Lehrbuch Der Mathematik Für Wirtschaftswissenschaften

ISBN-13: 9783531112107 / Niemiecki / Miękka / 1975 / 997 str.

Heinz Korth

Opis

Wie viele andere Wissenschaftsbereiche werden auch die Wirtschaftswissenschaften in zunehmendem MaBe operationeller und bediirfen daher formaler Methoden zur Losung ihrer Probleme. Entscheidende Voraussetzung fiir diese Entwicklung ist die Verwendung der mathematischen Theorie: Durch Operationen mit Abstraktionen wie Konstanten, Variablen, Matrizen, Vektoren, Vektorriumen usw. und unter Zu grundelegung von Axiomen gelingt es, mit Hilfe der Mathematik wirtschaftswissen schaftliche Probleme zu beschreiben und mit Hilfe bestimmter Algorithmen zu losen. Je komplizierter und vielgestaltiger die quantitative Struktur wirtschaftlicher Phino mene in wirtschaftswissenschaftlicher Forschung und in der Wirtschaftspraxis in Er scheinung treten, um so notwendiger ist die Mathematik zur Beherrschung und Ge staltung des Wirtschaftsablaufs. Die Mathematik mit ihr n allgemeinen Formulie rungen von Problemen ermoglicht eine kurze prizise Darstellung der Wirklichkeit mit ihren vielseitigen Zusammenhingen, Beziehungen und Abhingigkeiten. Das weite Anwendungsgebiet der Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften und einigen Disziplinen, die fur die Wirtschaftswissenschaften von Bedeutung sind, soli die folgende Zusammenstellung zeigen: Entscheidungs- und Spieltheorie Mengenlehre, mathematische Logik, Kombinatorik, lineare Algebra Politische Arithmetik (Finanz- und Wirtschajtsarithmetik) Folgen und Reihen; Potenzrechnen, Logarithmen Vorwort Wachstumstheorie Lineare Algebra, Differential- und Differenzengleichungen Programmierung Lineare Algebra, lineare und nichtlineare Optimierung, dynamische Optimierung Input-Output-Analyse Lineare Algebra (Matrizenrechung, lineare Gleichungen) Okonometrie und Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, lineare Algebra (Matrizen und Determinantenrechnung, lineare Gleichungssysteme), Methode der kleinsten Quadrate N etzplantechnik Graphentheorie M arktjorschung Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Spieltheorie, lineare Algebra Operations Research (Unternehmensforschung) Lineare und nichtlineare Optimierung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Differential und Integralrechnung, Kombinatorik, Mengenlehre, lineare Algebra Kybernetik, elektronische Datenverarbeitung Mengenlehre, mathematische Logik, lineare Algebra Die moderne Wirtschaftstheorie und ihre Anwendung in der volkswirtschaftlichen

Spis treści

1. Einführung in die Logik.- 1.1. Aussagen, Variable, Aussageformen.- 1.2. Aussagenverbindungen.- 1.3. Identitäten.- 1.3.1. Logisch äquivalente Aussagenverbindungen.- 1.3.2. Identitäten in Form einer Implikation.- 1.3.3. Schlußregeln.- 1.4. Elemente der Schaltalgebra.- 1.5. Quantifizierung von Aussageformen.- Aufgaben.- 2. Grundbegriffe der Mengenlehre.- 2.1. Vorbemerkungen.- 2.2. Mengen und Teilmengen.- 2.3. Mengenoperationen.- 2.4. Produktmengen, Relationen.- 2.4.1. Produktmengen, Relationsbegriff.- 2.4.2. Ordnungsrelationen.- 2.4.3. Äquivalenzrelationen, Klasseneinteilungen.- 2.5. Abbildungen, Funktionen, Operationen.- 2.6. Gleichmächtigkeit von Mengen, Endlichkeit.- Aufgaben.- 3. Zahlenbereiche.- 3.1. Natürliche Zahlen.- 3.1.1. Peanosches Axiomensystem.- 3.1.2. Vollständige Induktion.- 3.2. Ganze Zahlen.- 3.3. Rationale Zahlen.- 3.4. Reelle Zahlen.- 3.4.1. Begriff und Operationen.- 3.4.2. Ungleichungen und absoluter Betrag.- 3.4.3. Darstellung reeller Zahlen (Zahlensysteme).- 3.5. Komplexe Zahlen.- 3.5.1. Begriff der komplexen Zahl.- 3.5.2. Rechnen mit komplexen Zahlen.- 3.5.3. Polarkoordinaten, trigonometrische Darstellung.- Aufgaben.- 4. Kombinatorik.- 4.1. Summenzeichen.- 4.2. Produktzeichen.- 4.3. Aufgaben der Kombinatorik.- 4.4. Permutationen.- 4.4.1. Permutationen ohne Wiederholung.- 4.4.2. Permutationen mit Wiederholung.- 4.5. Variationen.- 4.5.1. Variationen ohne Wiederholung.- 4.5.2. Variationen mit Wiederholung.- 4.6. Kombinationen.