Höhere Mathematik Für Ingenieure: Band V Funktionalanalysis Und Partielle Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783519029656 / Niemiecki / Miękka / 1991 / 449 str.

Herbert Haf

Opis

Der vorliegende funfte Band der Hoheren Mathematik fur Ingenieure behandelt die beiden Themenbereiche "Funktionalanalysis" und "Partielle Differentialgleichungen" und rundet damit diese Lehrbuchreihe ab. Die Adressaten sind - wie schon bei den anderen Banden - in erster Linie Studierende der Ingenieurwissenschaften, aber daruber hinaus auch der Angewandten Mathema tik, insbesondere der Technomathematik, sowie der Physik, der Physikalischen Che mie und der Informatik. Auch der "reine Mathematiker" wird manches Lesenswerte in diesem Buch finden. Zum Lernen, begleitend zur Vorlesung oder zum Selbststudium, zum Vertiefen, Nach schlagen und Wiederholen sind die Bande von Nutzen. Bei der Examensvorbereitung, wie auch in der spateren Berufspraxis findet der Leser Hilfe in dieser "Wissens bank." Auch dieser Band ist relativ unabhangig von den ubrigen Banden gestaltet. Das notige Vorwissen steht naturlich in den vorangehenden Banden, aus denen es der Leser ent nehmen kann. Er kann es naturlich auch anders erworben haben. Auch muss man die vorangehenden Bande nicht Wort fur Wort durchstudiert haben, um diesen verstehen zu konnen. Benotigte Inhalte aus den Banden I bis IV werden gezielt zitiert, oft sogar kurz wiederholt, so dass sich umstandliches Nachschlagen erubrigt. Der erste Schwerpunkt dieses Bandes ist durch die Funktionalanalysis gesetzt. Sie wurde in diesem Jahrhundert entwickelt und stellt mittlerweile auch fur den primar an Anwendungen Interessierten ein nutzliches und modernes mathematisches Instrumen tarium dar. Die Funktionalanalysis ist zweifellos von hoherem Abstraktionsgrad. Doch schon der Teil partielle Differentialgleichungen zeigt recht uberzeugend, wie lei stungsfahig die Funktionalanalysis ist."

