Mathematik Für Naturwissenschaftler

ISBN-13: 9783798503380 / Niemiecki / Miękka / 1972 / 399 str.

H. Sirk; M. Draeger

Opis

Naturgesetz und Funktion Beobachten wir einen Chemiker, einen Physiker, einen Ingenieur bei der Arbeit! Wir sehen ihn neben verschiedenen Hantierungen an seinen Apparaten auch rechnen. Ohne Rechnung bleibt seine Arbeit eine rein beschreibende. Das Buch der Natur ist - wie GALILEI es einmal ausgedriickt hat - in Zahlen und geometrischen Figuren geschrie ben. Diesen Satz miillte man heute abwandeln oder erganzen. Das Verhaltnis zwischen Mathematik und Naturerkenntnis aber ist im Laufe der Entwicklung standig enger geworden. Der Grad der Exaktheit der Naturerkenntnis driickt sich in dem Grade ihrer Mathematisierung aus. Dennoch bleibt die Mathematik fiir den Naturwissenschaftler Hilfswissenschaft. Als solche wird sie in diesem Buche auch dargestellt. Das mindert ihren Wert schon deshalb nicht, weil hier ihr Ursprung sowie der Rechtsgrund fiir ihre Stellung im Kulturganzen liegt. Der Chemiker z. B. bestimmt die Dichte von wasserigen Losungen bei verschiedenen Konzentrationen und findet so etwa bei einer KJ-Losung die Dichte 1,076 bei der Konzentration von 10%, dann 1,273 bei 30% Konzentration und schlieBlich 1,731 bei 60%. Vergleicht er diese Resultate, so findet er, daB sich die Dichte andert, so oft er die Konzentration andert. GroBen, die verschiedene Werte annehmen, nennt man veranderliche (variable) GroBen. Auch der Physiker findet, wenn er die Lange eines Metallstabes bei verschiedenen Temperaturen miBt, daB Lange und Temperatur veranderliche GroBen sind, die in gesetzmaBiger Weise zusammenhangen. Bestimmten Temperaturen entsprechen bestimmte Langen des Stabes und umgekehrt. Der Ingenieur, der die Verkiirzung eines elastischen Korpers bei verschiedenen Drucken bestimmt, registriert den Zusammenhang der beiden Veranderlichen Verkiirzung und Druck."