- 4.6.1. Kombinationen ohne Wiederholung.- 4.6.2. Kombinationen mit Wiederholung.- 4.7. Binomial- und Polynomialsatz.- 4.7.1. Eigenschaften des Eulerschen Symbols $$\left( {\begin{*} n \\ k \end} \right) $$.- 4.7.2. Binomialsatz.- 4.7.3. Polynomialsatz.- Aufgaben.- 5. Lineare Algebra.- 5.1. Matrixbegriff und spezielle Matrizen.- 5.2. Matrizenrelationen.- 5.2.1. Gleichheit von Matrizen.- 5.2.2. Ungleichheit von Matrizen.- 5.3. Matrizenoperationen.- 5.3.1. Transponieren.- 5.3.2. Matrizenaddition.- 5.3.3. Matrizensubtraktion.- 5.3.4. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar.- 5.3.5. Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalarprodukt).- 5.3.6. Multiplikation von Matrizen.- 5.4. Linearkombination von Vektoren.- 5.5. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren.- 5.6. Elementare Basistransformation.- 5.7. Rang einer Matrix.- 5.8. Konvexe Mengen.- 5.9. Lineare Gleichungssysteme.- 5.9.1. Begriff des linearen Gleichungssystems.- 5.9.2. Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.- 5.9.3. Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung.- 5.9.4. Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen.- 5.10. Matrizeninversion.- 5.11. Matrizengleichungen.- 5.12. Lineare Ungleichungssysteme.- 5.12.1. Begriff des linearen Ungleichungssystems.- 5.12.2. Normales Ungleichungssystem mit beschränkter Lösungsmenge.- 5.13. Determinanten.- 5.14. Quadratische Formen und Definitheit.- Aufgaben.- 6. Lineare Optimierung.- 6.1. Einleitung.- 6.2. Lineare Optimierungsmodelle und die Normalform der linearen Optimierungsaufgabe.- 6.2.1. Lineare Optimierungsmodelle.- 6.2.2. Normalform der linearen Optimierungsaufgabe.- 6.3. Graphische Lösung von linearen Optimierungsaufgaben in zwei Variablen.- 6.4. Grundlegende Eigenschaften linearer Optimierungsaufgaben.- 6.5. Simplexmethode.- 6.5.1. Simplexalgorithmus.- 6.5.2. Zur numerischen Durchführung des Simplexalgorithmus.- 6.5.3. Erzeugung einer ersten zulässigen Basislösung und der zugehörigen kanonischen Form — die Phase I der Simplexmethode.- 6.5.4. Numerische Durchführung der zwei Phasen der Simplexmethode.- 6.6. Dualitätstheorie der linearen Optimierung.- 6.6.1. Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben.- 6.6.2. Eigenschaften von Paaren dualer linearer Optimierungsaufgaben.- 6.6.3. Ökonomische Interpretation eines Paares dualer linearer Optimierungsaufgaben.- 6.7. Dualer Simplexalgorithmus.- 6.7.1. Theoretische Betrachtungen zum dualen Simplexalgorithmus.- 6.7.2. Zur numerischen Durchführung des dualen Simplexalgorithmus.- 6.8. Klassische Transportaufgabe.- 6.8.1. Problemstellung und Modellkonstruktion.- 6.8.2. Eigenschaften der klassischen Transportaufgabe und die Erzeugung zulässiger Basislösungen.- 6.8.3. Erzeugung einer optimalen zulässigen Basislösung.- 6.8.4. Zur numerischen Durchführung des Lösungsverfahrens für die klassische Transportaufgabe.- 6.9. Parametrische lineare Optimierung.- 6.9.1. Lineare Abhängigkeit der Bewertungskoeffizienten von einem Parameter.- 6.9.2. Lineare Abhängigkeit des Erfordernisvektors von einem Parameter.- 6.10. Diskrete lineare Optimierung.- 6.10.1. Schnittebenenverfahren von Gomory.- Aufgaben.- 7. Zahlenfolgen und -reihen.- 7.1. Begriff der Zahlenfolge, spezielle Zahlenfolgen.- 7.1.1. Erklärung der Zahlenfolge.- 7.1.2. Arithmetische Zahlenfolgen.- 7.1.3. Differenzenfolgen.- 7.1.4. Geometrische Zahlenfolgen.- 7.1.5. Beschränkte und monotone Zahlenfolgen.- 7.2. Konvergente Zahlenfolgen.- 7.2.1. Grenzwert von Zahlenfolgen.- 7.2.2. Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen.- 7.2.3. Divergente Zahlenfolgen.- 7.2.4. Konvergenzkriterien.- 7.3. Zahlenreihen.- 7.3.1. Begriff der unendlichen Reihe.- 7.3.2. Summe einer unendlichen Reihe.- 7.3.3. Unendliche geometrische Reihe.- 7.3.4. Konvergenzkriterien.- Aufgaben.- 8. Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen.- 8.1. Funktionen mit einer unabhängigen Variablen.- 8.1.1. Eigenschaften und Typen von Funktionen.- 8.1.2. Grenzwerte von Funktionen.- 8.1.3. Stetigkeit.- 8.2. Differenzierbarkeit.