Lineare Algebra I

ISBN-13: 9783540067153 / Niemiecki / Miękka / 1974 / 282 str.

E. Oeljeklaus; R. Remmert

Opis

3a, mein l}teunb, e5 finb bie stlange U5 ber liingft tJerfc onnen %raum eit; J1ur bali oft mob erne %riller @aufefn burc ben often @runbton. Sj. Sjeine, tta %roH CstalJut XXVIII) O. Die stiirmische Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrzehnten hat auch vor den Horsalen der Anfangssemester nicht haltgemacht. Galt es in den dreiBiger Jahren noch als revolutionar, Vektorraume in den Grundvorlesungen iiber Analytische Geometrie systematisch zu behandeln, so verstarken sich in jiingster Zeit die Tendenzen, von 'vornherein auch Moduln iiber kommutativen Ringen in die. Begriffsbildungen einzubeziehen, soweit es in Analogie zu Vektorraumen ohne Miihe moglich ist. Fiir diese Entwicklung, an der sich auch das vorliegende Buch orientiert, gibt es eine Reihe inhaltlicher Griinde. So gewinnt man in eleganter und einpragsamer Weise Struktursatze iiber Endomorphismen von Vektorraumen, wenn man den Grundkorper K zum Polynomring K[X] erweitert, den Vektorraum zum K [X]-Modul macht und Satze aus der Modul theorie (iiber Hauptidealringen) heranzieht. Nicht zuletzt erweist es sich auch in der Determinantentheorie als zweckmaBig, bei der Behandlung des charakteristischen Polynoms den Determinanten begriffiiber dem Ring K[X] zur Verfugung zu haben. Dieses Taschenbuch ist der erste Teil einer zweibandigen Dar stellung der Linearen Algebra; es ist aus Vorlesungen entstanden, die der altere Autor vor lahren an den Universitaten Erlangen und Gottingen gehalten hat. 1m vorliegenden Band werden die Grund lagen der Theorie der Vektorraume und Moduln nebst der zu gehorigen Abbildungstheorie entwickelt. Die Vektorraumtheorie ist als Spezialfall in der Modultheorie enthalten, sie wird aber nichts destoweniger auch gesondert und eigenstiindig dargestellt."

