Elementare Methoden der numerischen Mathematik

ISBN-13: 9783211812143 / Niemiecki / Miękka / 1974 / 246 str.

H. Kiesewetter;G. Maeß

Opis

Die numerische Mathematik gehort zu denjenigen mathematischen Diszi plinen, deren Ergebnisse in besonderem MaBe in anderen Wissenschaften wirksam werden. Sie schHigt die Briicke zwischen den gnmdlegenden Be griffen und Modellen der Analysis und ihren Anwendungen in Naturwissen schaft, Technik, Okonomie und in anderen Bereichen. Immer starker erhebt sich deshalb die Forderung breiter Kreise nach besseren und leistungs fahigeren numerischen Verfahren. Gleichzeitig vollzieht sich ein grund legender Wandel von der "manuellen numerischen Mathematik" zur "computer-gesttitzten numerischen Mathematik." Alles das tragt dazn bei, daB Bedeutung und Anziehungskraft der numerischen Mathematik standig zunehmen. Wir versuchen in unserem Buch, dieser Entwicklung Rechnung zu tragen. Das Buch ist aus V orlesungen entstanden, die beide Verfasser in den letzten ftinf Jahren an der Universitat Rostock fliT Studenten der Mathematik und der technischen Wissenschaften gehalten haben. Es ist flir Student en der ersten Studienjahre gedacht und setzt lediglich Grund kenntnisse aus der Analysis, der linearen Algebra und der Rechentechnik voraus. Es wendet sich besonders an die Studenten der Mathematik und entspricht in seinem Umfang den Anforderungen der Grundausbildung nach dem Studienplan der Grundstudienrichtung Mathematik an den Universi taten und Hochschulen der DDR. Es kann aber ebenso interessierten Stu denten der N aturwissenschaften, der technischen und 6konomischen Wissen schaften ftir ein tieferes Eindringen in die Grundlagen der numerischen Mathematik empfohlen werden. Auch der Praktiker, der im Zusammenhang mit dem Einsatz der Rechentechnik numerische Verfahren benotigt, wircl aus cler Lekttirc clieses Buches Nutzen ziehen und Anregungen fill die Aus wahl geeigneter numerischer Verfahren erhalten.

Spis treści

1. Einführung.- 1.1. Numerische Berechnungen und. Fehlertypen.- 1.1.1. Datenfehler.- 1.1.2. Rundungsfehler.- 1.1.3. Verfahrensfehler.- 1.1.4. Fehlerfortpflanzung.- 1.1.5. Numerische Instabilität.- 1.1.6. Intervallarithmetik.- 1.2. Funktionalanalytische Grundlagen.- 1.2.1. Räume.- 1.2.2. Abbildungen.- 1.2.3. Iteration.- 2. Lineare Gleichungssysteme.- 2.1. Problemstellung.- 2.2. Direkte Verfahren.- 2.2.1. Austauschalgorithmus.- 2.2.2. Gaussscher Algorithmus.- 2.3. Fehlerbetrachtimgen, Pivotisierung und Kondition.- 2.3.1. Pivotisierung.- 2.3.2. Kondition.- 2.3.3. Kontroll-Korrektur-Algorithmus.- 2.4. Elementare Iterationsverfahren.- 2.4.1. Jacobi-Verfahren.- 2.4.2. Gauss-Seidel-Verfahren.- 2.4.3. Relaxationsverfahren.- 2.4.4. Konvergenzbedingungen.- 2.5. Projektions verfahren.- 2.5.1. Konvergenzbeweis.- 2.5.2. Projektion auf Hyperebenen.- 2.5.3. Projektion auf Schnitträume von Hyperebenen.- 2.5.4. Projektion mit allgemeinem Skalarprodukt.- 2.5.5. Gauss-Seidel-Verfahren.- 2.5.6. Gradientenverfahren.- 2.5.7. Verfahren der konjugierten Gradienten.- 2.6. Spaltenapproximation.- 3. Nichtlineare Gleichungen.- 3.1. Problemstelhing. Geometrische Deutung.- 3.2. Iterationsverfahren: Newton, Regula falsi, Steffensen.- 3.2.1. Vereinfachtes Newton-Verfahren.- 3.2.2. Newton-Verfahren.- 3.2.3. Newton-Verfahren für mehrfache Nullstellen.- 3.2.4. Regula falsi.- 3.2.5. Konvergenzverhesserung nach Steffensen.- 3.3. Polynomgleichungen.- 3.3.1. Horner-Schema.- 3.3.2. Verbessertes Newton-Verfahren.- 3.3.3. Zweizeiliges Horner-Schema.- 3.3.4. Bairstow-Verfahren.- 3.3.5. Abschätzungen für Polynomnullstellen.- 3.3.6. Quotienten-Differenzen-Algorithmus.- 3.4. Systeme nichtlinearer Gleichungen.- 3.4.1. Newton-Verfahren.- 3.4.2. Regula falsi.- 4. Eigenwertprobleme.- 4.1. Direkte Methode.- 4.2. Potenzmethode.- 4.3. Jacobi-Verfahren.- 5. Interpolation.- 5.1. Problemstellung und Haarsche Bedingung.- 5.2. Explizite Darstellungen der Interpolationsfunktion.- 5.2.1. Lagrangesche Interpolationsformel.- 5.2.2. Newtonsche Interpolationsformel.- 5.2.3. Nevillescher Algorithmus.- 5.3. Interpolationsfehler und Konvergenz.- 5.4. Intervallweise Interpolation und Splines.- 5.4.1. Intervallweise lineare Interpolation.- 5.4.2. Intervallweise Hermite-Interpolation.- 5.4.3. Spline-Interpolation.- 6. Approximation.- 6.1. Problemstellung.- 6.2. Approximation im Mittel.- 6.3. Gleichmäßige Approximation.- 6.4. Methode der kleinsten Quadrate.- 7. Integration.- 7.1. Problemstellung.- 7.2. Newton-Cotes-Formeln.- 7.2.1. Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln.- 7.2.2. ROmberg-Verfahren.- 7.3. Gauss-Quadraturen.- 7.4. Intervall-Quadraturen.- 7.5. Vergleich der Quadraturverfahren.- 7.6. Integralgleichungen.- 8. Differentialgleichungen, Anfangswertprobleme.- 8.1. Problemstellung. Geometrische Deutung.- 8.2. Runge-Kutta-Methoden.- 8.2.1. Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren.- 8.2.2. Verfahren von Euler-Heun.- 8.2.3. Verfahren von Runge-Kutta.- 8.2.4. Verfahren von Runge-Kutta-Fehlberg.- 8.3. Taylor-Entwicklung.- 8.4. Differenzenmethoden.- 8.5. Verwendung von Ableitungen.- 8.6. Stabilität.- 8.6.1. Instabile Lösungen.- 8.6.2. Numerische Stabilität.- 9. Differentialgleichungen. Randwertprobleme.- 9.1. Numerische Differentiation.- 9.2. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 9.2.1. Zurückführung auf ein Anfangswertproblem.- 9.2.2. Differenzenverfahren.- 9.3. Partielle Differentialgleichungen.- 10. Literatur.- 11. Namen- und Sachverzeichnis.