Höhere Mathematik: Differential- Und Integralrechnung Vektor- Und Matrizenrechnung

ISBN-13: 9783540531906 / Niemiecki / Miękka / 1993 / 545 str.

Kurt Meyberg; Peter Vachenauer

Opis

Auf vielfachen Wunsch liegt jetzt die zweite, verbesserte Auflage des Band 1 des zweibandigen Lehrbuchs Hohere Mathematik vor. Neben dem ublichen Vorlesungsstoff bieten die Autoren auch weiterfuhrende Anregungen. So gehen sie u.a. auf numerische Aspekte ein (eingefugte Programme, die auf erprobten Algorithmen beruhen). Der erste Band umfasst neben Differential- und Integralrechnung fur Funktionen in einer und mehreren reellen Variablen auch Vektoranalyis, Integralsatze und die n-dimensionale Vektor- und Matrizenrechnung. Eine Fulle eindrucksvoller Abbildungen, praxisbezogener Beispiele und Ubungsaufgaben tragen zu Anschaulichkeit bei. Besonders gekennzeichnete Zusammenfassungen mit detaillierten Rechenschemata eignen sich hervorragend zur Prufungsvorbereitung. Mit diesem zweibandigen Werk liegt nicht nur eine kompakte und umfassende Einfuhrung in die Hohere Mathematik vor, sondern gleichzeitig auch ein Nachschlagewerk fur Praktiker."

