Elementarmathematik Griffbereit: Definitionen Theoreme Beispiele

ISBN-13: 9783322832146 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 355 str.

M. J. Wygodski; Ferdinand Bearb Und Hrsg Von Cap

Opis

1. Die Bestimmung dieses Buches. Dieses Buch, das man als Handbuch bezeichnen kann, hat zweierlei Bestimmungen. Erstens soll es eine "Momentanauskunft" vermitteln: Was ist der Tangens? Wie berechnet man einen Prozentsatz? Velche Formel gilt fiir die Vurzeln einer quadratischen Gleichung? u. a. m. AIle Definitionen, Regeln, Formeln und Theoreme werden an Beispielen eriautert. Wo es notwendig ist, wird gezeigt, wie und in welchen Fallen man diese oder jene Regel anwendet, vor welchen Fehlern man sich hiiten muB usw. Zweitens soli das Buch als allgemeinverstandliches Hilfsmittel zur Wiederholung der elementaren Mathematik dienen und mit deren Anwendung in der Praxis vertraut machen. 2. Das Handbuch als Lehrbuch. Der Gedanke, daB man ein Handbuch auch lesen kann, ist zunachst zwcifelhaft. Nach den zahl reichen Leserbriefen zu schlieBen, verwendet die iiberwaltigende Mehrheit der Leser das Handbuch jedoch tatsachlich zu diesem Zweck. Es kann sein, daB die Bezeichnung "Handbuch" nicht vollstandig dem Charakter dieses Buches entspricht. Andererseits ware die Be zeichnung "Lehrbuch" noch weniger zutreffend. Eine derartige Be zeichnung wurde die Vorstellung von einem Lehrbuch wachrufen, wie es in der Schule verwendet wird. Das vorliegende Handbuch unterscheidet sich jedoch in seiner Anlage sehr wesentlich von einem Lehrbuch.

