Gewöhnliche Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783540668909 / Twarda / 2001 / 344 str.

L. Arnold

Opis

nen (die fast unverandert in moderne Lehrbucher der Analysis ubernommen wurde) ermoglichten ihm nach seinen eigenen Worten, "in einer halben Vier telstunde" die Flachen beliebiger Figuren zu vergleichen. Newton zeigte, dass die Koeffizienten seiner Reihen proportional zu den sukzessiven Ableitungen der Funktion sind, doch ging er darauf nicht weiter ein, da er zu Recht meinte, dass die Rechnungen in der Analysis bequemer auszufuhren sind, wenn man nicht mit hoheren Ableitungen arbeitet, sondern die ersten Glieder der Reihenentwicklung ausrechnet. Fur Newton diente der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Reihe und den Ableitungen eher dazu, die Ableitungen zu berechnen als die Reihe aufzustellen. Eine von Newtons wichtigsten Leistungen war seine Theorie des Sonnensy stems, die in den "Mathematischen Prinzipien der Naturlehre" ("Principia") ohne Verwendung der mathematischen Analysis dargestellt ist. Allgemein wird angenommen, dass Newton das allgemeine Gravitationsgesetz mit Hilfe seiner Analysis entdeckt habe. Tatsachlich hat Newton (1680) lediglich be wiesen, dass die Bahnkurven in einem Anziehungsfeld Ellipsen sind, wenn die Anziehungskraft invers proportional zum Abstandsquadrat ist: Auf das Ge setz selbst wurde Newton von Hooke (1635-1703) hingewiesen (vgl. 8) und es scheint, dass es noch von weiteren Forschern vermutet w

