Lineare Algebra: Analytische Und Numerische Behandlungen

ISBN-13: 9783528041632 / Niemiecki / Miękka / 1987 / 389 str.

Horst Niemeyer; Edgar Wermuth; Gisela Engeln-M Llges

Opis

Dieses Buch macht den Leser mit den grundlegenden Teilen der Theorie und den wichtigsten numerischen Verfahren der linearen Algebra vertraut. Die behandelten Verfahren werden moglichst algorithmisch formuliert. Ausfuhrliche Beispiele erlautern den Stoff und stellen exemplarische Anwendungen der Theorie vor. Zu jedem Kapitel gibt es Aufgaben, deren Losungen am Schluss des Bandes zusammengefasst sind. Gedacht ist das Buch fur Studenten der Ingenieur- und Naturwissenschaften, in Forschung und Entwicklung tatige Praktike r aus diesen Bereichen, Informatiker und anwendungsorientierte Ma thematiker."

Spis treści

1 Die euklidischen Vektorräume ?2 und ?3.- 1.1 Der euklidische Vektorraum ?2.- 1.2 Der euklidische Vektorraum ?3.- 1.3 Anwendungen und Beispiele.- 1.3.1 Hessesche Normalform der Ebenengleichung.- 1.3.2 Abstand windschiefer Geraden.- 1.3.3 Drehungen im ?3.- 1.4 Aufgaben zu Kapitel 1.- 1.5 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 1.- 2 Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen.- 2.1 Vektorräume über ? oder ?.- 2.2 Beispiele.- 2.3 Erste Folgerungen aus den Vektorraumaxiomen.- 2.4 Lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension, Steinitzscher Austauschsatz.- 2.5 Koordinaten, Unterräume und lineare Mannigfaltigkeiten.- 2.6 Anwendungen und Beispiele.- 2.6.1 Pn (?).- 2.6.2 C2?.- 2.6.3 Lineare Rekursionsgleichungen.- 2.7 Aufgaben zu Kapitel 2.- 2.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 2.- 3 Lineare Abbildungen und Matrizen.- 3.1 Lineare Abbildungen, Matrizen.- 3.2 Das Matrizenprodukt.- 3.2.1 Schemata und Beispiele zur Matrizenmultiplikation.- 3.2.2 Blockmatrizen.- 3.3 Regeln für das Rechnen mit Matrizen.- 3.3.1 Spezielle Matrizen.- 3.3.2 Funktionen von Matrizen.- 3.4 Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme.- 3.5 Rang einer Matrix.- 3.6 Anwendungen und Beispiele.- 3.6.1 Rangbestimmung.- 3.6.2 Lineare Abbildungen.- 3.6.3 Inverse Matrix einer (2,2)-Matrix.- 3.6.4 Funktionen von Matrizen.- 3.6.5 Anwendung der Matrizenrechnung in der Vierpoltheorie.- 3.7 Aufgaben zu Kapitel 3.- 3.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 3.- 4 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten.- 4.1 Lösungen linearer Gleichungssysteme.- 4.2 Bemerkungen und Beispiele.- 4.3 Der Gaußsche Algorithmus, LR-Zerlegung von Matrizen.- 4.4 Das Verfahren von Gauß-Jordan.- 4.5 Determinanten.- 4.6 Anwendungen und Beispiele.- 4.6.1 LR-Zerlegung tridiagonaler Blockmatrizen.- 4.6.2 Determinante von Tridiagonalmatrizen.- 4.6.3 Kroneckerprodukt von Matrizen.- 4.7 Aufgaben zu Kapitel 4.- 4.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 4.- 5 Skalarprodukte, Normen, Orthogonale, Transformationen.- 5.1 Skalarprodukte, Normen.- 5.2 Normierte und metrische Räume, Banachscher Fixpunktsatz.- 5.3 Äquivalenz von Normen, Normen linearer Abbildungen.- 5.4 Orthogonalsysteme, Orthonormalbasen, orthogonale Unterräume.- 5.5 Adjungierte, orthogonale und unitäre Transformationen.