Mathematik Für Ingenieure

ISBN-13: 9783519365006 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 752 str.

Wolfgang Brauch; Hans-Joachim Dreyer; Wolfhart Haacke

Opis

In der ersten Auflage dieses Lehrbuchs im Jahre 1963 hiess es: "Die sich sturmisch entwickelnde Technik erfordert in der Ingenieur-Ausbildung und -praxis ein gediegenes mathematisches Wissen . . . Das Buch bemuht sich deshalb, als eine, Mathematik fur Ingenieure' das mathematische Rustzeug immer in Verbin dung mit der Physik und den Anwendungen in der Technik zu vermitteln, es will die Brucke von der Mathematik zur Technik schlagen . . . " Diese Aussage gilt auch heute noch fur die nunmehr vorliegende 8. Auflage, die grund legend neu bearbeitet wurde. Es wurde folgendes geandert: Im Hinblick auf die anwen dungsorientierte Ausbildung an den Fachhochschulen wird auf manche mathematische Feinheit verzichtet. Neu hinzu kommt ein Abschnitt uber die Anwendung der Matrizen rechnung in der Computer-Graphik. Die optische Lesbarkeit wird durch grossere Schrift und Bilder sowie grosszugige Anordnung des Textes verbessert. Wichtige Formeln und Satze werden noch deutlicher hervorgehoben. Durch diese Anderungen soll die Verstandlichkeit und Lesbarkeit des Buches weiter ver bessert werden. Andererseits soll das Buch weiterhin mehr als eine Beispiel- und For melsammlung sein. Deshalb werden die allgemeinen Erlauterungen und Beweisfuhrun gen im wesentlichen beibehalten. Ausserdem sind bewusst Abschnitte wie Statistik, Spli ne-Interpolation und Laplace-Transformation erhalten geblieben. Obwohl sie nicht zum Grundstudium der Mathematik gehoren, sind sie fur eine vollstandige Ingenieur Ausbildung unerlasslich. Wir danken allen Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen zur Verbesserung des Buches beigetragen haben. Dem Teubner-Verlag danken wir fur das bereitwillige Eingehen auf unsere Wunsche und fur eine uber funfundzwanzigjahrige gute Zusam menarbeit."

