Elementare Differentialgeometrie

ISBN-13: 9783540058892 / Niemiecki / Twarda / 1973 / 372 str.

Wilhelm Blaschke;Kurt Leichtweiß;Kurt Leichtweiß

Opis

1. Innere Produkte Wir fUhren im Ramne ein kartesisches Koordinatensystem ein, dessen Achsen so orientiert sind, wie das in der Fig. 1 angedeutet ist. Die drei Koordinaten eines Punktes bezeichnen wir mit XI, X, x Alle betrach 2 3 teten Punkte setzen wir, falls nicht ausdrucklich etwas anderes gesagt wird, als reell voraus. Xz Xl Fig.1. Zwei in bestimmter Reihenfolge angeordnete Punkte und t) des Raumes mit den Koordinaten XI' X, x3 und YI' Y2, Y3 bestimmen eine 2 von nach t) fuhrende gerichtete Strecke. Zwei zu den Punktepaaren, t) und i, gehOrende gerichtete Strecken sind dann und nur dann gleichsinnig parallel und gleich lang, wenn die entsprechenden Koordi natendifferenzen alle ubereinstimmen: (1) Yi - Xi = Yi - Xi (i = 1, 2, 3). Wir bezeichnen das System aller von den samtlichen Punkten des Rau mes auslaufenden gerichteten Strecken von einer und derselben Rich tung, demselben Sinn und der gleichen Lange als einen Vektor. Da fUr diese Strecken die Koordinatendifferenzen der beiden Endpunkte immer die gleichen sind, k6nnen wir diese drei Differenzen dem Vektor als seine 2 Einleitung Komponenten zuordnen, und zwar entsprechen die verschiedenen Systeme der als Vektorkomponenten genommenen Zahlentripel eineindeutig den verschiedenen Vektoren. An den Vektoren ist bemerkenswert, daB ihre Komponenten sich bei einer Parallelverschiebung des Koordinaten systems nicht andern im Gegensatz zu den Koordinaten der Punkte."

