Lineare Algebra

ISBN-13: 9783764326753 / Niemiecki / Twarda / 1991 / 356 str.

Artmann; B. Artmann

Opis

Dies Skript enthalt den Standards toff der Linearen Algebra, wie er in den ersten Semestern ublich ist. Es wurde in verschiedenen Formen zu Vorlesungen herausgegeben, die ich fur Studenten der Mathematik, Physik und Informatik an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten habe. Ich habe mir Muhe gegeben, den Text so einfach und leicht zuganglich wie moglich zu schreiben und jeweils typische Beispiele zu finden, um Satze und Begriffe zu illustrieren. Die Lineare Algebra kann man unter drei Aspekten sehen: geometrisch im Sinne der analytischen Geometrie, arithmetisch wie bei den Linearen Gleichungssystemen und vielen Teilen der Matrizenrechnung, die fur die Numerik wichtig sind, und schliesslich strukturbetont-abstrakt in der linearen und bilinearen Theorie der Vektorraume. Alle drei Aspekte soll ten in einer Einfuhrung zur Geltung kommen, so auch in diesem Skript. Allerdings habe ich versucht, die begriffliche Behandlung eines Stoffes so weit wie moglich ans Ende der jeweiligen Paragraphen zu stellen, um vorher uber Geometrie und Arithmetik eine verlassliche Intuition fur den Gegenstand aufzubauen. Diesem Zweck dienen besonders die einfuhrenden 2 Abschnitte uber die geometrischen Verhaltnisse im E . Gerade hier hat der Student, der ja die weitere Theorie noch nicht uberblicken kann, die Gelegenheit, aus der anschaulichen Fundierung den Sinn und die Be deutung der Begriffe und Fragestellungen zu begreifen und damit von einer vernunftigen Basis aus weiterzuarbeiten."

Spis treści

Kap. I Einführung.- § 0 Vektorrechnung in der Ebene ?2 und im Raum ?3.- § 0.A Vektorrechnung in der Ebene ?2.- § 0.B Vektorrechnung im Raum ?3.- Anhang: Das Dodekaeder.- § 0.C Das Vektorprodukt.- § O.D Ergänzung: Kegelschnitte.- § 1 Abbildungen, komplexe Zahlen, Strukturbegriffe.- § 1.A Mengen und Funktionen.- § 1.B Komplexe Zahlen.- § l.C Die Strukturbegriffe Gruppe und Körper.- Kap. II Allgemeine Theorie der Vektorräume.- § 2 Vektorräume.- § 2.A Vektorräume.- § 2.B Teilräume.- § 2.C Lineare Abbildungen und Isomorphie.- Anhang: Terminologie.- § 3 Basis und Dimension.- § 3.A Basis.- § 3.B Basis und Isomorphie.- Anhang: Basisauswahl und lineare Abbildungen.- § 3.C Dimension von Teilräumen.- Kap. III Matrizenrechnung.- § 4 Matrizenrechnung.- § 4.A Matrizen und lineare Abbildungen des ?2.- § 4.B Matrizen und lineare Abbildungen des Kn.- § 4.C Der Rang einer Matrix.- § 4.D Basiswechsel im Kn.- § 4.E Matrizen für lineare Abbildungen f: V ? W.- Anhang: Basiswechsel mit den Methoden aus Abschnitt 4.E.- § 4.F Einige Bezeichnungen und Ergänzungen.- § 4.G Ergänzung: Äquivalenzrelationen und Ähnlichkeit von Matrizen.- § 5 Lineare Gleichungssysteme.- § 5.A Allgemeine Sätze.- § 5.B Der Gaußsche Algorithmus.- § 5.C Umformungen mit Hilfe von Elementarmatrizen.- Anhang: Äquivalenz von Matrizen.- § 5.D Ergänzung: Geometrische Interpretation bei nicht invertierbarer Matrix A.- § 6 Die Determinante.- § 6.A Die Determinante im ?2.- § 6.B Definition von Determinantenfunktionen.- § 6.C Eindeutigkeit und Existenz der Determinante.- § 6.D Determinante und Matrizenmultiplikation.- § 6.E Determinantensätze für die Zeilen von A.- § 6.F Permutationen und die explizite Formel für det.- § 6.G Ergänzung: Permutationen und Permutationsmatrizen.- §7 Eigenwerte.- § 7.A Definitionen und Beispiele.- Anhang: Eigenwerte und Eigenfrequenzen bei Schwingungen.- § 7.B Diagonalisierung von Matrizen.- § 7.C Die Berechnung von Eigenwerten mit dem charakteristischen Polynom.- § 7.D Die komplexen Räume ?n.- § 7.E Ergänzung: Der Satz von Cayley-Hamilton.- Kap. IV Metrische Vektorräume.- § 8 Vektorräume mit Skalarprodukt.- § 8.A Der ?n mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt.- Anhang: Ausgleichsrechnung.- § 8.B Orthogonale Abbildungen und Matrizen.- § 8.C Orthogonale Abbildungen im ?2 und ?3.- § 8.D Das hermitesche Produkt im komplexen ?n.- § 8.E Unitäre Abbildungen und Matrizen.- Anhang: Überblick über einige Matrizengruppen (sog. lineare Gruppen).- § 8.F Allgemeine Theorie der Bilinearformen im ?n.- Anhang: Ein Satz von Apollonius über konjugierte Durchmesser der Ellipse.- § 8.G Ergänzung: Die Lorentz-Gruppe im ?2.- § 9 Die Hauptachsen-Transformation.- § 9.A Selbstadjungierte Operatoren, symmetrische und hennitesche Matrizen.- § 9.B Symmetrische 2 × 2 — Matrizen und Hauptachsen von Kegelschnitten.- § 9.C Die Hauptachsentransformation für symmetrische und hermitesche n × n — Matrizen: Der Spektralsatz.- § 9.D Flächen zweiten Grades im ?3.- § 9.E Quadratische Formen.- § 9.F Normalformen orthogonaler Matrizen.- Kap. V Affine Geometrie.- § 10 Affine Geometrie.- § 10.A Affine Teilräume eines Vektorraums.- § 10.B Affine Abbildungen.- Anhang: Die Matrizendarstellung der Gruppe Aff(Kn).- § 10.C Konvexität.- § 10.D Polyeder und Polytope.- Nachtrag.- § 11 Die Jordansche Normalform.- Literaturhinweise.- Register.- Lösungen der Aufgaben.