Spis treści

0. Mengen und Abbildungen (Nomenklatur).- 1. Mengen.- 2. Durchschnitt und Vereinigung.- 3. Abbildungen (Funktionen).- 4. Surjektive, injektive, bijektive Abbildungen.- 5. Komposition von Abbildungen.- 6. Familien und Folgen.- 7. Produkte von Mengen.- 8. Äquivalenzrelationen.- I. Algebraische Strukturen.- §1. Gruppen und Homomorphismen.- 1. Verknüpfungen.- 2. Halbgruppen. Unterhalbgruppen.- 3. Neutrale und inverse Elemente.- 4. Potenzen.- 5. Gruppen.- 6. Gruppe der invertierbaren Elemente.- 7. Homomorphismen.- §2. Untergruppen, Normalteiler und Restklassengruppen.- 1. Untergruppen.- 2. Ordnung eines Elementes.- 3. Darstellung durch Linksmultiplikation.- 4. Innere Automorphismen.- 5. Nebenklassen und Normalteiler.- 6. Kommutatoren und Kommutatorgruppen.- 7. Äquivalenzrelationen in Halbgruppen. Restklassengruppen.- §3. Die symmetrische Gruppe Gn.- 1. Die Gruppe Gn.- 2. Fixpunkte. Transpositionen.- 3. Der Signumhomomorphismus sgn: Gn ? {1, ?1}.- 4. Die alternierende Gruppe Un.- 5. Bahnen und Signum.- §4. Ringe und Körper.- 1. Ringe.- 2. Binomischer Lehrsatz.- 3. Homomorphismen. Unterringe.- 4. Charakteristik eines Ringes.- 5. Integritätsringe.- 6. Einheiten.- 7. Körper.- §5. Polynomringe.- 1. Motivation der Multiplikation.- 2. Polynome. Grad.- 3. Polynome und Funktionen.- 4. Wurzeln.- 5. Injektivität von ?:R[X]?Abb(M, R).- 6. Polynome in mehreren Unbestimmten.- 7. Darstellung von Permutationen als Polynomringautomorphismen. Signumepimorphismus.- II. Elementare Modultheorie.- §1. Moduln und Modulhomomorphismen.- 1. Moduln.- 2. Beispiele.- 3. Modulhomomorphismen.- 4. Der R-Modul HomR (M,N).- 5. Der Endomorphismenring EndRM. Annullator…..- 6. Die Automorphismengruppe AutRM..- 7. Charakterisierung endlicher direkter Produkte durch Homomorphismen.- §2. Untermoduln und Restklassenmoduln. Restklassenringe..- 1. Untermoduln. Ideale.- 2. Untermoduln und Homomorphismen.- 3. Restklassenmoduln.- 4. Restklassenringe.- 5. Primideale und maximale Ideale.- 6. Die Restklassenringe ?/n?.- §3. Isomorphiesätze. Eigenschaften von Restklassenmoduln.- 1. Exakte Sequenzen. Induzierte Homomorphismen….- 2. Isomorphiesätze.- 3. Abbildungstheoretische Charakterisierung von Restklassenmoduln.- §4. Funktoren von Moduln.- 1. Verkleinerung des Grundringes.- 2. Funktoren. Additivität.- 3. Duale Moduln und duale Homomorphismen.- 4. Bidual.- III. Theorie endlich erzeugbarer Moduln.- §1. Erzeugendensysteme.- 1. Erzeugendensysteme.- 2. Erzeugendenzahl eines Moduls.- 3. Zyklische Moduln.- 4. Summenmoduln.- §2. Direkte Summen.- 1. Direkte Summen von Untermoduln.- 2. Direkte Produkte und direkte Summen.- 3. Projektionen. Fixpunktmoduln.- 4. Direkte Summanden. Supplemente.- 5. Fittingsches Lemma.- §3. Freie Moduln.- 1. Lineare Unabhängigkeit. Freiheit.- 2. Basen. Freie Moduln. Koordinatensysteme.- 3. Epimorphismen mit freien Bildmoduln.- 4. Ergänzungssatz. Aufspaltung exakter Sequenzen.- §4. Freiheitsgrad von Moduln.- 1. Freiheitsgrad.- 2. Die Gradungleichung fg M?fg Ker?p + fgIm03C6…. Ill.- 3. DieGradgleichungfgM = fg Ker? + fg Im?.- 4. Folgerungen aus der Gradgleichung.- §5. Lineare Abbildungen freier Moduln.- 1. Lineare Fortsetzung von Abbildungen.- 2. Dual und Bidual freier Moduln.- 3. Invarianz der Basislänge. Rang.- 4. Ein Struktursatz über den Endomorphismenring EndRF.- §6. Endlichdimensionale Vektorräume.- 1. Freiheit und Basen.- 2. Ergänzungssatz und Austauschsatz von Steinitz…..- 3. Dimensionstheorie.- 4. Rang eines Homomorphismus. Bijektivitätskriterien.- 5. Verschwindungsräume.- 6. Dimensionsformel dim U+dim U=dimV und Ranggleichung rg ? = rg ?*.- 7. Dualitätsprinzip für endlichdimensionale Vektorräume.- IV. Lineare Abbildungen und Matrizen.- § 1. Der R-Modul R(m,n) der(m, n)-Matrizen. Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen.- 1. Matrizen.- 2. Transposition von Matrizen.- 3. Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen. Darstellungsisomorphismen.- 4. Duale Abbildungen und transponierte Matrizen.- 5. Darstellung linearer Abbildungen zwischen direkten.- Summen durch Matrizen.- §2. Multiplikation von Matrizen.