Galoissche Theorie der p-Erweiterungen

ISBN-13: 9783540048930 / Niemiecki / Miękka / 1970 / 164 str.

Helmut Koch;I.R. Safarevic

Opis

In diesem Buch wird ein ziemlich junges Gebiet der algebraischen Zahlentheorie behandelt. Es geht um die algebraische Theorie der p-Erweiterungen, die sich in den letzten 25 Jahren entwickelte und jetzt einen Vollkommenheitsgrad erreicht hat, welcher eine systematische Darstellung im hochsten MaBe wiinschenswert erscheinen HiBt. Diese Richtung in der Arithmetik beschiiftigt sich mit der Theorie der endlichen Erweiterungen von Korpem arithmetischen Typs. Das sind die . )J-adischen Zahl korper, die Korper der formalen Potenzreihen mit endlichen Konstantenkorpem, die algebraischen Zahlkorper und die algebraischen Funktionenkorper in einer Unbestimmten mit endlichem Konstantenkorper. Ihr Hauptziel besteht darin, tiber die Informationen hinauszugelangen, welche die klassische Klassenkorpertheorie liefert, die bekanntlich einen Dberblick tiber die Erweiterungen mit kommutativer Galoisscher Gruppe gibt. Die KommutativiHit der Galoisschen Gruppe ist dabei sehr wesentlich. Die Klassenkorpertheorie ist dadurch ideenmaBig eng verbunden mit einem weiten Kreis mathematischer Theorien: von der Theorie der Radikal erweiterungen (die jetzt als Kummersche Theorie bezeichnet wird) bis zu topologischen Dualitatssatzen, der Theorie der abelschen und harmonischen Integrale und den Picard-Mannigfaltigkeiten. Die gruppentheoretische Grundlage aller dieser Fragen ist die Pontrjagin-Dualitat kommutativer Gruppen und ihrer Charaktergruppen. Es ist dies der Tell der Mathematik, den A. WElL als "abelsche Mathematik" bezeichnet hat. Bekanntlich ging HILBERT beim Aufbau der Klassenkorpertheorie von der Analogie zwischen algebraischen Zahl-und Funktionenkorpem, d. h. den Korpem der mero morphen Funktionen auf kompakten Riemannschen Flachen, aus. Von diesem Gesichtspunkt aus muB eine "nichtkommutative" Verallgemeinerung der Klassen korpertheorie der Untersuchung der Fundamentalgruppe einer Riemannschen Flache entsprechen, die bekanntlich nichtkommutativ ist."

Spis treści

§ 1. Proendliche Gruppen.- 1.1. Projektiver Limes von Gruppen und Ringen.- 1.2. Proendliche Gruppen.- 1.3. Untergruppen und Faktorgruppen.- 1.4. Abelsche proendliche Gruppen, Pontrjaginsche Dualitätstheorie.- 1.5. Diskrete Moduln.- 1.6. Die Kategorie C.- 1.7. Induktiver Limes in C.- § 2. Galoissche Theorie unendlicher algebraischer Erweiterungen.- 2.1. Die Galoissche Gruppe einer unendlichen Erweiterung.- 2.2. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie.- § 3. Kohomologie proendlicher Gruppen.- 3.1. Definition der Kohomologiegruppen.- 3.2. Gruppenerweiterungen.- 3.3. Dimensionsverschiebung.- 3.4. Der sogenannte Satz von Shapiro.- 3.5. Restriktion und Korestriktion.- 3.6. Die Verlagerung.- 3.7. Inflation und Transgression.- 3.8. Induktiver Limes von Kohomologiegruppen.- 3.9. Cup-Produkt.- § 4. Freie Pro-p-Gruppen.- 4.1. Konstruktion der freien Pro-p-Gruppen.- 4.2. Die Magnussche Algebra.- 4.3. Abelsche Pro-p-Gruppen.- 4.4. Erste Charakterisierung der freien Pro-p-Gruppen.- 4.5. Zweite Charakterisierung der freien Pro-p-Gruppen.- § 5. Kohomologische Dimension.- 5.1. Definition der kohomologischen Dimension.- 5.2. Euler-Poincarésche Charakteristik.- § 6. Darstellung einer Pro-p-Gruppe mit Hilfe von Erzeugenden und Relationen.- 6.1. Der Erzeugendenrang.- 6.2. Relationensysteme.- § 7. Die Gruppenalgebra einer Pro-p-Gruppe.- 7.1. Definition und Grundeigenschaften der vollständigen Gruppenalgebra.- 7.2. Diskrete und kompakte G-Moduln.- 7.3. Charakterisierung der Pro-p-Gruppen der Dimension ? 2.- 7.4. Filtrierungen.- 7.5. Rechenregeln für Kommutatoren und Potenzen.- 7.6. Der Gruppenring einer freien Pro-p-Gruppe.- 7.7. Der Satz von Golod-Šafarevi?.- 7.8. Relationenstruktur und Cup-Produkt.- § 8. Hilfsmittel aus der algebraischen Zahlentheorie.- 8.1. Grundbegriffe der algebraischen Zahlentheorie für unendliche Erweiterungen.- 8.2. Normale Erweiterungen.- 8.3. Der Frobenius-Automorphismus.- 8.4. Lokale und globale Körper.- 8.5. Die Struktur der multiplikativen Gruppe eines endlichen lokalen Körpers.- 8.6. Klassenkörpertheorie für endliche abelsche Erweiterungen.- 8.7. Übertragung auf unendliche abelsche Erweiterungen.- 8.8. Der Hauptidcalsatz.- 8.9. Kohomologie des Formationsmoduls.- 8.10. Kohomologie der multiplikativen Gruppe.- 8.11. Normenrestsymbol.- § 9. Die maximale p-Erweiterung.- 9.1. Körper der Charakteristik p.- 9.2. Körper, welche die p-ten Einheitswurzeln enthalten.- 9.3. Körper, welche die p-ten Einheitswurzeln nicht enthalten.- § 10. Endliche lokale Körper.- 10.1. Der Fall ?(p) ? p.- 10.2. Der Fall ?(p) = p, ?(k) > 0.- 10.3. Der Fall ?(p) = p, ?(k) = 1.- § 11. Endliche globale Körper.- 11.1. Die maximale p-Erweiterung.- 11.2. Die maximale p-Erweiterung mit vorgegebenen Verzweigungsstellen.- 11.3. Erzeugendenrang.- 11.4. Explizite Berechnung von Erzeugenden und Relationen.- 11.5. Vollständige Bestimmung der Struktur von Gs in Spezialfällen.- § 12. p-Klassengruppe und p-Klassenkörperturm.- 12.1. Ein Kriterium für zu p prime Klassenzahl.- 12.2. Der p-Klassenkörper einer zyklischen Erweiterung vom Grade p.- 12.3. Ein Kriterium für die Unendlichkeit des p-Klassenkörperturms.- § 13. Die kohomologische Dimension von Gs.- 13.1. Kohomologie der S-Einheitengruppe.- 13.2. Der Fall ?(k) = 1.- 13.3. Der Fall ?(k) = 0.- Quellenhinweise.- Literatur.- Bezeichnungen einiger benutzter Symbole.- Namen- und Sachverzeichnis.