Gewöhnliche Differentialgleichungen: Analytische Und Numerische Behandlung

ISBN-13: 9783528044206 / Niemiecki / Miękka / 1987 / 422 str.

W. Luther; K. Niederdrenk; F. Reutter

Opis

Gewohnliche Differentialgleichungen sind ein grundlegendes Werkzeug der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Mit ihrer Hilfe lassen sich so unterschiedliche Vorgange wie etwa mechanische und elektrische Regelkreise, Bewegungsgleichungen, chemische Reaktionen und Populationsmodelle beschreiben. Um solche Probleme erfolgreich losen zu konnen, ist eine Kombination analytischer Methoden und n umerischer Verfahren erforderlich."

Spis treści

1 Einführung.- 1.1 Stammfunktion und Flächeninhalt.- 1.2 Ein Bevölkerungsmodell.- 1.3 Mechanische Schwingungen.- 1.4 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung und ihre Lösungen.- 1.5 Partielle Differentialgleichungen.- 1.6 Literatur zu Kapitel 1.- 1.7 Aufgaben zu Kapitel 1.- 2 Spezielle Typen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung.- 2.1 Die separable Differentialgleichung.- 2.2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung.- 2.3 Die Bernoulli-Differentialgleichung.- 2.4 Die Riccati-Differentialgleichung.- 2.5 Die exakte Differentialgleichung.- 2.6 Der integrierende Faktor.- 2.7 Literatur zu Kapitel 2.- 2.8 Aufgaben zu Kapitel 2.- 3 Existenz-und Eindeutigkeitssätze und einfache numerische Verfahren..- 3.1 Der Existenzsatz von Peano.- 3.2 Eindeutigkeitskriterien.- 3.3 Die Lipschitz-Bedingung.- 3.4 Numerische Verfahren — ein Einstieg.- 3.5 Der Existenzsatz von Picard-Lindelöf.- 3.6 Der Existenzsatz für Differentialgleichungssysteme.- 3.7 Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten.- 3.8 Lösungen in Potenzreihenform.- 3.9 Literatur zu Kapitel 3.- 3.10 Aufgaben zu Kapitel 3.- 4 Explizite numerische Verfahren für Anfangswertprobleme.- 4.1 Die Konvergenz allgemeiner Einschrittverfahren.- 4.2 Spezielle Einschrittverfahren.- 4.3 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung für Einschrittverfahren.- 4.4 Mehrschrittverfahren vom Adams-Typ.- 4.5 „Das trudelnde Elektron“.- 4.6 Literatur zu Kapitel 4.- 4.7 Aufgaben zu Kapitel 4.- 5 Verallgemeinerte Lösungen und Variationsprobleme.- 5.1 Verallgemeinerte Lösungen.- 5.2 Die Eulersche Differentialgleichung bei Variationsproblemen.- 5.3 Literatur zu Kapitel 5.- 5.4 Aufgaben zu Kapitel 5.- 6 Implizite Differentialgleichungen und singuläre Punkte.- 6.1 Differentialgleichungen und Lösungsscharen.- 6.2 Reguläre und singuläre Linienelemente.- 6.3 Spezielle implizite Differentialgleichungen.- 6.4 Literatur zu Kapitel 6.- 6.5 Aufgaben zu Kapitel 6.- 7 Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 7.1 Lösungs- und Reduktionsmethoden spezieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 7.2 Qualitative Untersuchung der Differentialgleichung y? + f(y) = 0.- 7.3 Autonome Systeme und geschlossene Trajektorien.- 7.4 Die Differentialgleichung von Liénard.- 7.5 Literatur zu Kapitel 7.- 7.6 Aufgaben zu Kapitel 7.- 8 Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung.- 8.1 Lösungstheorie der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 8.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 8.3 Die Operatorenmethode zur Lösung linearer inhomogener Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und spezieller Störfunktion.- 8.4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten.- 8.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung und ihre adjungierte Form.- 8.6 Literatur zu Kapitel 8.- 8.7 Aufgaben zu Kapitel 8.- 9 Lösungen in Reihenform.- 9.1 Der allgemeine Existenzsatz.- 9.2 Singuläre Stellen bei linearen Differentialgleichungen.- 9.3 Singularitäten im Unendlichen und irregulär singuläre Punkte.- 9.4 Literatur zu Kapitel 9..- 9.5 Aufgaben zu Kapitel 9.- 10 Differentialgleichungssysteme.- 10.1 Einführung.- 10.2 Die Lösung linearer Systeme.- 10.3 Lineare Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 10.4 Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 10.5 Literatur zu Kapitel 10.- 10.6 Aufgaben zu Kapitel 10.- 11 Die Laplace-Transformation.- 11.1 Einführung.- 11.2 Einige elementare Eigenschaften der Laplace-Transformation.- 11.3 Die Umkehrtransformation.- 11.4 Laplace-Transformation und Delta-Funktion.- 11.5 Literatur zu Kapitel 11.- 11.6 Aufgaben zu Kapitel 11.- 12 Stabilitätsprobleme.- 12.1 Globale Stabilität.- 12.2 Stabilität bei linearen Systemen.- 12.3 Gestörte lineare Systeme.- 12.4 Die Methode von Lyapunov für nicht-lineare autonome Systeme.- 12.5 Literatur zu Kapitel 12.- 12.6 Aufgaben zu Kapitel 12.- 13 Numerik steifer Differentialgleichungen.- 13.1 Probleme bei steifen Systemen.- 13.2 Implizite Runge-Kutta-Verfahren.- 13.3 Mehrschrittverfahren vom Gear-Typ.- 13.4 „Kinetik einer autokatalytischen Reaktion“.- 13.5 Literatur zu Kapitel 13.- 13.6 Aufgaben zu Kapitel 13.- 14 Randwertprobleme.- 14.1 Das Randwertproblem eines linearen Differentialoperators n-ter Ordnung.- 14.2 Die Greensche Funktion.- 14.3 Selbstadjungierte Randwertprobleme.- 14.4 Nichtlineare Randwertprobleme.- 14.5 Literatur zu Kapitel 14.- 14.6 Aufgaben zu Kapitel 14.- 15 Numerische Behandlung von Randwertproblemen.- 15.1 Schießverfahren.- 15.2 Differenzenverfahren.- 15.3 Kollokationsverfahren.- 15.4 „Ein nichtlinearer Oszillator“.- 15.5 Literatur zu Kapitel 15.- 15.6 Aufgaben zu Kapitel 15.- 16 Eigenwertprobleme.- 16.1 Das reguläre Sturm-Liouville Rand- und Eigenwertproblem.- 16.2 Singuläre Sturm-Liouville Randwertprobleme.- 16.3 Literatur zu Kapitel 16.- 16.4 Aufgaben zu Kapitel 16.- Appendix: Grundlagen der Funktionentheorie.- A. 1 Die komplexen Zahlen.- A.2 Holomorphie komplexwertiger Funktionen.- A.3 Der Cauchysche Integralsatz.- A.4 Weitere Folgerungen.- A.5 Potenzreihenentwicklungen holomorpher Funktionen.- A.6 Isolierte Singularitäten und Laurentreihenentwicklungen.- A.7 Umkehrfunktionen.- Lösungen der Aufgaben.- 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.