationen mit Aussagen.- 2.1.3. Implikation und Äquivalenz.- 2.1.4. Beweisverfahren.- 2.1.5. Zusammenfassung von Gesetzen der Aussagenlogik in der Aussagenalgebra.- Aufgaben zu 2.1. Analyse Einfacher Ökonomischer Sätze.- 2.2. Mengenlehre.- 2.2.1. Mengen.- 2.2.2. Mengenoperationen.- 2.2.3. Quantoren 5.- 2.2.4. Beziehung zwischen Aussagen- und Mengenalgebra. Der strukturelle Aspekt.- Aufgaben zu 2.2. Erfassung Eines Netzplans und Auftretende Probleme.- 2.3. Algebraische Strukturen.- 2.3.1. Struktur mit einer Operation: Gruppe.- 2.3.2. Strukturen mit zwei Operationen (+ und ·): Körper und Ring.- Aufgaben zu 2.3. Der Minimale Transportweg in Einem Reihenfolgeproblem.- 3. Der Lineare Vektorraum.- 3.1. Lineare Vektorräume und Unterräume.- 3.1.1. Definition des Vektorraums und Beispiele.- 3.1.2. Der (lineare) Unterraum eines Vektorraums.- 3.2. Linearkombinationen. Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- 3.2.1. Linearkombination und Erzeugung von Unterräumen.- 3.2.2. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- 3.3. Basis und Dimension.- 3.3.1. Basis und Austauschsätze.- 3.3.2. Basis und Dimension.- 3.3.3. Summenraum und Dimensionssatz.- 3.4. Die Lösbarkeit Linearer Gleichungen und Gleichungssysteme.- 3.4.1. Lineare Gleichungen im allgemeinen Vektorraum.- 3.4.2. Lineare homogene Gleichungen.- 3.4.3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 3.5. Lineare Gleichungssysteme.- 3.5.1. Der Rang einer Matrix.- 3.5.2. Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix.- 3.5.3. Die Lösbarkeitskriterien eines linearen Gleichungssystems.- 3.5.4. Basislösungen.- Aufgaben zu 3. Weitere Analyse des Mischungsproblems.- 4. Matrizenrechnung.- 4.1. Matrizen und Operationen.- 4.1.1. Begriff der Matrix.- 4.1.2. Addition von Matrizen und Multiplikation von Skalaren.- 4.1.3. Matrizenmultiplikation.- 4.1.4. Spezielle Matrizen.- 4.1.5. Transposition und Symmetrie.- 4.1.6. Blockmatrizen.- Aufgaben zu 4.1. Problem der Materialverflechtung in Einem Betrieb.- 4.2. Reguläre und Singuläre Matrizen, Inverse.- 4.2.1. Regulärität und Singularität.- 4.2.2. Inverse einer Matrix.- 4.2.3. Gaußscher Algorithmus zur Berechnung der Inversen.- 4.2.4. Orthogonalmatrizen. Inverse von Blockmatrizen und andere spezielle Inverse.- 4.2.5. Matrizenreihen und Leontief-Inverse.- Aufgaben zu 4.2. Ein Problem der Input-Output-Rechnung.- 4.3. Determinanten und Matrizen.- 4.3.1. Definition und Eigenschaften.- 4.3.2. Determinante, Rang und Inverse, Cramersche Regel.- 4.3.3. Weitere skalare Funktionen auf Matrizen: Spur.- Aufgaben zu 4.3. Probleme der Gewöhnlichen Linearen Regression.- 4.4. Eigenwertproblem. Quadratische Formen und Definite Matrizen.- 4.4.1. Eigenwerte.- 4.4.2. Eigenwerte symmetrischer Matrizen.- 4.4.3. Nicht-negative unzerlegbare Matrizen, ihre Eigenwerte und ihre Leontief-Inversen.- 4.4.4. Eigenwerte stochastischer Matrizen. Grenzverhalten von Potenzen stochastischer Matrizen.- 4.4.5. Quadratische Formen.- 4.4.6. Kriterien der Definität.- Aufgaben zu 4.4. Probleme in der Orthogonalen und Gewöhnlichen Linearen Regression.- 4.5. Matrizen und Lineare Abbildungen (Transformationen).- 4.5.1. Abbildungen.- 4.5.2. Lineare Abbildungen.- 4.5.3. Probleme der Matrizenrechnung und Lineare Transformationen.- Aufgaben zu 4.5. Lineare Transformationen im Input-Output-Modell.- 5. n-Dimensionale Geometrie und Lineare Programmierung.- 5.1. Das Allgemeine Problem der Linearen Programmierung.- 5.2. Punktmengen, Geraden und Hyperebenen.