- 5.6 Anwendungen und Beispiele.- 5.6.1 Beste Approximation.- 5.6.2 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- 5.6.3 Iterationsverfahren zur Berechnung der inversen Matrix.- 5.6.4 Skalarprodukt und orthogonale Matrizen.- 5.7 Aufgaben zu Kapitel 5.- 5.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 5.- 6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- 6.1 Fehlerabschätzungen, Konditionszahlen.- 6.2 Bemerkungen zum Gaußschen Eliminationsverfahren.- 6.2.1 Auswahl der Pivotelemente, Skalierung.- 6.2.2 Rechen- und Speicherplatzbedarf.- 6.2.3 Bandmatrizen.- 6.2.4 Schätzung der Konditionszahl.- 6.2.5 Nachiteration.- 6.3 Cholesky-Zerlegung.- 6.3.1 Das Verfahren.- 6.3.2 Bemerkungen zum Cholesky-Verfahren.- 6.4 QR-Zerlegung nach Householder.- 6.4.1 Das Verfahren.- 6.4.2 Beispiel und Bemerkungen.- 6.5 Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen.- 6.5.1 Allgemeines.- 6.5.2 Das Gesamtschrittverfahren (Jacobiverfahren).- 6.5.3 Das Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel-Verfahren).- 6.5.4 Relaxationsverfahren.- 6.5.5 Blockiterationsverfahren.- 6.6 Beispiele und Aufgaben.- 6.6.1 Beispiel (Randwertproblem der Potentialtheorie).- 6.6.2 Beispiel (Berechnung linearer Netzwerke).- 6.6.3 Beispiel (Methode der finiten Elemente).- 6.6.4 Aufgaben zu Kapitel 6.- 6.7 Hinweise zur Auswahl der Verfahren und auf weitere Literatur.- 7 Eigenwertprobleme und Normalformen.- 7.1 Problemstellung.- 7.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 7.2.1 Grundbegriffe und einführende Beispiele.- 7.2.2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 7.3 Spur, Minimalpolynom und Spektrum.- 7.3.1 Charakteristisches Polynom und Spur.- 7.3.2 Satz von Hamilton/Cayley und Minimalpolynom.- 7.3.3 Spektrum und Störungen.- 7.4 Spektralsatz und Hauptachsentransformation.- 7.4.1 Der Spektralsatz für normale Matrizen.- 7.4.2 Funktionen normaler Matrizen.- 7.4.3 Polarzerlegung und Quadratwurzel.- 7.4.4 Hauptachsentransformation.- 7.4.5 Verallgemeinerte Eigenwertprobleme.- 7.5 Die Jordansche Normalform.- 7.5.1 Herleitung der Normalform.- 7.5.2 Praktische Berechnung der Jordanschen Normalform.- 7.6 Einige Anwendungen der Jordanschen Normalform.- 7.6.1 Allgemeine Matrizenfunktionen.- 7.6.2 eA und log A.- 7.7 Die schwingende Saite.- 7.8 Aufgaben zu Kapitel 7.- 7.9 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 7.- 8 Numerische Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen.- 8.1 Fehlerabschätzungen und Einschließungssätze.- 8.2 Die Potenzmethode (Vektoriteration nach v. Mises).- 8.3 Die gebrochene Vektoriteration.- 8.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen in Hessenbergform.- 8.4.1 Bisektionsverfahren.- 8.4.2 Newtonverfahren.- 8.4.3 Hessenberg-Matrizen.- 8.4.4 Das QR-Verfahren.- 8.4.5 Eigenvektoren symmetrischer Tridiagonalmatrizen.- 8.5 Transformation auf Hessenbergform.- 8.6 Beispiele und Aufgaben.- 8.6.1 Beispiel (Rayleigh-Quotient und Ritzsches Verfahren).- 8.6.2 Aufgaben zu Kapitel 8.- 8.7 Bemerkungen zur Auswahl der Verfahren und Hinweise auf weitere Literatur.- Lösungen der Aufgaben.- 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- Sachwortverzeichnis.