Höhere Mathematik Für Ingenieure: Band I Analysis

ISBN-13: 9783519229551 / Niemiecki / Miękka / 1992 / 617 str.

Klemens Burg; Herbert Haf; Friedrich Wille

Opis

Theorie ohne Praxis ist leer, Praxis ohne Theorie ist blind. Die vorliegende .. HOhere Mathematik fUr Ingenieure" umfaBt den Inhalt einer Vorle sungsreihe, die sich uber die ersten vier bis funf Semester erstreckt. Das Werk wendet sich hauptsiichlich an Studenten der Ingenieurwissenschaften, daruber hinaus aber all gemein an alle Studierenden technischer und physikalischer Richtungen, sowie an Stu denten der Angewandten Mathematik (Technomathematik, Mathematikingenieur, ma thematische Physik). Lemende und Lehrende finden mehr in diesen Banden, als in einem Vorlesungszyklus behandelt werden kann. Die Bucher sind so gedacht, daB der Dozent -dem Aufbau der Kapitel folgend - einen .. roten Faden" auswiihlt, der dem Studierenden den Weg in die Mathematik bahnt und ihm die StoffUlle strukturiert. Der Lehrende wird dabei seinen eigenen Vorstellungen folgen, etwa in der Auswahl der Beispiele, dem Weglassen gewis ser .. Seitenwege," oder dem Betonen von Sachverhalten, die fUr die Fachrichtung der HOrer seiner Lehrveranstaltung wichtig sind. Dem Studierenden sollen die Bande zur Nacharbeit und Vertiefung des Vorlesungsstof fes dienen, wie auch zum Selbststudium und zur Fortbildung. Die vielen Anwendungs beispiele sollen ihm den Inhalt dabei lebendig machen, und zusiitzliche Ausfilhrungen sein Kemwissen abrunden. Spater lassen sich die Bucher immer wieder als Nachschlage werk verwenden. Insbesondere sind sie zur Examensvorbereitung nutzlich, wie auch im Berufsleben als greifbares .. Hintergrundwissen."