Spis treści

Einleitung: Naturgesetz und Funktion.- 1. Teil: Elementarmathematik.- 1. Kapitel: Algebra.- § 1. Rechenoperationen.- § 2. Komplexe Zahlen.- § 3. Arithmetische und geometrische Folgen.- § 4. Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten.- § 5. Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten.- 2. Kapitel: Geometrie.- § 6. Elementargeometrische Formeln.- § 7. Symmetrie.- 3. Kapitel: Elementare Funktionen.- § 8. Exponentialfunktion und logarithmische Funktion.- § 9. Trigonometrische Funktionen.- § 10. Die trigonometrische Form der komplexen Zahlen.- § 11. Zyklometrische Funktionen.- 4. Kapitel: Analytische Geometrie.- § 12. Koordinatensysteme.- § 13. Die gerade Linie.- § 14. Die Kegelschnitte.- § 15. Koordinatentransformationen.- § 16. Proportionalität und Naturgesetz.- 5. Kapitel: Vektorrechnung.- § 17. Der Begriff des Vektors.- § 18. Addition und Subtraktion von Vektoren.- § 19. Das skalare Produkt zweier Vektoren.- § 20. Das Vektorprodukt zweier Vektoren.- 6. Kapitel: Kombinatorik und binomischer Lehrsatz.- § 21. Grundbegriffe der Kombinatorik.- § 22. Der binomische Lehrsatz.- 7. Kapitel: Determinanten.- § 23. Die zweireihige Determinante.- § 24. Die dreireihige Determinante.- § 25. Eigenschaften dreireihiger Determinanten.- § 26. Die n-reihige Determinante — Anwendungsbeispiele.- 2. Teil: Differential- und Integralrechnung für Funktionen von einer Veränderlichen.- 1. Kapitel: Grenzwert und Differentialquotient.- § 27. Die Geschwindigkeit.- § 28. Der Quotient 0:0.- § 29. Der Begriff des Grenzwertes oder Limes.- § 30. Die Zahl e — Natürliche Logarithmen — Hyperbelfunktionen.- § 31. Der Differentialquotient.- § 32. Die allgemeine reale Bedeutung des Differentialquotienten.- 2. Kapitel: Die Technik des Differenzierens.- § 33. Differentiation von Konstanten.- § 34. Die Potenzfunktion.- § 35. Differentiation von Summe, Produkt und Quotient.- § 36. Kettenregel — Implizite Funktionen.- § 37. Verallgemeinerung der Potenzregel.- § 38. Differentiation der trigonometrischen und zyklometrischen Funktionen.- § 39. Differentiation der logarithmischen Funktion und der Exponentialfunktion.- 3. Kapitel: Ableitungen höherer Ordnung — Extremwerte und Wendepunkte.- § 40. Ableitungen höherer Ordnung.- § 41. Theorie der Extremwerte — Wendepunkte.- § 42. Beispiele.- § 43. Differentiation der Parameterdarstellung.- 4. Kapitel: Differenzierbarkeit — Differential — Fehlerabschätzung.- § 44. Differenzierbarkeit.- § 45. Das Differential.- § 46. Fehlerabschätzung.- 5. Kapitel: Begriffliche Grundlegung der Integralrechnung.- § 47. Entwicklung der neuen Begriffe an einem naturwissenschaftlichen Beispiel.- § 48. Das unbestimmte Integral.- § 49. Vorläufige Erklärung des bestimmten Integrals.- 6. Kapitel: Die Technik des Integrierens.- § 50. Grundformeln.- § 51. Integration durch Substitution.- § 52. Partielle Integration.- § 53. Integration durch Partialbruchzerlegung.- § 54. Durchführung der noch ungelösten naturwissenschaftlichen Beispiele.- 7. Kapitel: Das bestimmte Integral.- § 55. Der Begriff des bestimmten Integrals.- § 56. Eigenschaften des bestimmten Integrals.- § 57. Beispiele zur Flächenberechnung.- § 58. Rektifikation von Kurven.- § 59. Naturwissenschaftliche Anwendungen.- 3. Teil: Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Kapitel: Begriff und geometrische Bedeutung.- § 60. Der Begriff der Funktion von mehreren Veränderlichen.- § 61. Geometrische Veranschaulichung der Funktionen von zwei Veränderlichen.- 2. Kapitel: Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen.- § 62. Partielle Differentialquotienten und Differentiale.- § 63. Totales Differential und totaler Differentialquotient.- § 64. Differentiation impliziter und mittelbarer Funktionen.- § 65. Ableitungen höherer Ordnung.- § 66. Anwendung auf die Fehlerabschätzung.- 3. Kapitel: Integralrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen.- § 67. Das unbestimmte Integral.- § 68. Das bestimmte Integral.- § 69. Das zweifache Integral und das Doppelintegral.- 4. Kapitel: Anwendung auf die Thermodynamik.- § 70. Der erste Hauptsatz.- § 71. Spezifische Wärme.- § 72. Ideale Gase.- § 73. Mathematische Definition der Entropie.- § 74. Isotherme und adiabatische Zustandsänderung.- § 75. Der Carnotsche Kreisprozeß.- § 76. Die Formel von Clausius-Clapeybon.- 4. Teil: Differentialgleichungen.- 1. Kapitel: Begriff und geometrische Bedeutung.- § 77. Definitionen.- § 78. Geometrische Bedeutung gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 2. Kapitel: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung.- § 79. Methoden der Trennung der Variablen und der Variation der Konstanten.- § 80. Überleitung zur Methode des integrierenden Faktors.- § 81. Verallgemeinerung der Methode des integrierenden Faktors.- 3. Kapitel: Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung.- § 82. Geometrische Überlegungen.- § 83. Auf Gleichungen 1. Ordnung zurückführbare Differentialgleichungen 2. Ordnung.- § 84. Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.- § 85. Anwendungen der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung.- § 86. Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.- § 87. Simultane Differentialgleichungen.- 4. Kapitel: Partielle Differentialgleichungen.- § 88. Allgemeines. Geometrische Deutung.- § 89. Einige besondere Differentialgleichungen.- § 90. Potential — Laplachescher Operator.- § 91. Die Schrödinger-Gleichung.- 5. Teil: Unendliche Reihen — Näherungsverfahren.- § 92. Allgemeine Orientierung.- 1. Kapitel: Konvergenz und Divergenz.- § 93. Die Begriffe notwendig und hinreichend.- § 94. Konvergenz von Reihen mit konstanten Gliedern.- § 95. Konvergenz der Reihen mit veränderlichen Gliedern.- 2. Kapitel: Potenzreihen.- § 96. Allgemeines — Mac Laurinsche Reihe.- § 97. Anwendungen.- § 98. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- § 99. Zwei naturwissenschaftliche Anwendungen.- 3. Kapitel: Grundlagen der Fourierschen Reihen.- § 100. Die allgemeinen Formeln.- § 101. Beispiele.- § 102. Verallgemeinerung der Periodenlänge.- 4. Kapitel: Näherungsweise Integration — Interpolation.- § 103. Integration mittels unendlicher Reihen.- § 104. Erste Näherungsformel für das bestimmte Integral.- § 105. Trapezformel und Simpsonsche Regel.- § 106. Interpolation.- § 107. Von der empirisch gegebenen zur ganzen rationalen Funktion.- 5. Kapitel: Näherungsweise Auflösung von Gleichungen.- § 108. Die regula falsi.- § 109. Das Newtonsche Näherungsverfahren.- § 110. Das Iterationsverfahren.- 6. Teil: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 1. Kapitel: Einführung in die Begriffsbildung.- § 111. Der klassische Wahrschemlichkeitsbegriff.- § 112. Das Kollektiv und die statistische Wahrscheinlichkeit.- § 113. Statistische Verteilung.- § 114. Mittelwerte — Streuung.- 2. Kapitel: Wahrscheinlichkeitsrechnung.- § 115. Additions- und Multiplikationssatz.- § 116. Stetige Wahrscheinlichkeit.- 3. Kapitel: Fehlerverteilungsgesetz — Korrelation und Regression.- § 117. Fehlerverteilungskurve und -funktion.- § 118. Berechnung des Wahrscheinlichkeitsintegrals.- § 119. Diskussion des Fehlerverteilungsgesetzes.- § 120. Korrelation und Regression.