Spis treści

1. Grundbegriffe.- § 1. Phasenräume.- 1. Beispiele für Evolutionsprozesse.- 2. Phasenflüsse.- 3. Intergralkurven im Richtungsfeld.- 4. Eine Differentialgleichung und ihre Lösungen.- 5. Die Evolutionsgleichung mit eindimensionalem Phasenraum.- 6. Beispiel: Die Gleichung der normalen Vermehrung.- 7. Beispiel: Die Explosionsgleichung.- 8. Beispiel: Die logistische Kurve.- 9. Beispiel: Fangquoten.- 10. Beispiel: Der Fang mit relativer Quote.- 11. Gleichungen mit mehrdimensionalem Phasenraum.- 12. Beispiel: Die Differentialgleichung eines Räuber-Beute Systems.- 13. Beispiel: Ein freies Teilchen auf der Geraden.- 14. Beispiel: Der freie Fall.- 15. Beispiel: Kleine Schwingungen.- 16. Beispiel: Das mathematische Pendel.- 17. Beispiel: Das umgedrehte Pendel.- 18. Beispiel: Kleine Schwingungen des sphärischen Pendels.- § 2. Vektorfelder auf der Geraden.- 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.- 2. Ein Gegenbeispiel.- 3. Beweis der Eindeutigkeit.- 4. Direkte Produkte.- 5. Beispiele direkter Produkte.- 6. Gleichungen mit trennbaren Veränderlichen.- 7. Beispiel: Das Volterra-Lotka Modell.- § 3. Lineare Gleichungen.- 1. Lineare homogene Gleichungen.- 2. Lineare homogene Gleichungen erster Ordnung mit periodischen Koeffizienten.- 3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 4. Die Greensche Funktion und ?-förmige Inhomogenitäten.- 5. Lineare inhomogene Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- § 4. Phasenflüsse.- 1. Die Operation von Gruppen auf einer Menge.- 2. Einparametrige Transformationsgruppen.- 3. Einparametrige Gruppen von Diffeomorphismen.- 4. Das Vektorfeld der Phasengeschwindigkeit.- § 5. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern und Richtungsfeldern.- 1. Die Operation glatter Abbildungen auf Vektoren.- 2. Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern.- 3. Variablensubstitution in einer Gleichung.- 4. Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Richtungsfeld.- 5. Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Phasenfluß.- § 6. Symmetrien.- 1. Symmetriegruppen.- 2. Anwendung einer einparametrigen Symmetriegruppe zur Integration einer Gleichung.- 3. Homogene Gleichungen.- 4. Quasihomogene Gleichungen.- 5. Ähnlichkeits- und Dimensionsbetrachtungen.- 6. Methoden der Integration von Differentialgleichungen.- 2. Grundlegende Sätze.- § 7. Rektifizierungssätze.- 1. Rektifizierbare Richtungsfelder.- 2. Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- 3. Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit einer Lösung von den Anfangswerten.- 4. Transformationen in der Zeit von t0 bis t.- 5. Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von einem Parameter.- 6. Fortsetzungssätze.- 7. Rektifizierung eines Vektorfeldes.- § 8. Anwendungen auf Gleichungen höherer Ordnung.- 1. Die Äquivalenz einer Gleichung n-ter Ordnung zu einem System von n Gleichungen erster Ordnung.- 2. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 3. Differenzierbarkeits- und Fortsetzungssätze.- 4. Systeme von Gleichungen.- 5. Bemerkungen zur Terminologie.- § 9. Phasenkurven eines autonomen Systems.- 1. Autonome Systeme.- 2. Verschiebungen in der Zeit.- 3. Geschlossene Phasenkurven.- § 10. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes und erste Integrale.- 1. Die Ableitung in Richtung eines Vektors.- 2. Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes.- 3. Eigenschaften der Richtungsableitung.- 4. Die Liealgebra der Vektorfelder.- 5. Erste Integrale.- 6. Lokale erste Integrale.- 7. Zeitabhängige erste Integrale.- § 11. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare homogene Gleichungen.- 2. Das Cauchyproblem.- 3. Lineare inhomogene Gleichungen.- 4. Die quasilineare Gleichung.- 5. Die Charakteristiken einer quasilinearen Gleichung.- 6. Integration einer quasilinearen Gleichung.- 7. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 12. Das konservative System mit einem Freiheitsgrad.- 1. Definitionen.- 2. Der Energieerhaltungssatz.- 3. Energieniveaulinien.- 4. Die Energieniveaulinien in der Nähe singulärer Punkte.- 5. Fortsetzung der Lösungen der Newtonschen Gleichung.- 6. Nichtkritische Energieniveaulinien.- 7. Beweis des Satzes aus Abschnitt 6.- 8. Kritische Niveaulinien.- 9. Ein Beispiel.- 10. Kleine Störungen eines konservativen Systems.- 3. Lineare Systeme.- § 13. Lineare Probleme.- 1. Beispiel: Linearisierung.- 2. Beispiel: Einparametrige Gruppen linearer Transformationen des ?n.- 3. Die lineare Gleichung.- § 14. Die Exponentialfunktion.- 1. Die Norm eines Operators.- 2. Der metrische Raum der Operatoren.- 3. Beweis der Vollständigkeit.- 4. Reihen.- 5. Definition der Exponentialfunktion eA.- 6. Ein Beispiel.- 7. Die Exponentialfunktion für einen diagonalen Operator.- 8. Die Exponentialfunktion für einen nilpotenten Operator.- 9. Quasipolynome.- § 15. Eigenschaften der Exponentialfunktion.- 1. Die Gruppeneigenschaft.- 2. Der Fundamentalsatz der Theorie linearer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 3. Die allgemeine Gestalt einparametriger Gruppen linearer Transformationen des ?n.- 4. Eine zweite Definition der Exponentialfunktion.- 5. Beispiel: Die Eulersche Formel für ez.- 6. Eulersche Polygonzüge.- § 16. Die Determinante des Operators eA.- 1. Die Determinante eines Operators.