Grundlagen Der Funktionentheorie: Lehrbuch Für Mathematiker, Physiker Und Elektrotechniker Im 4. Semester

ISBN-13: 9783322979339 / Niemiecki / Miękka / 1969 / 189 str.

Wolfgang Tutschke

Opis

Dieses Buch stellt eine Einfuhrung in die (komplexe) Funktionentheorie dar. Die Funktionentheorie ist eine nach den verschiedensten Richtungen sehr weit entwickelte mathematische Theorie, deren Grundlage die Theorie der komplexen Differentiation ist. Einer der wichtigsten Satze der Funktionentheorie ist der Cauchysche Integralsatz. Er besagt, dass das komplexe Kurvenintegral einer komplexwertigen Funktion 1 (z) uber eine geschlossene Kurve gleich Null ist, wenn I(z) in jedem Punkt ihres Definitionsgebietes im komplexen Sinne differen zierbar ist. Allerdings gilt diese Aussage nur, wenn uber die Struktur des Defini tionsgebietes bestimmte Voraussetzungen gemacht werden. Hierin zeigt sich die enge Verbindung von Funktionentheorie und Topologie der Ebene. Diesen Zusammenhang kann man verwenden, um die Funktionentheorie gleich von Anfang an durch Heranziehung topologischer Aussagen aufzubauen. Ein sol cher Satz, der an die Spitze der Funktionentheorie gestellt werden kann, ist der Jordansche Kurvensatz. Seine Verwendung ist fur die Funktionentheorie ausserst bequem, da in den Begriff des einfach zus mmenhangenden Gebietes, zu dessen Definition man die Aussage de'> Jordanschen Kurvensatzes benotigt, sozusagen alle topologischen Schwierigkeiten hineingesteckt werden. Ein Nach teil dieser Ansatze ist, dass manche Analogien zur reellen Analysis, die erhalten bleiben konnten, verlorengehen. SARS und ZYGMUND waren meines Wissens die ersten, die auf diesen Umstand hingewiesen und in ihrem Buch 56] die Funktionentheorie ohne Verwendung des Jordanschen Kurvensatz3s aufgebaut haben. Diese Idee wurde von L. AHLFoRs 1] erneut aufgegriffen. R. NEVAN LINNA und V. PAATERO gaben in 48] einen Aufbau der Funktionentheorie mit Hilfe von Elementardeformationen, wodurch unnotige topologische Schwierig keiten umgangen werd

Spis treści

1. Die komplexen Zahlen.- 2. Komplexwertige Funktionen.- 3. Taylor-Entwicklung.- 4. Potenzreihen.- 5. Residuentheorie.- 6. Die Riemannsche Zahlenkugel.- 7. Geometrische Eigenschaften regulärer Funktionen.- 8. Zusammenhänge der Funktionentheorie mit der Topologie.- 9. Ausblick auf weitere Fragestellungen der Funktionentheorie.- Namen- und Sachverzeichnis.

O autorze

Dr. Wolfgang Tutschke hatte eine Professur für Mathematik an der Technischen Universität Graz inne.