Spis treści

Funktionalanalysis.- 1 Grundlegende Räume.- 1.1 Metrische Räume.- 1.1.1 Definition und Beispiele.- 1.1.2 Topologische Hilfsmittel.- 1.1.3 Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit.- 1.1.4 Bestapproximation in metrischen Räumen.- 1.1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen.- 1.2 Normierte Räume. Banachräume.- 1.2.1 Lineare Räume.- 1.2.2 Normierte Räume. Banachräume.- 1.3 Skalarprodukträume. Hilberträume.- 1.3.1 Skalarprodukträume.- 1.3.2 Hilberträume.- 1.3.3 Ein Approximationsproblem.- 1.3.4 Der Zerlegungssatz.- 1.3.5 Orthonormalsysteme in Hilberträumen.- 1.3.6 Fourierentwicklung in Hilberträumen.- 1.3.7 Struktur von Hilberträumen.- 2 Lineare Operatoren in normierten Räumen.- 2.1 Beschränkte lineare Operatoren.- 2.1.1 Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm.- 2.1.2 Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren.- 2.1.3 Die Neumannsche Reihe. Anwendungen.- 2.1.4 Lineare Funktionale in normierten Räumen.- 2.1.5 Der Rieszsche Darstellungssatz.- 2.1.6 Adjungierte und symmetrische Operatoren.- 2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen.- 2.2.1 Vollstetige Operatoren.- 2.2.2 Ausgeartete Operatoren.- 2.2.3 Die Fredholmsche Alternative.- 2.2.4 Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen.- 2.2.5 Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen.- 2.3 Symmetrische vollstetige Operatoren.- 2.3.1 Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren. Fourierentwicklung.- 2.3.2 Zusammenfassung.- 2.3.3 Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren.- 2.3.4 Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem.- 2.3.5 Das Spektrum eines symmetrischen Operators.- 3 Der Hilbertraum L2 (?) und zugehörige Sobolevräume.- 3.1 Der Hilbertraum L2(?).- 3.1.1 Motivierung.- 3.1.2 Definition von L2(?).- 3.1.3 Einbettung von $C_0^\infty \left( \Omega \right)$ in L2(?).- 3.1.4 Restriktion und norminvariante Erweiterung von L2-Funktionalen.- 3.1.5 Produkt von L2-Funktionalen mit stetigen Funktionen.- 3.1.6 Differentiation in L2(?).- 3.2 Sobolevräume.- 3.2.1 Der Sobolevraum Hm(?).- 3.2.2 Der Sobolevraum $\mathop H\limits^ \circ _m \left( \Omega \right)$.- 3.2.3 Ergänzungen.- Partielle Differentialgleichungen.- 4 Einführung.- 4.1 Was ist eine partielle Differentialgleichung?.- 4.1.1 Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung.- 4.1.2 Beispiele.- 4.1.3 Herleitung von partiellen Differentialgleichungen.- 4.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1-ter Ordnung.- 4.2.1 Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 4.2.2 Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung.- 4.3 Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung.- 4.3.1 Klassifikation.- 4.3.2 Separationsansätze.- 5 Helmholtzsche Schwingungsgleichung und Potentialgleichung.- 5.1 Grundlagen.- 5.1.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis.- 5.1.2 Radialsymmetrische Lösungen.- 5.1.3 Die Darstellungsformel für Innengebiete.- 5.1.4 Mittelwertformel und Maximumprinzip.- 5.1.5 Flächen- und Volumenpotentiale.- 5.2 Ganzraumprobleme.- 5.2.1 Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung.- 5.2.2 Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung.- 5.2.3 Die Darstellungsformel für Außengebiete.- 5.2.4 Ganzraumprobleme.- 5.3 Randwertprobleme.- 5.3.1 Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen.- 5.3.2 Sprungrelationen.- 5.3.3 Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden.- 5.4 Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie.- 5.4.1 Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem.- 5.4.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplaceoperators.- 5.5 Einführung in die Methode der finiten Elemente (F. Wille).- 5.5.1 Die Frechet-Ableitung.- 5.5.2 Variationsprobleme.- 5.5.3 Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme.- 5.5.4 Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM).- 5.5.5 Diskretes Variationsproblem.- 5.5.6 Beispiele.- 5.5.7 Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode.- 6 Die Wärmeleitungsgleichung.- 6.1 Rand- und Anfangswertprobleme.- 6.1.1 Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung.- 6.1.2 Die Eindeutigkeitsfrage.- 6.1.3 Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie.- 6.2 Ein Anfangswertproblem.- 6.2.1 Aufgabenstellung.- 6.2.2 Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung.- 6.2.3 Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation.- 7 Die Wellengleichung.- 7.1 Die homogene Wellengleichung.- 7.1.1 Anfangswertprobleme im ?1.- 7.1.2 Anfangswertprobleme im ?3.- 7.1.3 Anfangswertprobleme im ?2 („Method of descent“).- 7.1.4 Das Huygenssche Prinzip.- 7.1.5 Bemerkungen zu Rand- und Anfangswertproblemen.- 7.2 Die inhomogene Wellengleichung im ?3.- 7.2.1 Das Duhamelsche Prinzip.- 7.2.2 Die Kirchhoffsche Formel.- 7.2.3 Erzwungene Schwingungen.- 8 Hilbertraummethoden.- 8.1 Einführung.- 8.1.1 Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung.- 8.1.2 Nachweis einer schwachen Lösung.- 8.1.3 Ein äquivalentes schwaches Problem.- 8.2 Das schwache Dirichletproblem für lineare elliptische Differentiagleichungen.- 8.2.1 Das klassische Dirichletproblem.- 8.2.2 Das schwache Dirichletproblem.- 8.2.3 Ein äquivalentes schwaches Problem.- 8.2.4 Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren.- 8.2.5 Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren.- 8.2.6 Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems.- 8.3 Das schwache Neumannproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen.- 8.3.1 Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung.- 8.3.2 Nachweis einer schwachen Lösung.- 8.3.3 Ausblick auf den allgemeinen Fall.- 8.4 Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem.- 8.4.1 Innenregularität.- 8.4.2 Randregularität.- Symbole.

O autorze

Professor Dr. Herbert Haf - Universität-GH Kassel.