Funktionalanalysis Und Numerische Mathematik

ISBN-13: 9783642950292 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 371 str.

Lothar Collatz

Spis treści

I Grundlagen der Funktionalanalysis mit Anwendungen.- 1. Typische Fragestellungen der numerischen Mathematik.- 1.1 Einige allgemeine Begriffe.- 1.2 Lösungen von Gleichungen.- 1.3 Untersuchung der Eigenschaften der Lösungen von Gleichungen.- 1.4 Extremalaufgaben mit oder ohne Nebenbedingungen.- 1.5 Darstellungsaufgaben (Koeffizientenbestimmungen).- 1.6 Auswertungen.- 2. Einige Typen von Räumen.- 2.1 Höldersche und Minkowskische Ungleichung.- 2.2 Der topologische Raum.- 2.3 Quasimetrische und metrische Räume.- 2.4 Lineare Räume.- 2.5 Normierte Räume.- 2.6 Unitäre Räume und SCHWARZsche Ungleichung.- 2.7 Die Parallelogrammgleichung.- 2.8 Orthogonalität in unitären Räumen, BESSELsche Ungleichung.- 3. Ordnungen.- 3.1 Halbordnung und Totalordnung.- 3.2 Verbände.- 3.3 Pseudometrische Räume.- 4. Konvergenz und Vollständigkeit.- 4.1 Konvergenz im pseudometrischen Raum.- 4.2 Cauchy-konvergente Folgen.- 4.3 Vollständigkeit, Hilbert- und Banachräume.- 4.4 Einige Stetigkeitsaussagen.- 4.5 Einfache Folgerungen für den Hilbertschen Raum, Unterräume.- 4.6 Vollständige Orthonormalsysteme in Hilberträumen.- 4.7 Beispiele.- 4.8 Schwache Konvergenz.- 5 Kompaktheit.- 5.1 Kompakt und kompakt in sich.- 5.2 Beispiele für Kompaktheit.- 5.3 Der Satz von Arzelà.- 5.4 Von Integraloperatoren erzeugte, in sich kompakte Funktionenmengen.- 6. Operatoren in pseudometrischen und spezielleren Räumen.- 6.1 Lineare und beschränkte Operatoren.- 6.2 Zusammensetzung von Operatoren.- 6.3 Der inverse Operator.- 6.4 Beispiele von Operatoren.- 6.5 Die Inversen benachbarter Operatoren.- 6.6 Die Kondition eines linearen beschränkten Operators.- 6.7 Eine Fehlerabschätzung für ein Iterations verfahren.- 6.8 Der Satz von Riesz und der Auswahlsatz.- 6.9 Ein Satz von Banach über Folgen von Operatoren.- 6.10 Anwendung auf Quadraturformeln.- 7. Operatoren in Hilberträumen.- 7.1 Der adjungierte Operator.- 7.2 Beispiele.- 7.3 Differentialoperatoren bei Funktionen einer Veränderlichen.- 7.4 Differentialoperatoren bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.- 7.5 Vollstetige Operatoren.- 7.6 Vollstetige Integraloperatoren.- 7.7 Restgliedabschätzungen für holomorphe Funktionen.- 7.8 Ableitungsfreie Abschätzungen für Quadraturfehler.- 7.9 Ein Grundprinzip der Variationsrechnung.- 8. Eigenwertaufgaben.- 8.1 Allgemeine Eigenwertaufgaben.- 8.2 Spektrum eines Operators in einem metrischen Raum.- 8.3 Einschließungssatz für Eigenwerte.- 8.4 Projektionen.- 8.5 Extremaleigenschaften der Eigenwerte.- 8.6 Zwei Mimmalprinzipien bei Differentialgleichungen.- 8.7 Ritzsches Verfahren.- 9. Vektornormen und Matrixnormen.- 9.1 Vektornormen.- 9.2 Vergleich verschiedener Vektornormen.- 9.3 Matrixnormen.- 9.4 Aus der Matrizenlehre.- 9.5 Euklidische Vektornorm und passende Matrixnormen.- 9.6 Andere Vektornormen und zugeordnete Matrixnormen.- 9.7 Transformierte Normen.- 10. Weitere Sätze über Vektor- und Matrixnormen.- 10.1 Duale Vektornormen.- 10.2 Bestimmung einiger dualer Normen.