Grundkurs Theoretische Mechanik

ISBN-13: 9783519030621 / Niemiecki / Miękka / 1984 / 348 str.

Manfred Heil; Franz Kitzka; Manfred Heil

Opis

Dieses Buch beschaftigt sich mit der klassischen nichtrelativistischen Punktmechanik einschliesslich des starren Korpers, jedoch nicht mit der Statik. Es wendet sich an Stu denten der Physik und benachbarter technischer Gebiete, die nach einer meist zwei semestrigen Einflihrungsvorlesung in Experimentalphysik in einem mehrsemestrigen Grundkurs in Theoretischer Physik das Zusammenspiel zwischen physikalischen Ideen und ihrer mathematischen Darstellung kennenlernen sollen. Die klassische Mechanik, mit der ein solcher Kurs ublicherweise beginnt, ist dafUr ein geeigneter Gegenstand, weil sie noch in einer Weise erfassbar ist, die man als anschaulich bezeichnen kann. Auch werden in der Mechanik Begriffe wie Bezugssystem, Inertialsystem, Kraft, Masse usw. eingefUhrt, deren Kenntnis in anderen Gebieten der Physik vorausgesetzt wird und de ren kritische Analyse zu neuen Erkenntnissen gefUhrt hat. Da nur ein mathematischer Grundkurs in Analysis und linearer Algebra vorausgesetzt werden soll, haben wir uns bemuht, eine moglichst einfache mathematische Darstellung der Mechanik zu bringen. Wir verzichten daher auf die Anwendung der Variationsrechnung, obwohl sie zu den wichtigen mathematischen Techniken der theoretischen Physik gehort. Stattdessen be nutzen wir nur die elementare Analysis, wobei das wesentlichste Hilfsmittel die Ketten regel fUr Funktionen mehrerer Variablen is

