Hilbert-Räume Und Spektralmaße

ISBN-13: 9783528068561 / Niemiecki / Miękka / 1979 / 224 str.

Siegfried Brehmer

Opis

Die Theorie der HILBERT-Raume ist wohl der alteste Zweig der Funktionalanalysis. Sie ist zu Anfang dieses Jahrhunderts durch Abstraktion aus der Theorie der Inte gralgleichungen erwachsen und findet heute in den ver schiedensten Bereichen der Mathematik und Naturwissen schaften vielfaltige Anwendungen. So bildet sie zum Bei spiel die Grundlage ftir einen axiomatischen Aufbau der Quantenmechanik. Grundkenntnisse tiber die Theorie der HILBERT-Raume sind heute ein unentbehrliches Hilfs mittel ftir jeden Mathematiker und theoretischen Phy siker. Innerhalb der Funktionalanalysis zeichnet sich die Theorie der HILBERT-Raume durch groBe Anschaulich keit aus. Das Vorhandensein einer Metrik und einer Ortho gonalitatsrelation ermoglicht auch in abstrakten Begriffs bildungen eine elementargeometrische Betrachtungsweise. Wir haben uns wiederholt bemtiht, solche geometrischen Analogien bewuBt zu machen. Die allgemeinere Theorie der normierten Raume wird nur so weit entwickelt, wie sie ftir Anwendungen innerhalb der Theorie der HILBERT Raume bedeutungsvoll ist. 1m ersten Kapitel werden die grundlegenden Begriffs bildungen bereitgestellt. Der Hauptteil des Bandchens ist entsprechend ihrer Bedeutung der Theorie der be schrankten linearen Operatoren gewidmet. 1m Mittel punkt steht die Spektralzerlegung beschrankter selbst adjungierter Operatoren, die in den ersten beiden Ab schnitten des dritten Kapitels auf unbeschriinkte selbst adjungierte Operatoren ausgedehnt wird. Der Rest dieses Kapitels bringt eine relativ elementare Einftihrung in die Vorwort 4 allgemeine Theorie der SpektralmaBe und Spektral integrale und gipfelt in der Bereitstellung des Funktional kalkiils fiir meBbare Funktionen von unbeschrankten normalen Operatoren. Hierbei werden nur elementare Kenntnisse tiber meBbare Funktionen benotigt, die tiber dies noch einmal zusammenfasseud dargestellt werden.

Spis treści

1. Geometrie des Hilbert-Raumes.- 1.1. Lineare Räume und normierte Räume.- 1.2. Skalarprodukt. Prä-Hilbert-Räume.- 1.3. Orthogonalität. Orthonormierte Systeme.- 1.4. Normkonvergenz. Hilbert-Räume.- 1.5. Orthonormierte Basen.- 1.6. Unterräume.- 1.7. Der HILBERT-Raum L2(Rp).- 2. Beschränkte lineare Operatoren in Hilbert-Räumen.- 2.1. Lineare Operatoren.- 2.2. Lineare und bilineare Funktionale.- 2.3. Verknüpfungen linearer Operatoren.- 2.4. Adjungierte Operatoren.- 2.5. Resolventenmenge und Spektrum.- 2.6. Selbstadjungierte Operatoren.- 2.7. Projektoren.- 2.8. Stetige Funktionen eines beschränkten selbstadjungierten Operators.- 2.9. Spektralzerlegung selbstadjungierter Operatoren.- 2.10. Isometrische und partiell isometrische Operatoren.- 2.11. Normale und unitäre Operatoren.- 2.12. Kompakte Operatoren.- 3. Spektralintegrale und Spektralmaße.- 3.1. Unbeschränkte Operatoren.- 3.2. Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren.- 3.3. Spektralintegrale.- 3.4. Spektralintegrale unbeschränkter nichtnegativer Funktionen.- 3.5. Funktionenalgebren und meßbare Funktionen.- 3.6. Lebesguesche Fortsetzung eines Spektralintegrals.- 3.7. Spektralmaße.- 3.8. Spektralintegrale unbeschränkter Funktionen.- 3.9. Funktionen von zwei selbstadjungierten Operatoren.- 3.10. Unbeschränkte normale Operatoren.- Symbolverzeichnis.