- 10.3 Matrixpotenzen.- 10.4 Eine Minimaleigenschaft der Spektralnorm.- 10.5 Abweichung einer Matrix von der Normalität.- 10.6 Spektralvariation zweier Matrizen.- 10.7 Vermischte Aufgaben zu Kapitel I.- 10.8 Hinweise zu den Lösungen bei einigen Aufgaben von 10.7.- II Iterative Verfahren.- 11. Der Fixpunktsatz für das allgemeine Iterationsverfahren in pseudometrischen Räumen.- 11.1 Iterationsverfahren und einfache Beispiele.- 11.2 Iterations verfahren bei Differentialgleichungen.- 11.3 Der allgemeine Fixpunktsatz.- 11.4 Beweis des allgemeinen Fixpunktsatzes.- 11.5 Der Eindeutigkeitssatz.- 12. Spezialfälle des Fixpunktsatzes und Abänderung des Operators.- 12.1 Spezialfall eines linearen Hilfsoperators P.- 12.2 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als Zahlenfaktor.- 12.3 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als nichtlinearer, reellwertiger Funktion.- 12.4 Durchführung von Iterationen mit einem abgeänderten Operator und Genauigkeitsfragen.- 12.5 Fehlerabschätzung bei abgeänderter Iteration.- 13. Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- 13.1 Eine einzelne Gleichung.- 13.2 Verschiedene Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- 13.3 Einige Konvergenzkriterien bei linearen Gleichungssystemen.- 13.4 Zeilen- und Spaltensummenkriterium.- 14. Gleichungssysteme und Differenzenverfahren.- 14.1 Differenzenverfahren bei elliptischen Differentialgleichungen.- 14.2 Fehlerabschätzung für Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren.- 14.3 Gruppeniteration.- 14.4 Unendliche lineare.- 14.5 Overrelaxation mit Fehlerabschätzung.- 14.6 Wahl des Overrelaxationsfaktors.- 14.7 Methode der alternierenden Richtungen.- 15. Iterationsverfahren bei Differential- und Integralgleichungen.- 15.1 Nichtlineare Randwertaufgaben.- 15.2 Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen.- 15.3 Integralgleichungen.- 15.4 Systeme hyperbolischer Differentialgleichungen.- 15.5 Fehlerabschätzung bei hyperbolischen Systemen.- 16. Ableitung von Operatoren in supermetrischen Räumen.- 16.1 Die Fréchetsche Ableitung.- 16.2 Höhere Ableitungen.- 16.3 Die Kettenregel der Differentialrechnung.- 16.4 Grundsätzliche Beispiele zur Bildung der Ableitungen.- 16.5 L-metrische Räume.- 16.6 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel.- 17. Aufstellung von Iterationsverfahren.- 17.1 Gewöhnliches und vereinfachtes Newtonsches Verfahren.- 17.2 Fehlerabschätzung für das vereinfachte Newtonsche Verfahren.- 17.3 Vereinfachtes Newtonsches Verfahren bei nichtlinearen Randwertaufgaben.- 17.4 Die Ordnung von Iterationsverfahren.- 17.5 Iterationsverfahren bei Gleichungen mit holomorphen Funktionen, auch bei mehrfachen Nullstellen.- 17.6 Allgemeines Iterationsverfahren k-ter Ordnung zur Lösung der Operatorgleichung T u = ?.- 17.7 Bemerkung über den Rechenaufwand bei Verfahren höherer Ordnung.- 18. Regula falsi.- 18.1 Primitivform und Normalform der Regula-falsi-Verschärfungen.- 18.2 Primitivform der Regula falsi bei reellen Funktionen einer Veränderlichen.- 18.3 Die Regula falsi bei Operatorgleichungen.- 18.4 Erweiterungen der Regula falsi.- 18.5 Steigungen eines Operators und Newtonsches Interpolationspolynom.