- 8.2.1. Differentialquotient.- 8.2.2. Differentiationsregeln.- 8.2.3. Mittelwertsatz.- 8.2.4. Differentiale.- 8.2.5. Ableitungen höherer Ordnung.- 8.3. Satz von Taylor; Taylorsche Reihen.- 8.3.1. Satz von Taylor.- 8.3.2. Taylorsche Reihen.- 8.3.3. Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktion.- 8.4. Anwendungen der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen.- 8.4.1. Relative und absolute Extrema.- 8.4.2. Monotonie, Konvexität, Konkavität.- 8.5. Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung.- 8.5.1. Optimale Losgröße.- 8.5.2. Optimale Nutzungsdauer.- 8.5.3. Optimale Laufzeit von Fördersonden.- 8.5.4. Optimale Ankunftsintensität von Schiffen.- Aufgaben.- 9. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.- 9.1. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.- 9.1.1. Grundbegriffe und geometrische Darstellung.- 9.1.2. Grenzwerte und Stetigkeit.- 9.2. Ableitung und Differential.- 9.2.1. Partielle Ableitungen.- 9.2.2. Vollständiges Differential.- 9.2.3. Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 9.2.4. Fehlerabschätzungen.- 9.3. Extremwerte.- 9.3.1. Notwendige Bedingungen.- 9.3.2. Hinreichende Bedingungen.- 9.3.3. Extremwerte unter Nebenbedingungen.- 9.3.4. Methode der kleinsten Quadratsumme.- Aufgaben.- 10. Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen.- 10.1. Unbestimmtes Integral.- 10.1.1. Stammfunktion.- 10.1.2. Grundregeln zur Ermittlung unbestimmter Integrale.- 10.1.3. Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen.- 10.1.4. Integration rationaler Funktionen.- 10.1.5. Integration einiger spezieller Funktionen.- 10.2. Bestimmtes Integral.- 10.2.1. Flächeninhalt.- 10.2.2. Bestimmtes (Riemannsches) Integral.- 10.2.3. Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen.- 10.2.4. Mittelwertsätze der Integralrechnung.- 10.2.5. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 10.2.6. Rechnen mit bestimmten Integralen.- 10.3. Anwendungen der Integralrechnung.- 10.4. Uneigentliche Integrale.- 10.4.1. Integrale über unbeschränkte Intervalle.- 10.4.2. Integrale von nicht beschränkten Funktionen.- Aufgaben.- 11. Lineare Differential- und Differenzengleichungen.- 11.1. Lineare Differentialgleichungen.- 11.1.1. Allgemeine Bemerkungen und Definitionen.- 11.1.2. Differentialgleichung 1. Ordnung.- 11.1.3. Trennung der Variablen.- 11.1.4. Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.- 11.1.5. Sätze über die Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.1.6. Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.- 11.1.7. Homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 11.1.8. Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 11.1.9. Methode der Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.- 11.1.10. Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 11.1.11. Spezielle Lösungsansätze zur Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 11.1.12. Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 11.1.13. Homogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.1.14. Inhomogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.1.15. Eliminationsverfahren zur Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen.- 11.1.16. Ökonomische Anwendungen von Differentialgleichungen.- 11.2. Differenzenrechnung.- 11.2.1. Funktion und ihre Differenzen.- 11.2.2. Eigenschaften des Differenzenoperators.- 11.3. Differenzengleichungen.- 11.3.1. Definitionen.- 11.3.2. Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzengleichungen.- 11.3.3. Allgemeine Sätze über lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.4. Lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.5. Homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.6. Homogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.7. Inhomogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.8. Systeme linearer Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.4. Zusammenhang zwischen Differenzen- und Differentialgleichungen.- Aufgaben.- 12. Nichtlineare Optimierung.- 2.1. Problemstellungen der nichtlinearen Optimierung.