- 5.3. Konvexe Mengen und Polyeders Beschränktheit und Extremalpunkte.- 5.4. Zulässige Lösungen der LP-Nebenbedingungen Ax = b, x ? 0, Ecken und Konvexe Polyeder.- 5.5. Konvexe Kegel und Konvexe Polyederkegel.- 5.6. Optimale Lösungen des LP-Problems, Ecken (Basis-)Tausch und Simplexverfahren.- 5.7. Simplexmethode und Simplextableau.- 5.8. Problem der Anfangslösung. 2-Phasen-Methode.- Aufgaben zu 5. Die Kostenoptimale Lösung des Mischungsproblems.- 6. Vektor- und Matrizenrechnung und Differentiation.- 6.1. Skalarfunktionen mit Skalaren und Vektoriellen Variablen, der Gradient.- 6.2. Vektorielle Funktionen mit Vektoriellen Variablen, Funktionalmatrix, Lineare und Quadratische Funktionen.- 6.3. Extrema Einer Skalarfunktion, Mehrere Variablen und Zweite Partielle Ableitungen.- II.- 7. Betriebliche Matrizenmodelle Produktions- und Kostenplanung mit Matrizen.- 7.1. Beispiel Eines Einfachen Betriebsablaufs.- 7.2. Erfassung der Leistungstabelle Durch Matrizen.- 7.3. Die Kopplungs- und Strukturmatrix im Einfachen Beispiel.- 7.4. Erweiterung der Kopplungsmatrix: Umsatzmatrizen der Fertigungsstellen.- 7.5. Planung der Strukturmatrix.- 7.6. Planung mit Nebenbedingungen für Produktion und Durchsätze. Transformation in ein LP-Problem.- 7.7. Maximierung des Deckungsbeitrags Über die Einfluss-Grössenabhängigen Kosten als Zielfunktion des LP-Problems.- 7.8. Lösung des Planungsproblems als LP-Problem.- 8. Volkswirtschaftliche Input-Output-Modelle.- 8.1. Produktionstheoretische Grundbegriffe und Annahmen.- 8.2. Voraussetzungen des Input-Output-Grundmodells von Leontief.- 8.3. Definitionen.- 8.4. Das Produktionsmodell.- 8.5. Die Existenz von Lösungen im Leontief-Produktionsmodell.- 8.5.1. Problemstellung.- 8.5.2. Die Lösbarkeit für alle Naehfragekonstellationen bei Kenntnis der Lösung für eine einzige.- 8.5.3. Lösung mit der Neumannschen Reihe. Direkter und indirekter Inputbedarf.- 8.5.4. HAWKINS-SIMON-Bedingungen und ihre ökonomische Interpretation.- 8.5.5. Technologiematrix und Polyederkegel. Ein weiteres Lösungskriterium.- 8.6. Mengen- und Wertgrössen im Produktionsmodell.- 8.7. Das Preismodell.- 8.8. Probleme in LP-Formulierung zur Verbindung von Preis- und Produktionsmodell.- 8.9. Erweiterungen des Input-Output-Grundmodells.- 9. Bewertete MARKOV-Prozesse und Politik-Optimierung.- 9.1. Wahrscheinlichkeiten. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.- 9.2. Wahrscheinlichkeitsbaum und Stochastische Prozesse.- 9.3. Markov-Prozesse.- 9.4. Vollständig Ergodische Prozesse. Die Grenzwahrscheinlichkeiten.- 9.5. Bewertung von Markov-Prozessen.- 9.6. Strategien und Politiken. Die Iterative Pölitikbestimmung im Sequentiellen Entscheidungsprozess.- 9.7. Die Politikoptimierung im Stationären Markov-Prozess.- 10. Gewöhnliche Lineare und Orthogonale Regression.- 10.1. Lineare Regression.- 10.1.1. Einleitung: Begriffe der Regressionsrechnung.- 10.1.2. Die Bestimmung der Regressionshyperebene nach der Methode der kleinsten Quadrate.- 10.1.3. Herleitung wichtiger Eigenschaften der Hyperebene mit mit der geringsten quadratischen Abweichung.- 10.1.4. Zwei Methoden zur Bestimmung der Summe der quadratischen Abweichungen.- 10.1.5. Schematisches Verfahren zur Bestimmung der Regressions-Koeffizienten b und der minimalen Summe der quadratischen Abweichungen.- 10.1.6. Das Bestimmtheitsmaß.- 10.2. Orthogonale Regression.- 10.2.1. Einleitung: Ein spezielles Regressionsproblem.- 10.2.2. Bestimmung der Regressionsgeraden.- 10.2.3. Lösung des Beispiels.