- 18.6 Konvergenz der Regula-falsi-Methode bei reellen Funktionen einer Veränderlichen.- 18.7 Allgemeinere Verfahren und Beispiele.- 19. Newtonsches Verfahren mit Verschärfungen.- 19.1 Das Newtonsche Verfahren mit Verschärfungen und die grundlegenden Abschätzungsfunktionen.- 19.2 Allgemeiner Konvergenzsatz für die Newtonschen Verfahren mit Verschärfungen.- 19.3 Allgemeine Bemerkungen über die Anwendung des Newtonschen Verfahrens.- 19.4 Das Newtonsche Verfahren bei Eigenwertaufgaben.- 19.5 Das Newtonsche Verfahren bei Approximationsaufgaben.- 20. Monotonie und Extremalprinzipien beim Newtonschen Verfahren.- 20.1 Problemklasse, konvexe und konkave Operatoren.- 20.2 Monotonie beim Newtonschen Verfahren.- 20.3 Extremalprinzipien und Einschließungssatz.- 20.4 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben.- 20.5 Konvergenzuntersuchung.- 20.6 Vermischte Aufgaben zu Kap. II.- 20.7 Hinweise zu den Lösungen.- III Monotonie, Ungleichungen und weitere Gebiete.- 21. Monotone Operatoren.- 21.1 Definition und Beispiele.- 21.2 Monoton zerlegbare Operatoren.- 21.3 Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes.- 21.4 Anwendung des Schauderschen Satzes bei nichtlinearen Differentialgleichungen.- 21.5 Anwendung auf reelle lineare Gleichungssysteme.- 22. Weitere Anwendungen des Schauderschen Satzes.- 22.1 Extrapolation mit Fehlerabschätzung bei einer monotonen Iterationsfolge.- 22.2 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme.- 22.3 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen.- 22.4 ‚Ein weiterer Monotoniesätz.- 22.5 Anwendungen auf nichtlineare Integralgleichungen.- 23. Monotone Art bei Matrizen und Randwertaufgaben.- 23.1 Matrizen monotoner Art.- 23.2 Monotone Art bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 23.3 Randmaximumsatz bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.- 23.4 Monotone Art bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.- 23.5 Spezialfall der linearen elliptischen Differentialgleichungen.- 24. Anfangswertaufgaben und weitere Monotoniesätze.- 24.1 Strenge Monotonie bei parabolischen Gleichungen.- 24.2 Der allgemeine Monotoniesatz.- 24.3 Nichtlineare hyperbolische Differentialgleichungen.- 24.4 Majorisierung der Greenschen Funktion und nichtlineare Randwertaufgaben.- 25. Approximation von Funktionen.- 25.1 Problemstellungen bei Approximationsfragen.- 25.2 Lineare Approximation.- 25.3 Menge der Minimallösungen bei rationaler Approximation.- 25.4 Existenzsatz für rationale Tschebyscheff-Approximation.- 25.5 Allgemeiner Einschließungssatz für die Minimalabweichung.- 25.6 Ein System von Ungleichungen.- 25.7 Anwendungen.- 25.8 Rationale T-Approximation und Eigenwertaufgaben.- 26. Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Austauschverfahren.- 26.1 Die diskrete T-Approximation.- 26.2 Referenz und Referenzabweichung.- 26.3 Das Zentrum.- 26.4 Austauschverfahren.- 26.5 Vermischte Aufgaben zu Kap. III.- 26.6 Hinweise zu den Lösungen.- Anhang: Zum Schauderschen Fixpunktsatz.- 26.7 Hilfssätze über kompakte Mengen.- 26.8 Zwei Fassungen des Schauderschen Fixpunktsatzes.- Namenverzeichnis.