Spis treści

1 Grundlagen.- 1.1 Aussagenlogik und Beweisverfahren.- 1.1.1 Ausdruck. Aussage. Definition. Axiom.- 1.1.2 Aussagenverknüpfung.- 1.1.3 Aussagenlogische Ausdrücke und Gesetze.- 1.1.4 Mathematische Beweisverfahren.- 1.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.1.- 1.2 Zahlen und Zahlensysteme.- 1.2.1 Einteilung der Zahlen.- 1.2.2 Zahlensysteme.- 1.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 1.2.- 2 Abbildungen. Funktionen.- 2.1 Abbildungen.- 2.1.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.1.- 2.2 Gleichungen. Ungleichungen.- 2.2.1 Gleichungen.- 2.2.2 Ordnungsrelationen. Ungleichungen.- 2.2.3 Signum. Betrag.- 2.2.4 Rechnen mit Ungleichungen.- 2.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 2.2.- 2.3 Folgen. Stetigkeit.- 2.3.1 Zahlenfolgen.- 2.3.2 Rechnen mit Grenzwerten.- 2.3.3 Funktionenfolgen. Stetigkeit.- 2.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.3.- 2.4 Darstellung von Funktionen.- 2.4.1 Funktionsgleichung.- 2.4.2 Funktionstafel.- 2.4.3 Funktionsdiagramm.- 2.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.4.- 2.5 Weitere Grundbegriffe der Funktionslehre.- 2.5.1 Aufgelöste Form. Umkehrfunktion.- 2.5.2 Koordinatentransformation.- 2.5.3 Charakteristische Eigenschaften von Funktionen.- 2.5.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.5.- 3 Spezielle Funktionen.- 3.1 Ganze rationale Funktionen.- 3.1.1 Lineare Funktion.- 3.1.2 Quadratische Funktion.- 3.1.3 Ganze rationale Funktionen dritten und höheren Grades.- 3.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.1.- 3.2 Gebrochene rationale Funktionen.- 3.2.1 Aufgaben zu Abschnitt 3.2.- 3.3 Algebraische Funktionen.- 3.3.1 Potenzfunktion.- 3.3.2 Allgemeine Gleichung 2. Grades. Kegelschnitte.- 3.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.3.- 3.4 Trigonometrische Funktionen.- 3.4.1 Definitionen. Periodizität. Graph.- 3.4.2 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen.- 3.4.3 Darstellung periodischer Vorgänge.- 3.4.4 Arcusfunktionen.- 3.4.5 Nullstellen. Goniometrische Gleichungen.- 3.4.6 Aufgaben zu Abschnitt 3.4.- 3.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen.- 3.5.1 Exponentialfunktion.- 3.5.2 Logarithmusfunktion.- 3.5.3 Logarithmische Funktionspapiere.- 3.5.4 Hyperbelfunktionen.- 3.5.5 Areafunktionen.- 3.5.6 Aufgaben zu Abschnitt 3.5.- 3.6 Funktionen von zwei unabhängigen Variablen.- 3.6.1 Funktionsgleichungen.- 3.6.2 Funktionstafeln.- 3.6.3 Geometrische Darstellungen.- 3.6.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.6.- 4 Lineare Algebra.- 4.1 Determinanten.- 4.1.1 Grundbegriffe. Entwicklungssatz.- 4.1.2 Aufgaben zu Abschnitt 4.1.- 4.2 Vektoren.- 4.2.1 Grundbegriffe und Definitionen.- 4.2.2 Komponenten. Koordinaten. Richtungswinkel.- 4.2.3 Rechenregeln.- 4.2.4 Lineare Abhängigkeit.- 4.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 4.2.- 4.3 Matrizen.- 4.3.1 Grundbegriffe. Definitionen.- 4.3.2 Rechenregeln.- 4.3.3 Anwendung in der Strukturmechanik.- 4.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 4.3.- 4.4 Lineare Gleichungssysteme.- 4.4.1 Eliminationsverfahren von Gauß.- 4.4.2 Verketteter Gauß-Algorithmus.- 4.4.3 Austauschverfahren.- 4.4.4 Homogene und abhängige inhomogene Systeme.- 4.4.5 Iterationsverfahren.- 4.4.6 Kondition.- 4.4.7 Aufgaben zu Abschnitt 4.4.- 4.5 Grundlagen der Computergraphik.- 4.5.1 Punkte und Geraden in der Ebene.- 4.5.2 Kollineare Abbildung im Raum.- 4.5.3 Aufgaben zu Abschnitt 4.5.- 5 Differentialrechnung.- 5.1 Einführung.- 5.1.1 Grundbegriffe.- 5.1.2 1. Ableitung. Differentialquotient.- 5.1.3 Ableitungen höherer Ordnung.- 5.1.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 5.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.1.- 5.2 Rechenregeln der Differentialrechnung.- 5.2.1 Grundregeln.- 5.2.2 Ableitung einiger Grundfunktionen.- 5.2.3 Produkt- und Quotientenregel.- 5.2.4 Kettenregel.- 5.2.5 Funktionen in impliziter Form.- 5.2.6 Differenzieren mit Hilfe der aufgelösten Form.- 5.2.7 Unbestimmte Ausdrücke.- 5.2.8 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.- 5.3 Anwendungen der Differentialrechnung.- 5.3.1 Lösen von Bestimmungsgleichungen.- 5.3.2 Schnittwinkel von Graphen. Tangente. Normale.- 5.3.3 Kurvendiskussion. Extremwertaufgaben.- 5.3.4 Interpolation mit kubischen Splinefunktionen.- 5.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.3.- 5.4 Tafel der Ableitungen elementarer Funktionen.- 6 Integralrechnung.- 6.1 Bestimmtes Integral.- 6.1.1 Flächenberechnung durch Grenzwertbildung.- 6.1.2 Grundregeln des Integrierens.- 6.1.3 Integration der Potenzfunktion.- 6.1.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 6.1.5 Numerische Integration.- 6.1.6 Aufgaben zu Abschnitt 6.1.- 6.2 Unbestimmtes Integral.- 6.2.1 Integralfunktion.- 6.2.2 Stammfunktion.- 6.2.3 Uneigentliche Integrale.- 6.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 6.2.- 6.3 Rechenmethoden.- 6.3.1 Produktintegration.- 6.3.2 Substitution.- 6.3.3 Partialbruchzerlegung.- 6.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 6.3.- 6.4 Anwendungen.- 6.4.1 Volumen. Momente.- 6.4.2 Bogenlänge. Oberfläche.- 6.4.3 Biegung.- 6.4.4 Mittelwerte in der Elektrotechnik.- 6.4.5 Aufgaben zu Abschnitt 6.4.- 6.5 Integraltafel.- 7 Reihen.- 7.1 Endliche und unendliche Reihen.