Spis treści

1 Grundlagen.- 1.1 Reelle Zahlen.- 1.1.1 Die Zahlengerade.- 1.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen.- 1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit.- 1.1.4 Mengenschreibweise.- 1.1.5 Vollständige Induktion.- 1.1.6 Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag.- 1.1.7 Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische.- 1.2 Elementare Kombinatorik.- 1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik.- 1.2.2 Permutationen.- 1.2.3 Permutationen mit Identifikationen.- 1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen.- 1.2.5 Variationen mit Wiederholungen.- 1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen.- 1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen.- 1.2.8 Zusammenfassung.- 1.3 Funktionen.- 1.3.1 Beispiele.- 1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablen.- 1.3.3 Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie.- 1.3.4 Umkehrfunktion, Verkettungen.- 1.3.5 Allgemeiner Abbildungsbegriff.- 1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen.- 1.4.1 Definition und Beispiele.- 1.4.2 Nullfolgen.- 1.4.3 Konvergente Folgen.- 1.4.4 Ermittlung von Grenzwerten.- 1.4.5 Häufungspunkte, beschränkte Folgen.- 1.4.6 Konvergenzkriterien.- 1.4.7 Lösen von Gleichungen durch Iteration.- 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen.- 1.5.1 Konvergenz unendlicher Reihen.- 1.5.2 Allgemeine Konvergenzkriterien.- 1.5.3 Absolut konvergente Reihen.- 1.5.4 Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen.- 1.6 Stetige Funktionen.- 1.6.1 Problemstellung: Lösen von Gleichungen.- 1.6.2 Stetigkeit.- 1.6.3 Zwischenwertsatz.- 1.6.4 Regeln für stetige Funktionen.- 1.6.5 Maximum und Minimum stetiger Funktionen.- 1.6.6 Gleichmäßige Stetigkeit.- 1.6.7 Grenzwerte von Funktionen.- 1.6.8 Pole und Grenzwerte im Unendlichen.- 1.6.9 Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten.- 2 Elementare Funktionen.- 2.1 Polynome.- 2.1.1 Allgemeines.- 2.1.2 Geraden.- 2.1.3 Quadratische Polynome, Parabeln.- 2.1.4 Quadratische Gleichungen.- 2.1.5 Berechnung von Polynomwerten, Homer-Schema.- 2.1.6 Division von Polynomen, Anzahl der Nulllstellen.- 2.2 Rationale und algebraische Funktionen.- 2.2.1 Gebrochene rationale Funktionen.- 2.2.2 Algebraische Funktionen.- 2.2.3 Kegelschnitte.- 2.3 Trigonometrische Funktionen.- 2.3.1 Bogenlange am Einheitskreis.- 2.3.2 Sinus und Cosinus.- 2.3.3 Tangens und Cotangens.- 2.3.4 Arcus-Funktionen.- 2.3.5 Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen.- 2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen.- 2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen.- 2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e.- 2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(x) = ex und der natürliche Logarithmus.- 2.4.4 Logarithmen zu beliebigen Basen.- 2.4.5 Hyperbel- und Areafunktionen.- 2.5 Komplexe Zahlen.- 2.5.1 Einführung.- 2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen.- 2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen.- 2.5.4 Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm.- 2.5.5 Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen.- 3 Differentialrechnung einer reellen Variablen.- 3.1 Grundlagen der Differentialrechnung.- 3.1.1 Geschwindigkeit.- 3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten.- 3.1.3 Differenzierbare Funktionen.- 3.1.4 Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen.- 3.1.5 Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren.- 3.1.6 Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 3.1.7 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen.- 3.1.8 Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen.- 3.1.9 Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen.- 3.1.10 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln.- 3.2 Ausbau der Differentialrechnung.- 3.2.1 Die Regeln von de l’Hospital.- 3.2.2 Die Taylorsche Formel.- 3.2.3 Beispiele zur Taylorformel.- 3.2.4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen.- 3.2.5 Berechnung von ?.- 3.2.6 Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung.- 3.2.7 Das Newtonsche Verfahren.- 3.2.8 Bestimmung von Extremstellen.- 3.2.9 Kurvendiskussion.- 3.3 Anwendungen.- 3.3.1 Bewegung von Massenpunkten.- 3.3.2 Fehlerabschätzung.- 3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln.- 3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen.- 3.3.5 Zum Newtonschen Verfahren.- 3.3.6 Extremalprobleme.- 4 Integralrechnung einer reellen Variablen.- 4.1 Grundlagen der Integralrechnung.- 4.1.1 Flächeninhalt und Integral.- 4.1.2 Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen.- 4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel.- 4.1.4 Regeln für Integrale.- 4.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 4.2 Berechnung von Integralen.- 4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale.- 4.2.2 Substitutionsmethode.- 4.2.3 Produktintegration.- 4.2.4 Integration rationaler Funktionen.- 4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen.- 4.2.6 Numerische Integration.- 4.3 Uneigentliche Integrale.- 4.3.1 Definition und Beispiele.- 4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien.- 4.3.3 Integralkriterium für Reihen.- 4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion.- 4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung.- 4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik.- 4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen.- 4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung.- 4.4.4 Ortskurven bei Wechselstromschaltungen.- 5 Folgen und Reihen von Funktionen.- 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen.- 5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen.- 5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen.- 5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen.- 5.2 Potenzreihen.- 5.2.1 Konvergenzradius.- 5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren.- 5.2.3 Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz.- 5.2.4 Bemerkung zur Polynomapproximation.- 5.3 Fourier-Reihen.- 5.3.1 Periodische Funktionen.- 5.3.2 Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten.- 5.3.3 Beispiele für Fourier-Reihen.- 5.3.4 Konvergenz von Fourier-Reihen.- 5.3.5 Komplexe Schreibweise von Fourier-Reihen.- 5.3.6 Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung.- 6 Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler.- 6.1 Der n-dimensionale Raum ?n.- 6.1.1 Spaltenvektoren.- 6.1.2 Arithmetik im ?n.- 6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren.- 6.1.4 Topologische Begriffe.- 6.1.5 Matrizen.- 6.2 Abbildungen im ?n.- 6.2.1 Abbildungen aus ?n in ?n.- 6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler.- 6.2.3 Stetigkeit im ?n.- 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen.- 6.3.1 Partielle Ableitungen.- 6.3.2 Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene.- 6.3.3 Regeln für differenzierbare Abbildungen Richtungsableitung.- 6.3.4 Das vollständige Differential.- 6.3.5 Höhere partielle Ableitungen.- 6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz.- 6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen.- 6.4.1 Newton-Verfahren im ?n.- 6.4.2 Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz.- 6.4.3 Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen.- 6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen.- 7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler.- 7.1 Integration bei zwei Variablen.- 7.1.1 Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler.- 7.1.2 Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler.- 7.1.3 Grundlegende Sätze.- 7.1.4 Riemannsche Summen.- 7.1.5 Anwendungen.- 7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten.- 7.1.7 Transformationsformel für Bereichsintegrale.- 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen.- 7.2.1 Riemannsches Integral im ?n.- 7.2.2 Grundlegende Sätze.- 7.2.3 Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformel.- 7.2.4 Rauminhalte.- 7.2.5 Rotationskörper.- 7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente.- 7.3 Parameterabhängige Integrale.- 7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale.- 7.3.2 Differentiation eines parameterunabhängigen Integrals.- 7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen.- Lösungen zu den Übungen.- Symbole.- Literatur.

O autorze

Professor Dr. Klemens Burg, Universität-GH Kassel. Professor Dr. Herbert Haf - Universität-GH Kassel. Professor Dr. Friedrich Wille, Universität Kassel.