- 1. Die allgemeine Multiplikation R(m,n) x R(n,p) ? R(m,p).- 2. Multiplikativitat der Darstellungsisomorphismen.- 3. Rechenregeln der Matrizenmultiplikation.- 4. Der Isomorphisms R(m,n)$$\xrightarrow{ \sim }$$HomR(Rn,Rm).- 5. Skalarprodukt.- § 3. Der Matrizenring R(m,m) und die allgemeine lineare Gruppe GL (m,R).- 1. Der Ring R (m,m).- 2. Der Ringisomorphismus ?x: End M?R(m,m).- 3. Die Gruppe GL(m, R).- 4. Das Zentrum der Gruppe GL(m,L).- 5. Antihomomorphismen.- §4. Äquivalente und ähnliche Matrizen.- 1. Übergangsmatrix. Basistransformation.- 2. Äquivalente Matrizen.- 3. Ähnliche Matrizen.- 4. Spurform Sp für Matrizen.- 5. Spurform Sp für Endomorphismen.- 6. Invariante Charakterisierung der Spurform.- § 5. Matrizenkalkül über Körpern. Rang einer Matrix…..- 1. Spaltenrang und Zeilenrang.- 2. Ranggleichung für Matrizen.- 3. Normalformensatz für äquivalente Matrizen.- §6. Lineare Gleichungen.- 1. Formulierung des Problems. Geometrische Interpretation.- 2. Allgemeine Lösbarkeitskriterien.- 3. Lösbarkeitskriterien für Körper.- 4. Normalformenmethode. Alternativsatz.- 5. Eliminationsmethode.- §7. Elementare Matrizenumformungen über Köpern…..- 1. Die Matrizen B??(b) und D?(d) Elementarmatrizen.- 2. Elementare Zeilenumformungen.- 3. Elementare Spaltenumformungen.- 4. Herstellung der Normalform.- 5. Nähere Beschreibung der Produktdarstellung invertierbarer Matrizen durch Elementarmatrizen.- §8. Die spezielle lineare Gruppe. Transvektionen und Dilatationen.- 1. Definition der Gruppe SL(m,K).- 2. Die Inklusion Kom GL(m,K)?SL(m,K) und die Gleichung Kom GL (m, K)=SL (m, K).- 3. Geometrische Charakterisierung der Elementarmatrizen B??, (b).- 4. Die Gleichung Kom SL(m, K)=SL(m, K).- 5. Geometrische Charakterisierung der Elementarmatrizen D?(d).- 6. Transvektionen und Dilatationen.- 7. Die Gruppe SL(V).- V. Determinanten.- §1. Multilineare und alternierende Abbildungen.- 1. Multilineare Abbildungen. Beispiele.- 2. Alternierende und schiefsymmetrische multilineare Abbildungen.- 3. Rechenregeln für alternierende Formen.- §2. Existenz alternierender Formen.- 1. Konstruktion alternierender Formen mittels des Signumepimorphismus.- 2. Konstruktion alternierender m-Formen aus (m—1)- Formen.- §3. Determinanten.- 1. Determinante eines Endomorphismus.- 2. Eigenschaften der Determinante.- 3. Determinante einer quadratischen Matrix.- 4. Produktregel und Transpositionsinvarianz.- 5. Charakterisierung der Gruppe SL (m, K) durch die Determinante.- 6. Spur eines Endomorphismus.- §4. Determinantenkalkiil.- 1. Berechnung spezieller Determinanten.- 2. Berechnung von Determinanten mittels elementarer Zeilen- und Spaltenumformungen..- 3. Unterdeterminanten….- 4. Adjungierte Matrix. Laplacescher Entwicklungssatz.- § 5. Inverse und adjungierte Matrix.- 1. Charakterisierung invertierbarer Matrizen und Endomorphismen durch ihre Determinante. Basiskriterien.- 2. Determinantenrang.- 3. Die Inklusion (det?)M?=Im?.- 4. Rechenregeln für adjungierte Matrizen.- § 6. Lineare Gleichungen und Determinanten.- 1. Cramersche Regel.- 2. Lineare Gleichungssysteme in Moduln. Epimorphismen endlich erzeugbarer R-Moduln.- 3. Eindeutigkeitskriterien.- 4. Abbildungstheoretische Interpretation.- 5. Erzeugendenzahl und Freiheitsgrad.- § 7. Das charakteristische Polynom.- 1. Eigenräume, Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2. Charakteristisches Polynom.- 3. Fahnensatz. Trigonalisierbare Matrizen.- 4. Satz von Cayley-Hamilton.- Supplement. Noethersche, artinsche, halbeinfache Moduln.- §1. Noethersche und artinsche Moduln.- 1. Noethersche Moduln.- 2. Eigenschaften noetherscher Moduln.- 3. Noethersche Ringe.- 4. Hilbertscher Basissatz.- 5. Artinsche Moduln und artinsche Ringe.- §2. Halbeinfache Moduln.- 1. Einfache Moduln.- 2. Direkte Summen eines einfachen Moduls.- 3. Halbeinfache Moduln. Ergänzungssatz.- 4. Folgerungen aus dem Erganzungssatz.- 5. Umkehrung des Erganzungssatzes. Charakterisierung halbeinfacher Moduln.- §3. Struktur halbeinfacher Moduln.- 1. m-Komponenten. Struktursatz.- 2. Isomorphiekriterien für halbeinfache Moduln.- 3. Homogene Moduln.- 4. Länge halbeinfacher Moduln.- Literatur.- Symbolverzeichnis.