- 2. Die Spur eines Operators.- 3. Der Zusammenhang zwischen der Determinanten und der Spur.- 4. Die Determinante des Operators eA.- § 17. Praktische Berechnung der Matrixexponentialfunktion: Der Fall reeller paarweise verschiedener Eigenwerte.- 1. Diagonale Operatoren.- 2. Ein Beispiel.- 3. Der diskrete Fall.- § 18. Komplexifizierung und Reellifizierung.- 1. Reellifizierung.- 2. Komplexifizierung.- 3. Die komplexe Konjugation.- 4. Exponentialfunktion, Determinante und Spur eines komplexen Operators.- 5. Die Ableitung einer Kurve mit komplexen Werten.- § 19. Die lineare Gleichung mit komplexen Koeffizienten.- 1. Definitionen.- 2. Der Fundamentalsatz.- 3. Der diagonale Fall.- 4. Beispiel: Eine lineare Gleichung, deren Phasenraum die komplexe Gerade ist.- 5. Ein Korollar.- § 20. Die Komplexifizierung einer reellen Gleichung.- 1. Die komplexifizierte Gleichung.- 2. Invariante Unterräume eines reellen Operators.- 3. Lineare Gleichungen in der Ebene.- 4. Klassifikation singulärer Punkte in der Ebene.- 5. Beispiel: Das Pendel mit Reibung.- 6. Die allgemeine Lösung einer linearen Gleichung im Fall einfacher Wurzeln der charakteristischen Gleichung.- § 21. Klassifikation der singulären Punkte eines linearen Systems.- 1. Beispiel: Singuläre Punkte im dreidimensionalen Raum.- 2. Lineare, differenzierbare und topologische Äquivalenz.- 3. Die lineare Klassifikation.- 4. Die differenzierbare Klassifikation.- § 22. Die topologische Klassifizierung singulärer Punkte.- 1. Ein Satz.- 2. Reduktion auf den Fall m_ = 0.- 3. Die Ljapunovfunktion.- 4. Konstruktion der Ljapunovfunktion.- 5. Eine Abschätzung der Ableitung.- 6. Die Konstruktion des Homöomorphismus h.- 7. Beweis von Lemma 3.- 8. Der Beweis des topologischen Klassifizierungssatzes.- § 23. Stabilität von Gleichgewichtslagen.- 1. Stabilität nach Ljapunov.- 2. Asymptotische Stabilität.- 3. Ein Satz über die Stabilität in erster Näherung.- 4. Beweis des Satzes.- § 24. Der Fall rein imaginärer Eigenwerte.- 1. Topologische Klassifikation.- 2. Ein Beispiel.- 3. Die Phasenkurven von (4) auf dem Torus.- 4. Folgerungen.- 5. Der mehrdimensionale Fall.- 6. Die gleichmäßige Verteilung.- § 25. Der Fall mehrfacher Eigenwerte.- 1. Die Berechnung von eAt für einen Jordanblock A.- 2. Anwendungen.- 3. Anwendungen auf Systeme höherer Ordnung.- 4. Der Fall einer Gleichung n-ter Ordnung.- 5. Rekursive Folgen.- 6. Kleine Schwingungen.- § 26. Quasipolynome.- 1. Ein Funktionenvektorraum.- 2. Der Vektorraum der Lösungen einer linearen Gleichungen.- 3. Invarianz bezüglich Verschiebungen.- 4. Eine historische Bemerkung.- 5. Inhomogene Gleichungen.- 6. Die Methode der komplexen Amplituden.- 7. Anwendung zur Berechnung schwach nichtlinearer Schwingungen.- § 27. Lineare nichtautonome Gleichungen.- 1. Definition.- 2. Existenz von Lösungen.- 3. Der Vektorraum der Lösungen.- 4. Die Wronskische Determinante.- 5. Der Fall einer einzigen Gleichung.- 6. Der Satz von Liouville.- 7. Die Sturmschen Sätze über die Nullstellen der Lösungen einer Gleichung zweiter Ordnung.- § 28. Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 1. Die Abbildung nach einer Periode.- 2. Stabilitätskriterien.- 3. Stark stabile Systeme.- 4. Rechnungen.- § 29. Variation der Konstanten.- 1. Der einfachste Fall.- 2. Der allgemeine Fall.- 3. Rechnungen.- 4. Beweise der grundlegenden Sätze.- § 30. Kontrahierende Abbildungen.- 1. Definition.- 2. Satz über kontrahierende Abbildungen.- 3. Bemerkung.- § 31. Beweis des Existenzsatzes und des Satzes über die stetige Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.- 1. Sukzessive Approximationen nach Picard.- 2. Vorbereitende Abschätzungen.- 3. Die Lipschitzbedingung.- 4. Differenzierbarkeit und Lipschitzbedingung.- 5. Die Größen C, L, a?, b?.- 6. Der metrische Raum M.- 7. Die kontrahierende Abbildung A : M ? M.- 8. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 9. Weitere Anwendungen kontrahierender Abbildungen.- § 32. Der Differenzierbarkeitsatz.- 1. Die Variationsgleichung.- 2. Der Satz von der Differenzierbarkeit.- 3. Höhere Ableitungen nach x.- 4. Ableitungen nach x und t.- 5. Der Rektifizierungssatz.- 6. Die höchste Ableitung.- 5. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.- § 33. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 1. Beispiele für Mannigfaltigkeiten.- 2. Definitionen.- 3. Beispiele für Atlanten.- 4. Kompaktheit.- 5. Zusammenhang und Dimension.- 6. Differenzierbare Abbildungen.- 7. Bemerkung.- 8. Untermannigfaltigkeiten.- 9. Beispiel.- § 34. Tangentialbündel. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten.- 1. Der Tangentialraum.- 2. Tangentialbündel.- 3. Bemerkungen zur Parallelisierbarkeit.- 4. Tangentialabbildungen.- 5. Vektorfelder.- § 35. Der durch ein Vektorfeld definierte Phasenfluß.- 1. Ein Satz.- 2. Konstruktion der Diffeomorphismen gt für kleine t.- 3. Konstruktion von gt für beliebige t.- 4. Bemerkung.- § 36. Der Index singulärer Punkte eines Vektorfeldes.- 1. Der Index einer Kurve.- 2. Eigenschaften des Index.- 3. Beispiele.- 4. Der Index eines singulären Punktes des Vektorfeldes.- 5. Satz von der Indexsumme.- 6. Die Indexsumme singulärer Punkte auf der Sphäre.- 7. Exakte Grundlagen.- 8. Der mehrdimensionale Fall.- Prüfungsprogramm.- Beispiele für Prüfungsaufgaben.

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