Spis treści

I. Algebra.- § 1. Der Gegenstand der Algebra.- § 2. Historische Bemerkungen zur Entwicklung der Algebra.- § 3. Die negativen Zahlen.- § 4. Die Entstehung der negativen Zahlen und Operationen mit ihnen.- § 5. Hegeln für das Rechnen mit negativen und positiven Zahlen.- § 6. Rechnen mit Monomen; Addition und Subtraktion von Polynomen.- § 7. Die Multiplikation von Summen und Polynomen.- § 8. Formeln zur Verkürzung der Multiplikation von Polynomen.- § 9. Die Division einer Summe durch ein Polynom.- § 10. Die Division eines Polynoms durch ein Binom ersten Grades.- § 11. Die Teilbarkeit der Binome xm ± am durch x ± a.- § 12. Faktorenzerlegung eines Polynoms.- § 13. Algebraische Brüche.- § 14. Proportionen.- § 15. Wozu Gleichungen notwendig sind.- § 16. Wie man Gleichungen aufstellt.- § 17. Allgemeines über Gleichungen.- § 18. Gleichwertige Gleichungen. Grundsätzliche Verfahren zur Lösung von Gelichungen.- § 19. Klassifikation der Gleichungen.- § 20. Die Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten.- § 21. Systeme von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten.- § 22. Lösung eines Systems von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten.- § 23. Allgemeine Formeln und Spezialfälle der Lösung eines Systems von zwei Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten.- § 24. Systeme von drei Gleichungen ersten Grades mit drei Unbekannten.- § 25. Regeln für das Rechnen mit Potenzen.- § 26. Das Rechnen mit Wurzeln.- § 27. Die irrationalen Zahlen.- § 28. Die quadratische Gleichung; imaginäre und komplexe Zahlen.- § 29. Die Lösung einer quadratischen Gleichung.- § 30. Eigenschaften der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.- § 31. Faktorenzerlegung eines quadratischen Trinoms.- § 32. Gleichungen höheren Grades, die man mit Hilfe einer quadratischen Gleichung lösen kann.- § 33. Systeme von Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten.- § 34. Die komplexen Zahlen.- § 35. Vereinbarungen bezüglich der komplexen Zahlen.- § 36. Die Addition komplexer Zahlen.- § 37. Die Subtraktion komplexer Zahlen.- § 38. Die Multiplikation komplexer Zahlen.- § 39. Die Division komplexer Zahlen.- § 40. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen.- § 41. Der Betrag und das Argument einer komplexen Zahl.- § 42. Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl.- § 43. Die geometrische Deutung der Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen.- § 44. Die geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen.- § 45. Die geometrische Deutung der Division komplexer Zahlen.- § 46. Potenzieren komplexer Zahlen.- § 47. Berechnung der Wurzel aus einer komplexen Zahl.- § 48. Die Bildung einer beliebigen reellen Potenz einer komplexen Zahl.- § 49. Einige Bemerkungen über algebraische Gleichungen höheren Grades.- § 50. Allgemeines über Ungleichungen.- § 51. Die wichtigsten Eigenschaften der Ungleichungen.- § 52. Einige wichtige Ungleichungen.- § 53. Gleichwertige Ungleichungen. Die wichtigsten Verfahren zur Lösung von Ungleichungen.- § 54. Klassifikation der Ungleichungen.- § 55. Ungleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.- § 56. Systeme von Ungleichungen ersten Grades.- § 57. Einfache Ungleichungen zweiten Grades mit einer Unbekannten.- § 58. Die Ungleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten (allgemeiner Fall).- § 59. Die arithmetische Folge.- § 60. Die geometrische Folge.- § 61. Negative und gebrochene Zahlen und die Zahl Null als Exponenten von Potenzen.- § 62. Das Wesentliche der logarithmischen Methode; das Aufstellen von Logarithmentafeln.- § 63. Die Haupteigenschaften des Logarithmus.- § 64. Der natürliche Logarithmus; die Zahl e.- § 65. Die dekadischen Logarithmen.- § 66. Rechnen mit der künstlichen Form der negativen Logarithmen.- § 67. Das Aufsuchen des Logarithmus einer Zahl.