Spis treści

1. Zahlen und Vektoren.- §1. Mengen und Abbildungen.- 1.1 Mengen.- 1.2 Mengenoperationen.- 1.3 Abbildungen.- §2. Die reellen Zahlen.- 2.1 Bezeichnungen.- 2.2 Ungleichungen.- 2.3 Intervalle.- 2.4 Schranken.- 2.5 Der Betrag.- 2.6 Die vollständige Induktion.- 2.7 Binomialkoeffizienten und die binomische Formel.- Aufgaben.- §3. Die Ebene.- 3.1 Kartesische Koordinatensysteme.- 3.2 Winkel.- 3.3 Sinus, Cosinus.- 3.4 Drehungen.- §4. Vektoren.- 4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum.- 4.2 Vektoren.- 4.3 Die Addition von Vektoren.- 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors.- 4.5 Der Betrag.- 4.6 Vektoren im Koordinatensystem.- §5. Produkte.- 5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren.- 5.2 Das Skalarprodukt.- 5.3 Das Vektorprodukt.- 5.4 Das Spatprodukt.- Aufgaben.- §6. Geraden und Ebenen.- 6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden.- 6.2 Die Koordinatengleichungen einer Geraden.- 6.3 Die Momentengleichung der Geraden.- 6.4 Abstand Punkt-Gerade.- 6.5 Abstand Gerade-Gerade.- 6.6 Parameterdarstellungen einer Ebene.- 6.7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.- 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen.- 6.9 Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden.- Aufgaben.- §7. Gebundene Vektoren.- 7.1 Gebundene Vektoren.- 7.2 Ein System gebundener Vektoren.- 7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren.- Aufgaben.- §8. Die komplexen Zahlen.- 8.1 Die Menge der komplexen Zahlen.- 8.2 Die vier Grundrechenarten in ?.- 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen.- 8.4 Anwendungen.- 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit.- §1. Funktionen (Grundbegriffe).- 1.1 Funktionen.- 1.2 Monotonie.- 1.3 Das Rechnen mit Funktionen.- §2. Polynome und rationale Funktionen.- 2.1 Polynome.- 2.2 Polynomnullstellen - Faktorisierung.- 2.3 Polynom-interpolation.- 2.4 Der Graph.- 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdivision.- 2.6 Der Definitionsbereich D.- 2.7 Ergänzung: Polynome über ?.- Aufgaben.- §3. Die Kreisfunktionen.- 3.1 Definition und einfache Eigenschaften.- 3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion.- 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen.- 3.4 Anwendungen der De Moivre-Formeln.- 3.5 Harmonische Schwingungen.- Aufgaben.- §4. Zahlenfolgen und Grenzwerte.- 4.1 Folgen.- 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen.- §5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien.- 5.1 Rechenregeln.- 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschätzung.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Die Exponentialfunktion.- 5.5 Für Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium.- Aufgaben.- §6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit.- 6.1 Definitionen.- 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung.- 6.3 Asymptoten.- 6.4 Stetigkeit.- Aufgaben.- 3. Differentiation.- §1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion.- 1.1 Die Definition der Ableitung.- 1.2 Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg.- 1.3 Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation.- 1.4 Die physikahsche Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit.- 1.5 Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit.- 1.6 Diflferentiationsregeln.- 1.7 Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen.- 1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen.- 1.9 Die Kettenregel.- 1.10 Höhere Ableitungen.- Aufgaben.- §2. Anwendungen der Differentiation.- 2.1 Maxima und Minima einer Funktion.- 2.2 Der Mittelwertsatz.- 2.3 Wendepunkte.- 2.4 Die Regeln von De L’Hospital.- 2.5 Kurvendiskussion.- 2.6 Nullstellen und Fixpunkte.- 2.7 Kubische Splines.- Aufgaben.- §3. Umkehrfunktionen.- 3.1 Grundlagen.- 3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten.- 3.3 Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens.- Aufgaben.- §4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion.- 4.1 Die e-Funktion.- 4.2 Die Kurve y = ex ? 4.3 Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse.- 4.4 Der natürliche Logarithmus.- 4.5 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen.- 4.6 Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh.- Aufgaben.- 4. Integration.- §1. Das bestimmte Integral.- 1.1 Die Definition des bestimmten Integrals.- 1.2 Die geometrische Deutung.- 1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz.- 1.4 Differentiation und Integration.- Aufgaben.- §2. Integrationsregeln.- 2.1 Linearität.- 2.2 Partielle Integration.- 2.3 Die Substitutionsmethode.- 2.4 Symmetrien beachten.- 2.5 Ausblicke.- Aufgaben.- §3. Die Integration der rationalen Funktionen.- 3.1 Die Partialbruchzerlegung.- 3.2 Die Integration.- 3.3 Die Integration von R(ex).- 3.4 Die Integration von R$$ R(x,k\sqrt {\frac{{ax + b}} {{cx + e}}} ),ae - bc \ne 0 $$.- 3.5 Die Integration von R (sin x, cos x).- 3.6 Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen.- Aufgaben.- §4. Uneigentliche Integrale.- 4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale.- 4.2 Ein Konvergenz- Test.- 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral.- 4.4 Ausnahmestellen im Innern des Integrationsintervalls.- Aufgaben.- §5. Kurven, Längen- und Flächenmessung.- 5.1 Die Parameterdarstellung.- 5.2 Tangente und Normale.- 5.3 Kurvenlänge.- 5.4 Krümmung und Krümmungskreis.- 5.5 Die Polardarstellung einer ebenen Kurve.- 5.6 Flächeninhalte.