Spis treści

1 Newton-Mechanik.- 1.1 Raum, Zeit, Bezugssysteme.- 1.2 Kinematik.- 1.2.1 Bahnkurven, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Koordinaten.- 1.2.2 Koordinatentransformationen, Bezugssystemtransformationen.- 1.3 Die Dynamik von Massenpunkten.- 1.3.1 Die Newtonschen Grundgesetze.- 1.3.2 Dynamik eines Massenpunktes.- 1.3.2.1 Ein Beispiel.- 1.3.2.2 Arbeit, kinetische Energie.- 1.3.2.3 Konservative Kraftfelder, potentielle Energie, Energie.- 1.3.2.4 Zentralkraftfelder, Drehimpuls, Drehmoment.- 1.3.3 Dynamik mehrerer Massenpunkte.- 1.3.3.1 Bewegungsgleichungen, Wechselwirkungskräfte, Massenmittelpunkt.- 1.3.3.2 Arbeit, kinetische Energie, Impuls, Drehimpuls.- 1.3.3.3 Zweiteilchen-Wechselwirkungskräfte, Impulssatz.- 1.3.3.4 Zentrale Zweiteilchen-Wechselwirkungskräfte, Drehimpulssatz.- 1.3.3.5 Konservative Zweiteilchen-Wechselwirkungskräfte, Energiesatz.- 1.3.4 Konstanten der Bewegung.- 1.3.4.1 Definition und Beispiele.- 1.3.4.2 Erhaltungssätze und Invarianzen.- 1.3.4.3 Anwendung von Erhaltungssätzen.- 1.3.5 Die Dynamik von Massenpunkten bei Bezugssystem-Transformationen.- 1.3.5.1 Allgemeine Bezugssystem-Transformationen, Scheinkräfte, Inertialsysteme.- 1.3.5.2 Galilei-Transformation, Relativitätsprinzip.- 1.3.6 Das Newtonsche Zentralkraftfeld.- 1.3.6.1 Das Newtonsche Gravitationsgesetz.- 1.3.6.2 Kepler-Problem, Rutherford-Streuung.- 1.3.7 Die Newtonschen Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten.- 1.3.7.1 Generalisierte Koordinaten.- 1.3.7.2 Transformation der Bewegungsgleichungen.- 2 Lagrange-Mechanik.- 2.1 Vorbemerkungen und Beispiele.- 2.2 Die Lagrange-Gleichungen 1. Art in kartesischer Darstellung für holonome Nebenbedingungen.- 2.2.1 Arten der Nebenbedingungen, Lagrange-Gleichungen 1. Art für einen Massenpunkt.- 2.2.2 Lagrange-Gleichungen 1. Art für n Massenpunkte, Freiheitsgrade.- 2.2.3 Lagrange-Gleichungen 1. Art und Konstanten der Bewegung.- 2.3 Elimination der Multiplikatoren aus den Lagrange-Gleichungen 1. Art, Gaußsches Prinzip.- 2.3.1 Substitutionsverfahren.- 2.3.2 Projektionsverfahren (Prinzip der virtuellen Verrückungen).- 2.3.3 Das Gaußsche Prinzip des kleinsten Zwanges.- 2.4 Die Lagrange-Gleichungen 1. Art in generalisierten Koordinaten für holonome Nebenbedingungen.- 2.5 Lagrange-Gleichungen 2. Art.- 2.5.1 Herleitung der Lagrange-Gleichungen 2. Art.- 2.5.2 Berechnung der Zwangskräfte, angepaßte Wahl von generalisierten Koordinaten.- 2.5.3 Eichinvarianz, Nicht-Standard-Lagrange-Funktionen.- 2.5.4 Lagrange-Gleichungen 2. Art und die Eulerschen Differentialgleichungen des Hamiltonschen Variationsprinzips.- 2.6 Symmetrietransformationen und Erhaltungssätze bei Lagrange-Gleichungen 2. Art.- 2.6.1 Zyklische Koordinaten, Konstanten der Bewegung und Noether-Theorem.- 2.6.2 Jacobi-Integral und Energieerhaltungssatz.- 2.6.3 Methode der infinitesimalen Transformationen.- 2.6.4 Die klassischen Erhaltungssätze für ein abgeschlossenes System von Massenpunkten.- 2.7 Lagrange-Gleichungen für nichtholonome Nebenbedingungen.- 2.7.1 Beispiele für nichtholonome Nebenbedingungen.- 2.7.2 Das Gaußsche Prinzip des kleinsten Zwanges und die kartesischen Lagrange-Gleichungen für nichtholonome Nebenbedingungen, Freiheitsgrade.- 2.7.3 Der Energieerhaltungssatz bei nichtholonomen Nebenbedingungen.- 2.7.4 Elimination der Multiplikatoren aus den kartesischen Lagrange-Gleichungen 1. Art.- 2.7.4.1 Substitutionsverfahren.- 2.7.4.2 Projektionsverfahren (Prinzip der virtuellen Verrückungen).