Maß Und Kategorie

ISBN-13: 9783540053934 / Niemiecki / Miękka / 1971 / 112 str.

J. C. Oxtoby; John C. Oxtoby; K. Scha1/4rger

Opis

Dieses Buch behandelt hauptsachlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel fur Existenzbeweise sowie Die "Dualitat" zwischen Mass und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erlautert; die Analogie, die zwischen Mass und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einfuhrung in die Grundlagen der metrischen Topologie; ausserdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Masses hergeleitet. Es zeigt sich, dass die Lebesguesche Integrationstheorie fur unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern dass das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Masstheorie und Topologie eingefuhrt; dies geschieht jedoch nicht nur der grosseren Allgemeinheit wegen. Es erubrigt sich fast zu erwahnen, dass sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Fur die hier untersuchten Probleme bietet sich in naturlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einfuhrung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man konnte es als Erganzung zur ublichen Grundvorlesung uber reelle Analysis, als Grundlage fur ein Se minar oder auch zum selbstandigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. Haufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten."

Spis treści

1: Maß und Kategorie auf der Zahlengeraden Abzählbare Mengen; Mengen von 1. Kategorie; Nullmengen; die Sätze von CANTOR, BAIRE und BOREL.- 2: Liouvillesche Zahlen Algebraische und transzendente Zahlen; Maß und Kategorie der Menge der Liouvilleschen Zahlen.- 3: Das Lebesguesche Maß im r-dimensionalen Raum Definitionen und grundlegende Eigenschaften; meßbare Mengen; der Dichtesatz von LEBESGUE.- 4: Die Bairesche Eigenschaft Analogie zwischen Bairescher Eigenschaft und Meßbarkeit; Eigenschaften regulär offener Mengen.- 5: Nicht-meßbare Mengen Vitalische Mengen; Bernsteinsche Mengen; Satz von ULAM; unerreichbare Kardinalzahlen; die Kontinuumhypothese.- 6: Das Spiel von BANACH-MAZUR Gewinnstrategien; Kategorie und lokale Kategorie; Spiele mit unbestimmtem Ausgang.- 7: Funktionen erster Klasse Oszillation; der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen; Integrierbarkeit im Riemannschen Sinne.- 8: Die Sätze von LUSIN und EGOROFF Stetigkeit meßbarer Funktionen; Stetigkeit von Funktionen mit der Baireschen Eigenschaft; gleichmäßige Konvergenz auf Teilmengen.- 9: Metrische und topologische Räume Definitionen; vollständige und topologisch vollständige Räume; der Kategorie-Satz von BAIRE.- 10: Beispiele für metrische Räume Metrik der gleichmäßigen Konvergenz und Integral-Metrik in Räumen stetiger Funktionen; integrierbare Funktionen; pseudo-metrische Räume; der Raum der meßbaren Mengen.- 11: Nirgends differenzierbare Funktionen Banach’s Anwendung der Kategorie-Methode.- 12: Der Satz von ALEXANDROFF Ummetrisierung einer G?-Teilmenge; topologisch vollständige Teilräume.- 13: Transformation von linearen Mengen in Nullmengen Der Raum der Automorphismen eines Intervalls; der Effekt einer monotonen Substitution auf die Riemann-Integrierbarkeit; Äquivalenz von Nullmengen und Mengen von 1. Kategorie.- 14: Der Satz von FUBINI Meßbarkeit und Maß von Schnitten ebener meßbarer Mengen.- 15: Der Satz von KURATOWSKI-ULAM Schnitte von ebenen Mengen mit der Baireschen Eigenschaft; Produktmengen; Zurückführbarkeit auf den Satz von FUBINI vermöge einer Produkttransformation.- 16: Der Kategorie-Satz von BANACH Offene Mengen von 1. Kategorie oder vom Maß 0; das Lemma von MONTGOMERY; die Sätze von MARCZEWSKI und SIKORSKI; Kardinalzahlen vom Maß 0; Zerlegung in eine Nullmenge und in eine Menge von 1. Kategorie.- 17: Der Wiederkehrsatz von POINCARÉ Maß und Kategorie der Menge aller Punkte, die rekurrent unter einer konservativen Transformation sind; Anwendung auf dynamische Systeme.- 18: Transitive Transformationen Existenz transitiver Automorphismen des Einheitsquadrats; die Kategorie-Methode.- 19: Der Dualitätssatz von SIERPINSKI-ERDÖS Ähnlichkeiten zwischen der Familie der Nullmengen und der Familie der Mengen von 1. Kategorie; das Dualitätsprinzip.- 20: Beispiele für Dualität Eigenschaften Lusinscher Mengen und die dazu dualen Eigenschaften; Mengen, die fast-invariant unter Nullmengen- oder Kategorie-treuen Abbildungen sind.- 21: Das erweiterte Dualitätsprinzip Ein Gegenbeispiel; Produktmaß und Produkträume; das Null-Eins-Gesetz und sein Kategorie-Analogon.- 22: Kategorie-Maßräume Räume, in denen die Nullmengen mit den Mengen von 1. Kategorie identisch sind; Topologien, die von unteren Dichten erzeugt werden; die Lebesguesche Dichte-Topologie.