Geometrische Methoden in Der Theorie Der Gewöhnlichen Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783034871266 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 320 str.

Robert M. Arnold

Opis

lOsung von Singularitiiten, Liesche Gruppen, Newton-Diagramme) einerseits und den naturwissenschaftlichen Anwendungen andererseits. Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung wird mit Hilfe der natiirlichen Kontaktstruktur in der Mannigfaltigkeit der l-Jets von Funktionen untersucht. Nebenbei werden dabei die notwendigen Elemente der Geometrie der Kontaktstruktur dargelegt, die die ganze Theorie unabhiingig von anderen Quellen machen. Einen entscheidenden Teil des Buches nehmen die gewohnlich qualitativ genann- ten Methoden ein. Die jiingste Entwicklung der von H. POINCARE begriindeten quali- tativen Theorie der Differentialgleichungen flihrte zum Verstiindnis dessen, daB genauso, wie einzelne Differentialgleichungen im allgemeinen nicht vollstiindig inte- grierbar sind, auch die qualitative Untersuchung gewisser allgemeiner Differential- gleichungen mit mehrdimensionalem Phasenraum unmoglich ist. In diesem Zusam- menhang wird die Analyse einer Differentialgleichung vom Standpunkt der Struktur- stabilitiit; d. h. der Stabilitiit des qualitativen Bildes in Hinsicht auf kleine . Anderun- gen der Differentialgleichung, im Kapitel 3 behandelt. Es werden die Hauptresul- tate, die nach den ersten Arbeiten von A. A. ANDRONOV und L. S. PONTRJAGIN er- zielt wurden, dargestellt: die Grundlagen der Theorie der strukturstabilen Anosov- Systeme, deren Trajektorien alle exponentiell instabil sind, und der Satz von SMALE iiber die Nichtdichtheit der Menge der strukturstabilen Systeme. Es wird dann weiter die Bedeutung dieser mathematischen Entdeckungen flir die Anwendungen diskutiert (die Rede ist dabei von der Beschreibung stabiler chaotischer Bewe- glmgsregimes, beispielweise Turbulenzen). Zu den stiirksten und am meisten verwendeten Methoden der Untersuchung von Differentialgleichungen gehoren verschiedene asymptotische Methoden.

Spis treści

1. Spezielle Gleichungen.- 1.1. Differentialgleichungen, die bezüglich Symmetriegruppen invariant bleiben.- 1.2. Die Auflösung der Singularitäten von Differentialgleichungen.- 1.3. Implizite Differentialgleichungen.- 1.4. Die Normalform einer impliziten Differentialgleichung in der Umgebung eines regulären singulären Punktes.- 1.5. Die zeitfreie Schrödinger-Gleichung.- 1.6. Die Geometrie einer Differentialgleichung zweiter Ordnung und die Geometrie eines Paares von Richtungsfeldern im dreidimensionalen Raum.- 2. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 2.1. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 2.2. Nichtlineare partielle Gleichungen erster Ordnung.- 2.3. Der Satz von Frobenius.- 3. Strukturstabilität.- 3.1. Der Begriff der Strukturstabilität.- 3.2. Differentialgleichungen auf dem Torus.- 3.3. Die analytische Reduktion analytischer Diffeomorphismen der Kreislinie auf Drehungen.- 3.4. Einführung in die hyperbolische Theorie.- 3.5. Anosov-Systeme.- 3.6. Strukturstabile Systeme sind nicht überall dicht.- 4. Störungstheorie.- 4.1. Die Mittelungsmethode.- 4.2. Mittelbildung in monofrequenten Systemen.- 4.3. Mittelbildung in multifrequenten Systemen.- 4.4. Die Mittelbildung in Hamiltonschen Systemen.- 4.5. Adiabatische Invarianten.- 4.6. Mittelbildung in Seifert-Blätterungen.- 5. Normalformen.- 5.1. Formale Reduktion auf eine lineare Normalform.- 5.2. Der Resonanzfall.- 5.3. Poincarésche und Siegelsehe Gebiete..- 5.4. Die Normalform einer Abbildung in einer Umgebung eines Fixpunktes.- 5.5. Die Normalform einer Gleichung mit periodischen Koeffizienten.- 5.6. Die Normalform einer Umgebung einer elliptischen Kurve.- 5.7. Beweis des Satzes von Siegel.- 6. Lokale Bifurkationstheorie.- 6.1. Familien und Deformationen.- 6.2. Von Parametern abhängende Matrizen und Singularitäten der Dekrementdia¬gramme.- 6.3. Die Bifurkationen der singulären Punkte eines Vektorfeldes.- 6.4. Verselle Deformationen der Phasenbilder.- 6.5. Der Stabilitätsverlust von Gleichgewichtslagen.- 6.6. Der Stabilitätsverlust von Selbstschwingungen.- 6.7. Verselle Deformationen äquivarianter Vektorfelder auf der Ebene.- 6.8. Die Änderung der Topologie bei Resonanzen.- 6.9. Die Klassifizierung der singulären Punkte.- Beispiele für Prüfungsaufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.