- 7.1.1 Einführung. Begriff.- 7.1.2 Unendliche geometrische Reihe.- 7.1.3 Konvergenz von Reihen.- 7.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 7.1.- 7.2 Taylor-Reihen.- 7.2.1 Satz von Taylor.- 7.2.2 Winkel- und Hyperbelfunktionen.- 7.2.3 Exponentialfunktion und Logarithmus.- 7.2.4 Binomische Reihe.- 7.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 7.2.- 7.3 Fourier-Reihen.- 7.3.1 Approximation durch trigonometrische Reihen.- 7.3.2 Spezialfälle und Beispiele.- 7.3.3 Numerische Fourier-Analyse.- 7.3.4 Fourierintegral.- 7.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 7.3.- 8 Differentialgeometrie.- 8.1 Parameterform.- 8.1.1 Differenzieren.- 8.1.2 Integrieren.- 8.1.3 Anwendung in der Technik.- 8.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 8.1.- 8.2 Polarkoordinaten.- 8.2.1 Differenzieren.- 8.2.2 Integrieren.- 8.2.3 Polarkoordinaten in Parameterform.- 8.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 8.2.- 8.3 Krümmung. Evolvente.- 8.3.1 Krümmung. Krümmungsradius.- 8.3.2 Evolute. Evolvente.- 8.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 8.3.- 9 Funktionen mehrerer Variablen.- 9.1 Grundbegriffe.- 9.1.1 ?n-Raum.- 9.1.2 Funktion. Grenzwert. Stetigkeit.- 9.2 Differenzieren.- 9.2.1 Partielle Ableitungen.- 9.2.2 Taylor-Reihe. Totales Differential. Funktionen in impliziter Form.- 9.2.3 Differenzieren eines Integrals nach einem Parameter.- 9.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 9.2.- 9.3 Integrieren.- 9.3.1 Bestimmtes Integral.- 9.3.2 Unbestimmtes Integral.- 9.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 9.3.- 9.4 Fehler- und Ausgleichungsrechung.- 9.4.1 Fehler und Mittelwert.- 9.4.2 Fehlerfortpflanzung.- 9.4.3 Ausgleichungsrechnung.- 9.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 9.4.- 10 Vektoranalysis.- 10.1 Vektorfunktionen.- 10.1.1 Differenzieren und Integrieren in geradlinig-rechtwinkligen Koordinaten.- 10.1.2 Ableitung in natürlichen Koordinaten.- 10.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 10.1.- 10.2 Skalare und vektorielle Felder.- 10.2.1 Skalares Feld. Gradient.- 10.2.2 Vektorielles Feld. Divergenz. Rotation.- 10.2.3 Linienintegral.- 10.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 10.2.- 11 Komplexe Zahlen und Funktionen.- 11.1 Grundbegriffe.- 11.2 Komplexe Arithmetik.- 11.2.1 Rechenoperationen in der Komponentenform.- 11.2.2 Rechenoperationen in der Exponentialform.- 11.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 11.1 und 11.2.- 11.3 Komplexe Funktionen einer reellen Veränderlichen.- 11.3.1 Symbolische Methode in der Wechselstromtechnik.- 11.3.2 Einfache Spezialfälle. Gerade.- 11.3.3 Inversion. Kreis.- 11.3.4 Allgemeine Ortskurven.- 11.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 11.3.- 11.4 Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- 11.4.1 Grundbegriffe.- 11.4.2 Winkel- und Hyperbelfunktionen mit komplexem Argument.- 11.4.3 Konforme Abbildung.- 11.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 11.4.- 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 12.1 Analytische Lösungsmethoden.- 12.1.1 Begriffe. Einteilung.- 12.1.2 Aufstellen von Differentialgleichungen.- 12.1.3 Trennung der Veränderlichen.- 12.1.4 Lineare Differentialgleichungen.- 12.1.5 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 12.1.6 Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 12.1.7 Aufgaben zu Abschnitt 12.1.- 12.2 Anwendungen in der Technik.- 12.2.1 Euler-Knickgleichung.- 12.2.2 Schwingungen.- 12.2.3 Scheibe unter Zentrifugalkräften.- 12.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 12.2.- 12.3 Numerische Verfahren.- 12.3.1 Anfangswertaufgaben.- 12.3.2 Differenzenverfahren für Rand- und Eigenwertaufgaben.- 12.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 12.3.- 13 Laplace-Transformation.- 13.1 Grundbegriffe.- 13.1.1 Aufgaben zu Abschnitt 13.1.- 13.2 Rechenregeln.- 13.2.1 Summe von Funktionen. Konstanten.- 13.2.2 Transformationssätze.- 13.2.3 Differenzieren und Integrieren im Zeitbereich.- 13.2.4 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung.- 13.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 13.2.- 13.3 Impulsfunktionen.- 13.3.1 Impulse endlicher Dauer.- 13.3.2 Der Einsimpuls.- 13.4 Lösen von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 13.4.1 Einzelne Differentialgleichungen.- 13.4.2 Systeme von linearen Differentialgleichungen.- 13.4.3 Aufgaben zu Abschnitt 13.4.- 13.5 Korrespondenzentafel.- 14 Statistik.- 14.1 Auswertung einer Stichprobe.- 14.1.1 Häufigkeitsverteilung. Häufigkeitssumme.- 14.1.2 Kennwerte der Stichprobe.- 14.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 14.1.- 14.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 14.2.1 Grundbegriffe und Definitionen.- 14.2.2 Aufgaben zu Abschnitt 14.2.- 14.3 Verteilungsfunktionen.- 14.3.1 Grundbegriffe und Definitionen.- 14.3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen einer Variablen.- 14.3.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen mehrerer Variablen.- 14.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 14.3.- 14.4 Statistische Prüfverfahren.- 14.4.1 Schätzen von Parametern der Grundgesamtheit.- 14.4.2 Prüfen von Hypothesen.- 14.4.3 Aufgaben zu Abschnitt 14.4.- Lösungen zu den Aufgaben.- Weiterführende Literatur.