- § 68. Die Bestimmung einer Zahl aus ihrem Logarithmus.- § 69. Die Tabellen der Antilogarithmen.- § 70. Beispiele zum logarithmischen Rechnen.- § 71. Der Rechenschieber.- § 72. Kombinatorik.- § 73. Der binomische Lehrsatz.- II. Geometrie.- A. Geometrische Konstruktionen.- § 1. Durch einen gegebenen Punkt C ist eine Gerade parallel zu einer gegebenen Geraden AB zu legen.- § 2. Eine gegebene Strecke AB ist in zwei Hälften zu teilen.- § 3. Eine gegebene Strecke AB ist in eine gegebene Zahl von gleichen Teilen zu teilen.- § 4. Eine gegebene Strecke ist in Teile zu unterteilen, deren Längen proportional zu gegebenen Größen sind.- § 5. Durch den Punkt A ist eine Senkrechte zur Geraden MN zu ziehen.- § 6. Von einem gegebenen Punkt ist eine Senkrechte auf die Gerade MN zu fällen.- § 7. Gegeben sei der Scheitel K und der Strahl KM. Es ist ein Winkel zu konstruieren, der gleich dem gegebenen Winkel ABC ist.- § 8. Es sind ein Winkel von 60° und ein Winkel von 30° zu konstruieren.- § 9. Es ist ein Winkel von 45° zu konstruieren.- § 10. Der gegebene Winkel BAC ist zu halbieren.- § 11. Ein gegebener Winkel BAC ist in drei gleiche Teile zu teilen.- § 12. Durch zwei gegebene Punkte A und B ist ein Kreis mit gegebenem Radius r zu ziehen.- § 13. Durch drei (nicht auf einer Geraden liegende) Punkte ist ein Kreis zu ziehen.- § 14. Der Mittelpunkt eines gegebenen Kreisbogens ist zu bestimmen.- § 15. Ein gegebener Kreisbogen ist zu halbieren.- § 16. Der geometrische Ort aller Punkte ist zu bestimmen, von denen aus man eine gegebene Strecke AB unter demselben Winkel sieht.- § 17. Durch einen gegebenen Punkt A sind die Tangenten an einen gegebenen Keis zu legen.- § 18. Zu zwei gegebenen Kreisen ist die gemeinsame äußere Tangente zu konstruieren.- § 19. An zwei gegebene Kreise sind die gemeinsamen inneren Tangten zu legen.- § 20. Um ein gegebenes Dreieck ABC ist ein Kreis zu konstruieren.- § 21. In ein gegebenes Dreieck ABC ist ein Kreis zu konstruieren.- § 22. Um ein gegebenes Rechteck (oder Quadrat) ABCD ist ein Kreis zu schreiben.- § 23. In einen Rhombus (oder ein Quadrat) ABGD ist ein Kreis zu konstruieren.- § 24. Um ein gegebenes regelmäßiges Vieleck ist ein Kreis zu konstruieren.- § 25. In ein gegebenes regelmäßiges Vieleck ist ein Kreis zu konstruieren.- § 26. Aus den drei Seiten a,b und c ist ein Dreieck zu. konstruieren.- § 27. Aus den gegebenen Seiten a und b und dem Winkel oc ist ein Parallelogramm zu konstruieren.- § 28. Aus gegebener Grundlinie und Höhe ist ein Rechteck zu konstruieren.- § 29. Es ist ein Quadrat mit gegebener Seitenlänge zu konstruieren.- § 30. Es ist ein Quadrat mit gegebener Diagonale AB zu konstruieren.- § 31. In einen gegebenen Kreis ist ein Quadrat zu konstruieren.- § 32. Um einen gegebenen Kreis ist ein Quadrat zu konstruieren.- § 33. In einen gegebenen Kreis ist ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren.- § 34. In einen gegebenen Kreis sind ein regelmäßiges Dreieck und ein regelmäßiges Sechseck zu konstruieren.- § 35. In einen Kreis ist ein regelmäßiges Achteck zu konstruieren.- § 36. Um einen Kreis sind ein regelmäßiges Dreieck, Fünfeck, Sechseck und Achteck zu konstruieren.- § 37. Es ist ein regelmäßiges n-Eck mit gegebener Seitenlänge a zu konstruieren.- B. Planimetrie.- § 1. Der Gegenstand der Geometrie.- § 2. Historische Bemerkungen zur Entwicklung der Geometrie.- § 3. Theoreme, Axiome, Definitionen.- § 4. Die Gerade, der Strahl, die Strecke.- § 5. Die Winkel.- § 6. Das Vieleck.- § 7. Das Dreieck.- § 8. Kriterien für die Kongruenz von zwei Dreiecken.- § 9. Bemerkenswerte Linien und Punkte im Dreieck.- § 10. Rechtwinklige Projektionen; Beziehungen zwischen den Seiten eines Dreiecks.- § 11. Parallele Gerade.- § 12. Parallelogramme und Trapeze.- § 13. Ähnliche ebene Figuren, Kriterien für die Ähnlichkeit von Dreiecken.- § 14. Geometrische örter. Der Kreis und die Kreislinie.