Grenzen Der Mathematik: Eine Reise Durch Die Kerngebiete Der Mathematischen Logik

ISBN-13: 9783662566169 / Niemiecki / Miękka / 2018 / 441 str.

Dirk W. Hoffmann

Opis

Der Band bietet einen Überblick über die Kerngebiete der mathematischen Logik - bis zu den Grenzen mathematischen Wissens. Beispiele und Abbildungen erleichtern das Verständnis. Der Band bietet mehr als 70 Aufgaben, mit Lösungen auf der begleitenden Website.

Ist die Mathematik frei von Widersprüchen? Gibt es Wahrheiten jenseits des Beweisbaren? Ist es möglich, unser mathematisches Wissen in eine einzige Zahl hineinzucodieren?Die moderne mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts gibt verblüffende Antworten auf solche Fragen.Das vorliegende Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik, hin zu den Grenzen der Mathematik. Unter anderem werden die folgenden Themen behandelt: Geschichte der mathematischen Logik, formale Systeme, axiomatische Zahlentheorie und Mengenlehre, Beweistheorie, die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze, Berechenbarkeitstheorie, algorithmische Informationstheorie, Modelltheorie.Das Buch enthält zahlreiche zweifarbige Abbildungen und mehr als 70 Aufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch).Für die dritte Auflage wurde das Kapitel 'Modelltheorie' um eine Beschreibung der von Paul Cohen entwickelten Forcing-Technik ergänzt.

Spis treści

Vorwort.- 

1 Historische Notizen.- 1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit.- 1.2 Der Weg zur modernen Mathematik.- 1.3 Übungsaufgaben.- 2 Formale Systeme.- 2.1 Definition und Eigenschaften.- 2.2 Entscheidungsverfahren.- 2.3 Aussagenlogik.- 2.4 Prädikatenlogik erster Stufe.- 2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit.- 2.6 Prädikatenlogik höherer Stufe.- 2.7 Übungsaufgaben.- 3 Fundamente der Mathematik.- 3.1 Peano-Arithmetik.- 3.2 Axiomatische Mengenlehre.- 3.3 Übungsaufgaben.- 4 Beweistheorie.- 4.1 Gödel’sche Unvollständigkeitssätze.- 4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz.- 4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz.- 4.4 Gödels Sätze richtig verstehen.- 4.5 Der Satz von Goodstein.- 4.6 Übungsaufgaben.- 5 Berechenbarkeitstheorie.- 5.1 Berechnungsmodelle.- 5.2 Die Church’sche These.- 5.3 Grenzen der Berechenbarkeit.- 5.4 Folgen für die Mathematik.- 5.5 Übungsaufgaben.- 6 Algorithmische Informationstheorie.- 6.1 Algorithmische Komplexität.- 6.2 Die Chaitin’sche Konstante.- 6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme.- 6.4 Übungsaufgaben.- 7 Modelltheorie.- 7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik.- 7.2 Nichtstandardmodelle von PA.- 7.3 Skolem-Paradoxon.- 7.4 Boole‘sche Modelle.- 7.5 Übungsaufgaben.- Literaturverzeichnis.- Bildnachweis.- Namensverzeichnis.- Sachwortverzeichnis.

O autorze

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk Die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze – Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis erschienen.

Blurb

Ist die Mathematik frei von Widersprüchen? Gibt es Wahrheiten jenseits des Beweisbaren? Ist es möglich, unser mathematisches Wissen in eine einzige Zahl hineinzucodieren?

Die moderne mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts gibt verblüffende Antworten auf solche Fragen; Antworten, die die Mathematik in der gleichen Weise verändert haben wie die Einstein’sche Relativitätstheorie die Physik. Heute wissen wir, dass in der Mathematik erkenntnistheoretische Grenzen existieren, die wir nicht überwinden können. Sie sind integraler Bestandteil jener Gesetzmäßigkeiten, die diese Wissenschaft im Innersten zusammenhalten.

Das vorliegende Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik, hin zu den Grenzen der Mathematik. Unter anderem werden die folgenden Themen behandelt: Geschichte der mathematischen Logik, formale Systeme, axiomatische Zahlentheorie und Mengenlehre, Beweistheorie, die Gödel‘schen Unvollständigkeitssätze, Berechenbarkeitstheorie, algorithmische Informationstheorie, Modelltheorie.

Das Buch enthält zahlreiche zweifarbige Abbildungen und mehr als 70 Aufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch).

Für die dritte Auflage wurde das Kapitel ‚Modelltheorie‘ um eine Beschreibung der von Paul Cohen entwickelten Forcing-Technik ergänzt.

 Stimmen zur ersten Auflage:

 „Der Schreibstil des Autors – stets auf Verständlichkeit bedacht – die vielen historischen Bezüge, die wohldurchdachte Aufmachung des Buches mit seinen vielen Bildern, Beispielen und Merkkästen und nicht zuletzt die jedem Kapitel beigegebenen Aufgaben machen das Buch zu einer Perle.“

Mathematische Semesterberichte

 „Ein lang ersehntes Buch“, „Spannender kann man ein Sachbuch nicht schreiben.“, „Definitives Muss.“

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Der Autor

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk Die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze – Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis erschienen.