Mathematik Für Informatiker I: Die Methode Der Mathematik

ISBN-13: 9783540111504 / Niemiecki / Miękka / 1981 / 315 str.

B. Buchberger; F. Lichtenberger

Opis

Das vor1iegende Skriptum ist der erste Tei1 ei.ner 4-semestrigen V- n 1esung nMathematik fur Informatiker, die seit WS 79/80 an der Universitat Linz neu aufgebaut wird. Die Autoren wurden bei. der Strukturierung des Gesamtzyk1us und insbesondere bei der Konzeption dieses ersten Tei1s von fo1genden Grundgedanken ge1eitet: 1. Mathematik ist die Technik des rationa1en Prob1em1osens. Der Vor gang des Prob1em1osens in seiner Ganzheit, beginnend bei der Analyse des meist nur sehr diffus geste11ten Problems bis zur ubersicht1ichen Prasentation des fertigen Losungsverfahrens und der Ergebnisse sollte desha1b im Mitte1punkt der Mathematik ausbi1dung stehen. 2. Die Schu1ung der vie1en sehr verschiedenen inte11ektue11en und psychischen Fahigkeiten, die das Losen eines Problems vom Prob1em1oser erfordert (Gedu1d im Zuhoren: Fahigkei t, gez ie1te Fragen zu ste11en: Sehen von Strukturen in unstrukturierten Rea1itaten: Prazision im Ausd uck: Verstehen und Formu1ieren von Sachverha1ten in be1iebigen Notationen: Kreativitat und F1exi biiitat: Fahigkeit zur Nutzbarrnachung vorhandener Informationen: Abstraktionsvermogen und Fahigkeit zur Anschau1ichkeit etc. etc.) fallt bei einer Ausbildung in Mathematik nicht se1bstverstandlich a1s Nebenprodukt abo Vie1mehr muB der Aspekt, daB es in der Mathematikausbildung urn die Schu1ung a11er zum Vorgang des Prob1em1osens notwendigen Fahigkeiten geht, sowoh1 vom Lehrer a1s auch vom Studierenden von Anfang an in bewuBter Weise verfo1gt werden."