- 12.1.1. Allgemeine Aufgabe der nichtlinearen Optimierung.- 12.1.2. Graphische Lösung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben in zwei Variablen.- 12.1.3. Konvexe Funktionen.- 12.1.4. Globale und relative Extrema.- 12.1.5. Besonderheiten der nichtlinearen Optimierung.- 12.1.6. Aufgaben der konvexen Optimierung.- 12.1.7. Hyperbolische Optimierung.- 12.1.8. Quadratische Optimierung.- 12.2. Approximationsmethoden für Probleme mit trennbaren Funktionen.- 12.3. Hyperbolische Optimierung.- 12.4. Satz von Kuhn-Tucker.- 12.4.1. Satz von Kuhn-Tucker für konvexe Probleme.- 12.4.2. Bedingungen von Kuhn-Tucker für quadratische Probleme.- 12.5. Quadratische Optimierung.- 12.5.1. Allgemeine Aussagen über quadratische Probleme.- 12.5.2. Dualität.- 12.6. Gradientenverfahren.- 12.6.1. Allgemeines Vorgehen der Gradientenverfahren.- 12.6.2. Quadratischer Fall.- Aufgaben.- 13. Dynamische Optimierung.- 13.1. Stellung der dynamischen Optimierung in der Optimierungstheorie.- 13.2. Mehrstufige Entscheidungsprozesse.- 13.2.1. Dynamische Systeme und Mehrstufenprozesse.- 13.2.2. Mehrstufenentscheidungsprozesse.- 13.2.3. Separable Mehrstufenentscheidungsprozesse.- 13.2.4. Zusammenfassende Problemstellung.- 13.3. Lösungsverfahren.- 13.3.1. Optimalitätsprinzip.- 13.3.2. Funktionalgleichungen.- 13.3.3. Lösung der Funktionalgleichungen.- 13.3.4. Fragen der praktischen Auswertung der Funktionalgleichungen.- 13.3.5. Umkehrung der Optimierungsrichtung.- 13.4. Ein Verteilungsproblem.- 13.5. Wertung des Verfahrens und Ausblick.- Aufgaben.- 14. Graphentheorie.- 14.1. Grundlagen.- 14.1.1. Ungerichtete Graphen.- 14.1.2. Gerichtete Graphen.- 14.1.3. Durchlaufungen.- 14.1.4. Graphen und Matrizen.- 14.1.5. Bäume und Gerüste.- 14.1.6. Planare Graphen.- 14.2. Anwendungen der Graphentheorie in der Ökonomie.- 14.2.1. Kürzeste Wege.- 14.2.2. Einiges über Netzplantechnik.- 14.2.3. Spannungen auf Graphen.- 14.2.4. Ströme auf Graphen.- Aufgaben.- 15. Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 15.1. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 15.1.1. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 15.1.2. Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit.- 15.1.3. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 15.1.4. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 15.1.5. Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 15.1.6. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.- 15.1.7. Unabhängigkeit und Abhängigkeit von Ereignissen.- 15.1.8. Zufallsgrößen.- 15.2. Diskrete Verteilungen.- 15.2.1. Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.2. Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.3. Weitere Parameter einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.4. Erzeugende Funktion einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.5. Mehrdimensionale diskrete Zufallsgrößen.- 15.3. Spezielle diskrete Verteilungen.- 15.3.1. Binomialverteilung.- 15.3.2. Hypergeometrische Verteilung.- 15.3.3. Geometrische Verteilung.- 15.3.4. Poisson-Verteilung.- 15.3.5. Polynomialverteilung.- 15.4. Stetige Verteilungen.- 15.4.1. Verteilungsgesetz einer stetigen Zufallsgröße.- 15.4.2. Parameter einer stetigen Zufallsgröße.- 15.4.3. Mehrdimensionale stetige Zufallsgrößen.- 15.5. Spezielle stetige Verteilungen.- 15.5.1. Gleichmäßige Verteilung.- 15.5.2. Exponentialverteilung.- 15.5.3. Normalverteilung.- 15.5.4. Zweidimensionale Normalverteilung.- Aufgaben.- Lösungen zu den Aufgaben.- 1. Einführung in die Logik.- 2. Grundbegriffe der Mengenlehre.- 3. Zahlenbereiche.- 4. Kombinatorik.- 5. Lineare Algebra.- 6. Lineare Optimierung.- 7. Zahlenfolgen und -reihen.- 8. Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen.- 9. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.- 10. Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen.- 11. Lineare Differential- und Differenzengleichungen.- 12. Nichtlineare Optimierung.- 13. Dynamische Optimierung.- 14. Graphentheorie.- 15. Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Sachwortverzeichnis.