- Aufgaben.- §6. Weitere Anwendungen des Integrals.- 6.1 Abkürzende Redeweisen.- 6.2 Das Volumen eines Rotationskörpers.- 6.3 Die Mantelfläche.- Aufgaben.- §7. Numerische Integration.- Aufgaben.- 5. Potenzreihen.- §1. Unendliche Reihen.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Absolute Konvergenz.- Aufgaben.- §2. Reihen von Funktionen.- 2.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 2.2 Gleichmäßig konvergente Funktionenreihen.- Aufgaben.- §3. Potenzreihen.- 3.1 Der Konvergenzradius.- 3.2 Berechnung des Konvergenzradius.- 3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen.- 3.4 Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen.- 3.5 Die Binomialreihe.- 3.6 Potenzreihen mit dem Zentrum a ? 0 ? 3.7.- 3.7 Koeffizientenvergleich.- Aufgaben.- §4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen.- 4.1 Die Taylor-Formel.- 4.2 Die Taylor-Reihe.- 4.3 Methoden der Reihenentwicklung.- Aufgaben.- §5. Anwendungen (an Beispielen).- 5.1 Grenzwertberechnungen.- 5.2 Näherungsformeln (Approximation).- 5.3 Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit nicht elementar integrierbarem Integranden.- 5.4 Potenzreihenansatz zur Lösung einfacher Differentialgleichungen.- Aufgaben.- 6. Lineare Algebra.- §1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- 1.1 Was ist eine Matrix?.- 1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor.- 1.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- 1.4 Das Gaußsche Lösungsverfahren.- Aufgaben.- §2. Die Matrizenmultiplikation.- 2.1 „Zeile mal Spalte“.- 2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen.- 2.3 Rechenregeln.- 2.4 Die Transponierte einer Matr.- 2.5 Invertierbare Matrizen.- 2.6 Diagonal- und Dreiecksmatrizen.- Aufgaben.- §3. Vektorräume.- 3.1 Der „abstrakte“ Vektorraum.- 3.2 Unterräume, Linearkombinationen, lineare Hülle.- 3.3 Basis und Dimension.- Aufgaben.- §4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen.- 4.1 Zeilenraum und Spaltenraum.- 4.2 Elementarmatrizen.- 4.3 Der Rang und die P-Q-Normalform.- 4.4 Rechen verfahren.- Aufgaben.- §5. Determinanten.- 5.1 Einführung.- 5.2 Definition der Determinante einer n x n -Matr.- 5.3 Rechenregeln für Determinanten.- 5.4 Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder Spalte.- 5.5 Beispiele.- 5.6 Anwendungen.- Aufgaben.- §6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte.- 6.1 Lineare Abbildungen.- 6.2 V = W = ?n.- 6.3 Längen und Winkel im ?n ; Orthogonalität.- 6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen.- 6.5 Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren.- 6.6 Basiswechsel, Koordinatentransformation.- 6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren.- 6.8 Die orthogonale Gruppe.- Aufgaben.- §7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen.- 7.1 Quadratische Formen.- 7.2 Die Hauptachsentransformation.- 7.3 Quadriken.- 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix.- 7.5 Positiv definite Matrizen.- Aufgaben.- 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation.- §1. Kurven im ?n.- 1.1 Parameterdarstellungen.- 1.2 Das begleitende Dreibein, Krümmung, Torsion.- 1.3 Ergänzung: Der natürliche Parameter und die Frenet- schen Formeln.- Aufgaben.- §2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher.- 2.1 Grundlagen.- 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit.- 2.3 Partielle Ableitungen, der Gradient.- 2.4 Die totale Ableitung und lineare Approximation.- 2.5 Einfache Anwendungen.- 2.6 Die Richtungsableitung, der Anstieg und die Kettenregel.- Aufgaben.- §3. Anwendungen der Differentiation.- 3.1 Die Bedeutung des Gradienten.- 3.2 Approximation höherer Ordnung; die Taylor-Formel.- 3.3 Implizite Funktionen.- 3.4 Lokale Minima und Maxima.- 3.5 Ausgleichsrechnung.- 3.6 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen.- Aufgaben.- §4. Vektorwertige Funktionen.- 4.1 Die Differentiation.- 4.2 Die Kettenregel.- 4.3 Räumliche Skalaren- und Vektorfelder.- 4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace- Operator.- Aufgaben.- 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration.- §1. Parameterintegrale.- 1.1 Parameterintegrale.- Aufgaben.- §2. Kurvenintegrale.- 2.1 Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion.- 2.2 Anwendungen.- 2.3 Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve.- 2.4 Anwendungen und Beispiele.- 2.5 Das Potential eines Gradientenfeldes.- 2.6 Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3).- Aufgaben.- §3. Die Integration über ebene Bereiche.- 3.1 Der Flächeninhalt.- 3.2 Definition und einfache Eigenschaften des Doppehntegrals.- 3.3 Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten.- 3.4 Weitere Anwendungen und Beispiele.- 3.5 Der Satz von Green.- Aufgaben.- §4. Die Integration über Flächen im Raum.- 4.1 Parameterdarstellungen.- 4.2 Beispiele.- 4.3 Der Flächeninhalt.- 4.4 Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion.- 4.5 Die Transformationsformel für Gebietsintegrale.- 4.6 Das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes.- 4.7 Der Satz von Stokes.- Aufgaben.- §5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche.- 5.1 Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals.- 5.2 Einfache Anwendungsbeispiele.- 5.3 Die Transformationsformel für Volumenintegrale.- 5.4 Der Divergenzsatz.- 5.5 Einige Anwendungen der Integralsätze.- 5.6 Orthogonale krummlinige Koordinaten.- Aufgaben.- Anhang: Pascal-Programme.- Namen- und Sachverzeichnis.