Spis treści

Die Methode der Mathematik.- Die Methode der Mathematik.- Beispiel: Ein Schaltnetz.- Der Vorgang des Problemlösens: Übersicht.- Übungsarbeit.- Fallstudie: Dynamische Programmierung.- Reales Problem: Optimaler Einsatz von Investitionen.- Problemanalyse, Modellproblem.- Erster Lösungsversuch.- Kritische Beurteilung des Lösungsverfahrens und Anwendung.- Neuformulierung des Problems.- Zweiter Lösungsversuch.- Entwicklung einer Idee.- Korrektheit des Verfahrens.- Verwendung von gespeichertem Wissen.- Kritische Beurteilung des verbesserten Lösungsverfahrens und Anwendung.- Dokumentation und Präsentation der Lösung.- Übungsarbeit.- Methodische Analyse der Fallstudie.- Zur Problemanalyse.- Die Rolle der Problemanalyse im Problemlösungsprozeß.- Problemtyp: Explizite Bestimmungsprobleme.- Methode: Analyse expliziter Bestimmmungspróbleme.- Zur Arbeit mit der Literatur.- Die Rolle der Arbeit mit der Literatur im Problemlösungsprozeß.- Sachverhalte und Verfahren.- Informationsträger für gespeichertes mathematisches Wissen.- Die bibliographischen Daten von Literaturquellen.- Methode: Die Bearbeitung von gespeichertem Wissen.- Zur Präsentation und Dokumentation von erarbeiteten Problemlösungen.- Die Rolle der Präsentation und Dokumentation von erarbeiteten Problemlösungen.- Grundregeln für die Präsentation (und Dokumentation).- Zur Sprache.- Die Rolle der Sprache im Problemlösungsprozeß.- Syntax und Semantik von Sprachmitteln.- Konstante und Variable.- Einfachste Sprachkonstrukte aus Konstanten und Variablen.- Junktoren.- Quantoren.- Sprachkonstrukte zum Aufbau von Programmen.- Strukturierung von Beschreibungen durch Definitionen.- Die Technik des Definierens.- Übungen und Ergänzungen.- Fallstudie: Sortieren.- Vorgelegtes Problems Sortieren einer Kartei.- Problemanalyse, Modellproblem.- Entwurf eines Lösungsverfahrens.- Ideen für eine Lösung.- Lösungsvorschlag (Grobstruktur).- Korrektheitsbeweis für den Lösungsvorschlag.- Lösungsvorschlag für die Prozedur Maximum.- Kritische Beurteilung des Lösungsverfahrens.- Komplexität des Verfahrens.- Anwenden des Verfahrens.- Literatursuche.- Dokumentation des Lösungsverfahrens.- Übungsarbeit.- Methodische Analyse der Fallstudie.- Zur Problemanalyse: Standardmodelle.- Die Rolle von Standardmodellen im Problemlösungsprozeß.- Das Standardmodell „Menge“.- Das Grundprädikat „enthalten sein“.- Die Bildung neuer Mengen aus vorhandenem Material.- Die Bildung von Tupeln.- Spezielle Mengenbildungsprozesse.- Definition der Begriffe „Prädikat“ und „Funktion“ im Rahmen der Mengenlehre.- Die Beschreibung der Konzepte „Tabelle“, „Folge“ etc. im Rahmen der Mengenlehre.- Zur Problemanalyse und zum strukturierten Entwurf von Lösungsverfahren.- Die Spezifikation von Prozeduren.- Strukturierter Entwurf von Prozeduren.- Zum Entwurf von Lösungsverfahren: Korrektheitsbeweise für Programme.- Das Problem der Programmkorrektheit.- Partielle und totale Korrektheit.- Testen und Beweisen.- Die Methode der induktiven Behauptungen.- Beispiel einer Programmverifikation: Euklid’scher Algorithmus.- Die Aufspaltung von Programmen in „Pfade“.- Beweise von Programmen mit Aufrufen von Funktionsprozeduren.- Bemerkungen zur Methode.- Übungen und Ergänzungen.- Fallstudie: Komplexitätsanalyse.- Vorgelegtes Problem: Komplexitätsanalyse e’ines Sortierprogramms.- Problemanalyse, Modellproblem.- Lösung des Problems.- Die Schrittanzahl in Abhängigkeit von den Exekutionszahlen der einzelnen Programmteile.- Inversionstafeln.- Bestimmung der Exekutionszahlen.- Die durchschnittlichen Exekutionszahlen.- Die Bestimmung von DA(n).- Die Bestimmung von DB(n).- Die Bestimmung von DC(n).- Vergleich der Schrittzahlen der beiden Sortierprogramme.- Näherungsweises Verhalten der Exekutionszahlen.- Verwendung der Literatur.- Dokumentation der Lösung.- Übungsarbeit.- Methodische Analyse der Fallstudie.- Zur Problemanalyse.- Denkschichten.- Probleme ohne Eingaben.- Zur Technik des Problemlösens: Standardprobleme.- Die Rolle von Standardproblemen.- Weitere Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- Zur Beweistechniks: Induktionsbeweise.- Grundgedanken und Beispiele.- Induktive Definitionen.- Varianten des Induktionsbeweises.- Zur Beweistechnik: Der Umgang mit dem ?- und ? -Zeichen.- Zur Beurteilung von Algorithmen: Komplexitätsanalysen.- Gütekriterien für Algorithmen.- Zeitkomplexität.- Komplexitätsanalye und Programmverifikation.- Die 0-Notation.- Standardprobleme der elementaren Kombinatorik.- Der Begriff der Anzahl.- Die Binomialkoeffizienten.- Standard-Anzahlprobleme der elementaren Kombinatorik.- Verschiedene Formulierungen der Standard-Anzahlprobleme.- Übungen und Ergänzungen.- Fallstudie: Ein Nimmspiel.- Das Problem.- Problemanalyse.- Erarbeitung der Bestimmungsstücke des Problems.- Ergebnis der Problemanalyse.- Erster Lösungsvorschlag.- Zweiter Lösungsvorschlag.- Mehr Wissen über die beteiligten Begriffe.- Beweis der Vermutungen.- Ein Algorithmus, der auf dem neuen Wissen aufbaut.- Literatur zu dem Problem.- Dokumentation des Algorithmus.- Übungsarbeit.- Methodische Analyse der Fallstudie.- Zur Problemanalyse: Explizite Entscheidungsprobleme.- Zur Problemanalyse: Implizite Probleme, Datentypen.- Die Rolle von Datentypen im Problemlösungsprozeß.- Die Charakterisierung von impliziten Problembeschreibungen (Datentypen).- Zur Technik des Problemlösens: Beweisen.- Die Rolle des Beweisens im Problemlösungsvorgang.- Grundlinien der Beweistechnik.- Details der Beweistechnik: Zerlegungstechniken (Top-down-Schritte).- Bottom-up-Schritte in Beweisen.- Einsetzen, Gleichheit, Ersetzen.- Übungen und Ergänzungen.- Literatur zum Thema dieser Vorlesung.- Zitierte Literatur.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.