- § 15. Winkel im Kreis; die Länge einer Kreislinie und die Länge eines Bogens.- § 16. Messung der Winkel im Kreis.- § 17. Die Potenz eines Punktes.- § 18. Die Potenzlinie; der Potenzpunkt.- § 19. Eingeschriebene und umgeschriebene Vielecke.- § 20. Regelmäßige Vielecke.- § 21. Der Flächeninhalt ebener Figuren.- C. Stereometrie.- § 1. Allgemeine Bemerkungen.- § 2. Grundbegriffe.- § 3. Winkel.- § 4. Projektionen.- § 5. Vielflachwinkel.- § 6. Das Vielflach, das Prisma, das Parallelepiped, die Pyramide.- § 7. Der Zylinder.- § 8. Der Kegel.- § 9. Kegelschnitte.- § 10. Die Kugel.- § 11. Sphärische Vielecke.- § 12. Teile der Kugel.- § 13. Die Tangentialebenen an Kugel, Zylinder und Kegel.- § 14. Kaumwinkel.- § 15. Regelmäßige Vielflache.- § 16. Symmetrien.- § 17. Symmetrie ebener Figuren.- § 18. Ähnliche Körper.- § 19. Volumina von Körpern und Flächeninhalte ihrer Oberflächen.- III. Trigonometrie.- § 1. Der Gegenstand der Trigonometrie.- § 2. Historische Bemerkungen zur Entwicklung der Trigonometrie.- § 3. Das Bogenmaß der Winkel.- § 4. Die Umrechnung von Graden in Radianten und umgekehrt.- § 5. Die trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel.- § 6. Die Bestimmung der trigonometrischen Funktionen aus dem Winkel.- § 7. Bestimmung des Winkels aus seinen trigonometrischen Funktionen.- § 8. Die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke.- § 9. Die Tabelle der Logarithmen der trigonometrischen Funktionen.- § 10. Die Bestimmung der Logarithmen trigonometrischer Funktionen aus dem Winkel.- § 11. Bestimmung des Winkels aus dem Logarithmus einer trigonometrischen Funktion.- § 12. Die Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken mit Hilfe von Logarithmen.- § 13. Die Anwendung der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken in der Praxis.- § 14. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen eines Winkels.- § 15. Die trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel.- § 16. Erweiterungsformeln.- § 17. Additionstheoreme.- § 18. Formeln für den doppelten, den dreifachen und den halben Winkel.- § 19. Umformung trigonometrischer Ausdrücke auf eine zum Logarithmieren geeignete Form.- § 20. Umformung von Ausdrücken in den drei Winkeln eines Dreiecks auf eine zum Logarithmieren geeignete Form.- § 21. Einige wichtige Beziehungen.- § 22. Die wichtigsten Beziehungen zwischen den Elementen eines Dreiecks.- § 23. Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.- § 24. Die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen (Zyklometrische Funktionen).- § 25. Wichtige Beziehungen zwischen den zyklometrischen Funktionen.- § 26. Über die Anfertigung von Tabellen trigonometrischer Funktionen.- § 27. Trigonometrische Gleichungen.- § 28. Methoden zur Lösung von trigonometrischen Gleichungen.- IV. Funktionen und deren grafische Darstellungen.- § 1. Konstante und variable Größen.- § 2. Funktionale Abhängigkeit zwischen zwei Variablen.- § 3. Die Umkehrfunktion.- § 4. Die Darstellung von Funktionen durch Formeln und Tabellen.- § 5. Die Bezeichnung von Funktionen.- § 6. Koordinaten.- § 7. Graphische Darstellung von Funktionen.- § 8. Einfache Funktionen und ihre Schaubilder.- § 9. Die graphische Lösung von Gleichungen.- § 10. Die graphische Lösung von Ungleichungen.- § 11. Einiges über den Gegenstand der analvtischen Geometrie..- § 12. Grenzwerte.- Literatur.

O autorze

Ferdinand Cap zählt zu den bedeutenden theoretischen Physikern der Gegenwart. Er lehrte an den Universitäten Wien, New York und Innsbruck und hatte Gastprofessuren an zahlreichen Universitäten in Europa, Afrika, Asien und den USA inne. Zahlreiche Vorträge und Publikationen auf den Gebieten der Relativitätstheorie, Nuklearphysik, Plasmaphysik und der angewandten Physik. In Diskussionen mit Theologen hat er sich seit vielen Jahren mit dem Verhältnis zwischen Naturwissenschaft und Religion intensiv auseinandergesetzt.