Geometrische Ordnungen

ISBN-13: 9783642999222 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 430 str.

Otto Haupt; Hermann K. Nneth

Opis

Die Fragestellungen aus dem Gebiet der geometrischen Ordnungen (franzosisch: "geometrie finie") sind erwachsen aus solchen der alge braischen Geometrie und der Differentialgeometrie, und zwar aus dem Bestreben, dengeometrischen Gehalteinschlii. giger SatzeherauszuschaJen; man gelangt dabei vielfach zu topologischen Problemen. Aus den in vielen Zeitschriften verstreuten Arbeiten uber geometrische Ordnungen solI hier erstmals eine Auswahl gegeben werden, wobei wir auch einige neue Satze sowie noch unveroffentlichte Beweise fur altere Satze bringen. Eine zusammenfassende Darstellung alIer bisherigen Ergebnisse hatte den zur Verfugung stehenden Raum weit uberschritten. Um aber einen, wenn auch nicht vollstandigen Dberblick wenigstens uber neuere Unter suchungen zu geben, werden im letzten Teil des Buches Berichte uber Arbeiten von D. DERRY (Vancouver), F. FABRICIUS-BJERRE (Kopen hagen), A. MARCHAUD (Paris) und P. SCHERK (Toronto) gebracht; wir mochten den eben genannten Herren auch an dieser Stelle herzlichst danken fur die groBe Liebenswiirdigkeit, mit der sie uns bei der Ab fassung dieser Berichte geholfen haben. Bezuglich alterer Arbeiten, ins besondere der von C. JUEL und G. v. SZ. -NAGY, auch uber Flachen, kann auf den ausfiihrlichen Bericht des letzteren im 53. Bd. (1943) der Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung verwiesen werden. Herro H. -J. KOWALSKY verdanken wir einige Bemerkungen zum Abschn. 1. 1. 1. SchlieBlich gilt unser Dank Herro Professor Dr. F. K. SCHMIDT fur die Aufforderung, das Buch zu schreiben, sowie dem Verlag fUr sein Entgegenkommen unseren Wiinschen gegenuber. Erlangen, im September 1966 HAUPT KUNNETH Inhaltsverzeichnis Seite Verwendete Symbole VIII Einleitung . . I. Ebene Bogen, Kurven und Kontinua 1."

Spis treści

I. Ebene Bogen, Kurven und Kontinua.- 1. Grundlegende Begriffe und Sätze.- 1.1. Ordnungscharakteristiken.- 1.2. Beispiele.- 1.3. Folgerungen aus den Axiomen in Abschn. 1.1.1.- 1.4. Kontinua von höchstens endlichem Komponentenordnungswert.- 1.5. Ordnungshomogene Kontinua im Falle der Grundzahl k = 1.- 1.6. Ordnungshomogene Gebilde. Reguläre und singuläre Punkte.- Ergänzende Hinweise zum Text des Abschn I.1.- 2. Kontraktionssatz.- 2.1. Einführung.- 2.2. Simultane Orientierung. Gewinn- und Verlustpunkte.- 2.3. Monotoniesatz.- 2.4. Kontraktions- und Expansionssatz.- Ergänzender Hinweis zum Text des Abschn. I.2.- 3. Kurventheorie in topologisch projektiven und hyperbolischen Ebenen (Grundzahl k = 2).- 3.1. Bogen vom schwachen Punktordnungswert zwei und k-konvexe Bogen und Kurven.- 3.2. Bogen und Kurven vom Punktordnungswert Drei.- 3.3. Infinitesimalgeometrische Eigenschaft von Bogen endlichen Punktordnungswertes.- 3.4. Bestimmung der ordnungshomogenen Bogen.- 3.5. Index von Bogen und Kurven. Kurven vom Maximalinder.- 3.6. Kurven vom Maximalklassenindex.- 3.7. Sätze von Möbius.- 3.8. Singuläre Punkte und singuläre Tangenten. Eine Kennzeichnung der Kurven 3. Ordnung.- Ergänzende Hinweise zum Text des Abschn. I.3.- 4. Systeme von Ordnungscharakteristiken in der Ebene mit einer Grundzahl k ? 2.- 4.1. Untere und obere Schranken für die Anzahl der singulären Punkte von Bogen und Kurven.- 4.2. Ordnungsminimale Bogen und ihre Schmiegkurven.- 4.3. Eine Kennzeichnung der Kurven von der zyklischen Ordnung Vier und ihre Verallgemeinerung.- 4.4. Sätze vor Carleman, Böhmer, Mohrmann und Mukhopadhyaya.- 4.5. Ein 2-Scheitelsatz für (ebene) Jordankurven.- 4.6. Topologische Verallgemeinerung des Kneseschen 4-Scheitelsatzes.- Ergänzende Hinweise zum Text des Abschn. I.4.- II. Probleme in n-dimensionalen und allgemeineren Räumen.- 5. Kontinua höchstens endlichen Ordnungswertes bezüglich der Hyperebenen im n-dimensionalen projektiven Raum Pn.- 5.1. Durchlaufungskurven und ihre Schmiegräume.- 5.2. Bogen und Kurven der Ordnungswerte n und n + 1.- 5.3. Monotonie der Halbtangenten eines Bogens vom Punktordnungswert n mit stetiger Halbtangente im euklidischen En.- 5.4. Schwach ordnungsminimale Kontinua (im Pn).- 5.5. Kontinua ohne n richtungsabhängige 1-Schmiegräume und Bogen vom schwachen Punktordnungswert n im En (n ? 2).- 5.6. Reguläre und singuläre Punkte auf Bogen.- Ergänzende Hinweise zum Text des Abschn. II.5.- 6. Über t-dimensionale Kompakta im En von höchstens endlichem Punktordnungswert.- 6.1. Vorbemerkungen.- 6.2. Sätze Von Nöbeling.- 6.3. Aufbau aus Lipschitz-Flächenstücken.- Ergänzender Hinweis zum Text des Abschn. II.6.- 7. Ordnungsgeometrische Probleme in metrischen kompakten Räumen.- 7.1. Grundraum.- 7.2. Ordnungscharakteristiken.- 7.3. Beschränkte Mengen.- 7.4. Komponenten- und Punktordnungswerte.- 7.5. Kontinua.- 7.6. Schnitt- und Stützkomponenten.- 7.7. Ordnungsreduzible Kontinua. Reduktionssatz.- 7.8. Darstellungssatz für Kontinua, insbesondere bei schlichter Überdeckung des Raumes durch Ordnungscharakteristiken.- Ergänzende Hinweise zum Text des Abschn. II.7.- III. Ergänzungen.- 1. Über Untersuchungen von (a) D. Derry. — (b) Fr. Fabricius-Bjerre. — (C) A. Marchaud. — (d) P. Scherk. — (e) J. vonSz.-Nagy.- 2. Bemerkungen über (a) Dualisierbare Kurven. — (b) Streng konvexe Bogen und Kurven. — (c) OrdnungshomogeneGebilde. — (d) Ordnungsgeometrische Limessätze. — (e) Translations-, Spiegelungs- und kinematische Ordnung. — (f) Ordnungsfeste Approximation. — (g) Algebraische bzw. infinitesimalgeometrische Eigenschaften als Folgen ordnungsgeometrischer.- 3. Anhang.- Namenverzeichnis.