Spis treści

§ 1. Innere Produkte.- § 2. Determinanten und Vektorprodukte.- § 3. Invarianten bei Abbildungsgruppen, vollständiges Invariantensystem einer endlichen Punktmenge.- § 4. Ein vollständiges System unabhängiger Invarianten einer endlichen Punktmenge.- Kurventheorie.- § 5. Bogenlänge.- § 6. Tangente und Schmiegebene.- § 7. Krümmung und Windung.- § 8. Rechnerische Bestimmung der Invarianten einer Kurve.- § 9. Formeln von Frenet.- § 10. Über das Vorzeichen der Windung.- § 11. Kinematische Deutung von Frenets Formeln.- § 12. Ebene Kurven, Vierscheitelsatz.- § 13. Krümmungsmittelpunkt und Schmiegkreis.- § 14. Schmiegkugeln.- § 15. Bertrand-Kurven.- § 16. Natürliche Gleichungen.- § 17. Hilfssatz über lineare Differentialgleichungen.- § 18. Böschungslinien.- §19. Böschungslinien auf einer Kugel.- § 20. Böschungslinien auf einem Drehparaboloid.- §21. Evolventen, Evoluten.- § 22. Isotrope Kurven.- § 23. Integrallose Darstellung der isotropen Kurven.- § 24. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 2. Kapitel Extreme bei Kurven.- § 25. Die erste Variation der Bogenlänge.- § 26. Variationsprobleme von J. Radon.- § 27. Bestimmung der Extremalen unserer Variationsprobleme.- § 28. Die Isoperimetrie des Kreises.- § 29. Beweis von E. Schmidt.- § 30. Ein Beweis von A. Hurwitz.- § 31. Sätze über Raumkurven mit vorgegebener Krümmung.- § 32. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 3. Kapitel Streifen.- § 33. Das begleitende Dreibein eines Streifens.- § 34. Geometrische Deutung der Invarianten eines Flächenstreifens.- § 35. Krümmungsstreifen, Schmiegstreifen und geodätische Streifen.- § 36. Drehung eines Streifens um seine Kurve.- § 37. Verbiegung eines Streifens.- § 38. Der Parallelismus von Levi-Civita.- § 39. Beweis von Radon für einen Satz von E. Schmidt.- § 40. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 4. Kapitel Anfangsgründe der Flächentheorie.- § 41. Die erste Grundform.- § 42. Die zweite Grundform.- § 43. Sätze von Meusnier und Euler.- § 44. Hauptkrümmungen.- § 45. Das Gaußsche Theorema egregium.- § 46. Krümmungslinien.- § 47. Nabelpunkte.- § 48. Satz von Dupin über rechtwinklige Flächennetze.- § 49. Die winkeltreuen Abbildungen des euklidischen Raumes.- § 50. Gauß’ sphärisches Abbild einer Fläche.- § 51. Normalensysteme.- § 52. Asymptotenlinien.- § 53. Asymptotenlinien auf Regelflächen.- § 54. Konjugierte Netze.- § 55. Ableitungsformeln von Weingarten.- § 56. Satz von Beltrami und Enneper über die Windung der Asymptotenlinien.- § 57. Die Ableitungsformeln von Gauß.- § 58. Integrierbarkeitsbedingungen von Gauß und Codazzi.- § 59. Fundamentalsatz der Flächentheorie.- § 60. Ein Hilfssatz über ein System von linearen partiellen Differentialgleichungen.- § 61. Kovariante Richtungsableitung eines Tangentialvektorfelds der Fläche.- § 62. Kovektoren und Tensoren auf einer Fläche.- § 63. Kovariante Ableitung von Tensorfeldern.- § 64. Ableitungsgleichungen und Integrierbarkeitsbedingungen der Flächentheorie in Tensorschreibweise.- § 65. G. Monge.- § 66. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 5. Kapitel Cartansche Differentialformen auf einer Fläche.- § 67. Definition, alternierendes Produkt und äußeres Differential von Differentialformen.- § 68. Rechengesetze, Transformation von Differentialformen.- § 69. Zusammenhang der Differentialformen mit Tensoren.- § 70. Ableitungsgleichungen und Integrierbarkeitsbedingungen für die „beweglichen Dreibeine“ E. Cartans.- §71. Grundgrößen der Flächentheorie in Cartanscher Schreibweise.- § 72. Invariante Ableitungen bezüglich eines Paares von Pfaffschen Formen.- § 73. Ableitungsgleichungen und Integrierbarkeitsbedingungen in invarianter Schreibweise.- § 74. Gesimsflächen und Kanalflächen.- § 75. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 6. Kapitel Innere Geometrie einer Fläche.- § 76. Verbiegung.- §77. Geodätische Krümmung.- § 78. Geodätische Linien.- § 79. Geodätische Polarkoordinaten.- § 80. Biegungsinvariante Deutung des Krümmungsmaßes.- §81. Zwei verschiedene Erklärungen der geodätischen Kreise.- § 82. Flächen festen Krümmungsmaßes.- § 83. Abbildung der Flächen festen negativen Krümmungsmaßes auf Poincarés Halbebene.- § 84. Längentreue Abbildungen einer Fläche mit K = - 1 auf sich selbst.- § 85. Das Integral der geodätischen Krümmung.- § 86. Folgerungen aus der Integralformel von Gauß und Bonnet.- § 87. Über Hüllkurven von geodätischen Linien.- § 88. Beltramis erster Differentiator.- § 89. Eine geometrische Anwendung des ersten Differentiators von Beltrami.- § 90. Beltramis zweiter Differentiator.- § 91. Integralformeln von Gauß und Green.- § 92. Zwei neue Formeln für die geodätische Krümmung.- § 93. Isotherme Parameter.- § 94. Winkeltreue Abbildung.- § 95. Die Förderung der Flächentheorie durch Gauß.- § 96. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 7. Kapitel Fragen der Flächentheorie im Großen.- § 97. Begriff einer differentialgeometrischen Fläche.- § 98. Gesamtkrümmung geschlossener Flächen.- § 99. Die Indexsummenformel Poincarés.- § 100. Geschlossene Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung.- § 101. Geschlossene Flächen mit konstanter Gaußscher Krümmung.- § 102. Die Integralformeln Minkowskis.- § 103. Kongruenzsätze bzw. Ähnlichkeitssätze für zwei durch Parallelprojektion bzw. Zentralprojektion aufeinander bezogene geschlossene Flächen.- § 104. Kongruenzsätze für zwei durch parallele Normalen aufeinander bezogene Eiflächen.- § 105. Ein Kongruenzsatz für isometrische Eiflächen.- § 106. Verbiegung geschlossener Flächen.- § 107. Existenz geschlossener bzw. vollständiger Flächen mit vorgegebener erster Grundform.- § 108. Das Vorhandensein kürzester Wege auf Flächen mit vollständiger innerer Flächenmetrik.- § 109. Schnittort und konjugierte Punkte.- § 110. Ein Satz Jacobis.- § 111. Wiedersehensflächen.- § 112. Ein Dreiecksvergleichssatz von A. D. Aleksandrow.- § 113. Der innere Durchmesser einer Eifläche.- § 114. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- 8. Kapitel Extreme bei Flächen.- § 115. Erste VariStion der Oberfläche.- § 116. Die Minimalflächen als komplexe Schiebflächen.- § 117. Formeln von Weierstraß für Minimalflächen.- § 118. Formeln von Study für Minimalflächen.- § 119. Eine Formel von Schwarz für die Oberfläche einer Minimalfläche.- § 120. Bestimmung einer Minimalfläche durch einen Streifen.- § 121. Zweite Variation der Oberfläche.- § 122. Ein Satz von Bernstein über Minimalflächen im Großen.- § 123. Isoperimetrie der Kugel.- § 124. Wirkung von Steiners Symmetrisierung auf Rauminhalt und Oberfläche einer Eifläche.- § 125. Konvergenzbeweis von Wilhelm Groß.- § 126. Übungsaufgaben und Bemerkungen.- Namen- und Sachverzeichnis.