- 2.7.5 Lagrange-Gleichungen in generalisierten Koordinaten für nichtholonome Nebenbedingungen.- 2.7.6 Methode der Geschwindigkeitsparameter, Boltzmann-Hamel-Gleichungen.- 3 Hamilton-Mechanik.- 3.1 Phasenraum und kanonische Gleichungen.- 3.1.1 Vorbemerkungen.- 3.1.2 Der qk, pk-Raum (Phasenraum).- 3.1.3 Hamilton-Funktion und kanonische Gleichungen, Legendre-Transformation.- 3.2 Kanonische Transformationen und ihre Erzeugenden.- 3.2.1 Transformationen im Phasenraum, Forminvarianz der kanonischen Gleichungen.- 3.2.2 Kanonoide und kanonische Transformationen.- 3.2.3 Beispiele für kanonische Transformationen, Erzeugende.- 3.2.3.1 Eichtransformationen von L als kanonische Transformationen.- 3.2.3.2 Punkttransformationen im Konfigurationsraum als kanonische Transformationen.- 3.2.3.3 Die Erzeugende einer kanonischen Transformation.- 3.2.4 Die allgemeine Erzeugende G2(qj, pj’, t) und die Hamilton-Jacobi-Gleichung in der q-Darstellung.- 3.3 Hamilton-Jacobi-Theorie.- 3.3.1 Das vollständige Integral (vollständige Lösung) der Hamilton-Jacobi-Gleichung.- 3.3.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung für explizit zeitunabhängige Hamilton-Funktionen.- 3.3.3 Das allgemeine Separationsverfahren zur Berechnung eines vollständigen Integrals der Hamilton-Jacobi-Gleichung.- 3.3.4 Beispiel: Massenpunkt im homogenen Feld.- 3.3.5 Das allgemeine Integral (allgemeine Lösung) der Hamilton-Jacobi-Gleichung.- 3.3.6 Die sechs Typen von Erzeugenden kanonischer Transformationen.- 3.3.6.1 Eine fundamentale Pfaffsche Differentialform.- 3.3.6.2 Die vier Standard-Erzeugenden.- 3.3.6.3 Die p-Darstellung der Hamilton-Jacobi-Gleichung.- 3.3.6.4 Die Erzeugenden G5 und G6, Lagrange-Klammern.- 3.3.6.5 Notwendige und hinreichende Bedingungen für kanonische Transformationen.- 3.3.7 Klassifikation der kanonischen Transformationen, Mathieu-Transformationen.- 3.3.8 Die Gruppe der kanonischen Transformationen.- 3.4 Poisson-Mechanik.- 3.4.1 Dynamische Variablen, Poisson-Klammern.- 3.4.2 Eigenschaften der Poisson-Klammern.- 3.4.3 Das Poisson-Klammer-Theorem.- 3.4.4 Die Poisson-Klammern des Drehimpulses.- 3.4.5 Der Zusammenhang zwischen den Lagrange- und den Poisson-Klammern.- 3.5 Kanonische Transformationen und Konstanten der Bewegung.- 3.5.1 Liesche Transformationsgruppen.- 3.5.2 Kanonische Transformationsgruppen und ihre Generatoren.- 4 Der starre Körper.- 4.1 Zahl der Freiheitsgrade, Eulersche Winkel.- 4.2 Trägheitstensor, Steinerscher Satz.- 4.3 Impuls, Drehimpuls, kinetische Energie.- 4.4 Bewegungsgleichungen des starren Körpers.- 4.4.1 Lagrange-Gleichungen 1. Art im raumfesten Bezugssystem in kartesischer Darstellung.- 4.4.2 Die Eulerschen Gleichungen.- 4.4.3 Lagrange-Gleichungen in generalisierten Koordinaten.- 5 Anhang: Differentialformen.- 5.1 Pfaffsche Formen.- 5.1.1 Vorbemerkungen.- 5.1.2 Differentiale von Funktionen mehrerer Variablen.- 5.1.3 Definition der Pfaffschen Formen.- 5.1.4 Bilineare Kovariante, kanonische Darstellung.- 5.1.5 Vollständige Integrabilität Pfaffscher Differentialgleichungen.- 5.1.6 Transformation von Poincaré-Cartan-Formen.- 5.2 Differentialformen k. Grades.- 5.2.1 Produkte Pfaffscher Formen.- 5.2.2 Die Differentiation von Differentialformen.- 5.2.3 Transformationseigenschaften von Differentialformen.- 5.2.4 Die Sätze von Poincaré.- 5.2.5 Der Satz von Frobenius.- 5.2.6 Eigenschaften der Poincaré-Cartan-Form.- 6 Aufgaben und Lösungen.- 6.1 Aufgaben zu Abschnitt 1.- 6.2 Aufgaben zu Abschnitt 2.- 6.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.- 6.4 Aufgaben zu Abschnitt 4.- Literatur.