Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik

ISBN-13: 9783642999376 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 252 str.

Dietrich Morgenstern

Opis

3 vielen Gesichtspunkten, unter denen das zugehorige statistische Problem behandelt werden kann, solche, bei denen die Losung nach einer anderen Regel gefunden wird. Oft besteht die statistische Aufgabe auch darin, zu prufen (testen), ob das vorgeschlagene wahrscheinlichkeitstheo retische Modell brauchbar ist. Hat man weitere Kenntnisse uber die Auswirkungen der Antworten statistischer Fragen, etwa in Form von Gewinn und VerlustgroBen, so kann man mittels allgemeiner Prinzipien, z. B. dem Mini-Max-Prinzip, systematisch Methoden zur Beantwortung statischer Fragen entwickeln: Entscheidungstheorie, hier an mehreren Stellen als hohere Gesichts punkte dargestellt. Von vielen Autoren wird ein Teil der Urwahrscheinlichkeiten als subjektives Wissen, Vorherbewertung oder anders bezeichnet; dies soll die Ubertragbarkeit der Ergebnisse auf andere Fiille ein .schranken; fur die mathematische Betrachtung ist dies unerheblich, da die formale Behandlung dieselbe ist. Philosophisch interessierte Leser seien darauf hingewiesen, daB man jegliches Erfahrungsammeln, auch das Denken selbst, als einen ProzeB unvollstandiger Induktion bezeichnen konnte, bei dem wir die Sicher heit der Aussagen zu vergroBern suchen; letztlich konnte also alles Denken als Statistik bezeichnet werden. 1m ersten Kapitel wird der einfachste Fall wahrscheinlichkeits theoretischer Modelle, der Munzenwurf, behandelt und das zugehorige statistische Problem diskutiert; der weitere Aufbau beschrankt sich im ersten Teil auf die mathematisch besonders einfachen diskreten Wahrscheinlichkeiten, wahrend im zweiten Teil dann zufallige GroBen mit Verteilungsdichten zugelassen werden. Der Anhang behandelt die an vielen Stellen der Wahrscheinlichkeits theorie, der eigentlichen Statistik und bei der Linearen Optimierung auftretenden Extremwertaufgaben mit Ungleichungen als Neben bedingungen.

Spis treści

I. Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bei elementaren Wahrscheinlichkeitsfeldern.- § 1. Elementare Wahrscheinlichkeitsfelder.- 1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff.- 2. Mengentheoretische und logische Verknüpfungen.- 3. Das elementare Wahrscheinlichkeitsfeld.- 4. Poincaré-Sylvestersche Formel.- Aufgaben.- § 2. Einblick in die Kombinatorik.- 1. Permutationen und Kombinationen.- 2. Permutationen mit Einschränkungen.- 3. Ein elementares Entscheidungsproblem.- Aufgaben.- § 3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit.- 1. Bedingte Wahrscheinlichkeiten.- 2. Zweifache Klassifikation, marginale Wahrscheinlichkeit.- 3. Bayessche Formel.- 4. Unabhängigkeit.- Aufgaben.- §4. Zufällige Größen und Erwartungswert.- 1. Definition und Rechnen mit zufälligen Größen.- 2. Indikatorgrößen; Sylvestersche Formel.- 3. Unabhängige zufällige Größen.- 4. Verteilung, Varianz und Kovarianz.- Aufgaben.- § 5. Das Gesetz großer Zahlen.- 1. Tschebyscheffsche Ungleichung.- 2. Schwaches Gesetz der großen Zahlen.- 3. Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten und erste Beschreibung des statistischen Problems.- Aufgaben.- § 6. Verteilung der Summe unabhängiger ganzzahliger zufälliger Größen.- 1. Erzeugende Funktion.- 2. Binomische Verteilung (Bernoulli-Kette).- 3. Poisson-Verteilung (Gesetz seltener Ereignisse).- 4. Pascalsche Verteilung (Wartezeiten bei Bernoulli-Kette).- 5. Hypergeometrische Verteilung.- Aufgaben.- § 7. Zentraler Grenzwertsatz.- 1. Zentraler Grenzwertsatz im deMoivreschen Fall.- 2. Untersuchung der Normlverteilung (Abschätzungen, asymptotische Reihe und Kettenbruchdarstellung).- 3. Zentraler Grenzwertsatz für die Poisson-Verteilung, Stirlingsche Formel und Ergänzung zum de Moivreschen Fall.- 4. Normale Approximation der hypergeometrischen Verteilung.- Aufgaben.- § 8. Statistische Probleme im Bernoullischen Fall.- 1. Konfidenzbereiche.- 2. Hypothesentest und Alternativfrage.- Aufgaben.- § 9. Mehrdimensionale Verteilungen.- 1. Polynomialverteilung.- 2. Zentraler Grenzwertsatz für die Polynomialverteilung.- 3. Behandlung statistischer Probleme für die Polynomialverteilung durch den X2-Test.- 4. Kontingenztafeln.- 5. Mehrdimensionale hypergeometrische Verteilung.- Aufgaben.- § 10. Stichprobentheorie.- 1. Schätzung eines Anteils.- 2. Schätzung der Summe reellwertiger Größen.- 3. Hinweis auf höhere Gesichtspunkte.- Aufgaben.- II. Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bei zufälligen Größen mit Verteilungsdichten.- §11. Definition und Rechnen mit Dichten zufälliger Größen.- 1. Dichte einer oder mehrerer zufälliger Größen.- 2. Bedingte Dichten, Unabhängigkeit.- 3. Rechnen mit Dichten.- 4. Definition, Darstellung und Eigenschaften des Erwartungswertes..- 5. Varianz, Kovarianz, Gesetz großer Zahlen.- 6. Kenngrößen von Verteilungen und Abschätzung von Verteilungsfunktionen.- 7. Charakterisierung mehrdimensionaler Verteilungen durch eindimensionale.- Aufgaben.- §12. Die empirische Verteilungsfunktion unabhängiger Größen mit derselben Verteilung.- 1. Der Zentralsatz der Statistik (Glivenko-Cantelli).- 2. Rechnerische Behandlung und graphische Darstellung.- 3. Die Sätze von Kolmogoroff und Smirnoff.- Aufgaben.- § 13. Geordnete Stichproben und Anordnungseigenschaften unabhängiger Größen mit gleicher Verteilung.- 1. Geordnete Stichprobe und Quantile.- 2. Toleranzbereiche.- 3. Größter Abstand in der geordneten Stichprobe.- 4. Überschreitungswahrscheinlichkeiten.- 5. Einige Zwei-Stichproben-Rang-Teste.- Aufgaben.- § 14. Statistisches Alternativproblem.- 1. Likelihoodquotiententest.- 2. Verhalten des Testes bei wachsender Beobachtungszahl.- 3. Anwendung auf die Informationstheorie.- 4. Monotone Likelihoodquotienten.- 5. Mehrfach-Alternativen.- Aufgaben.- § 15. Schadensfunktion und Sequential verfahren für das Alternativproblem.- 1. Bayessche und andere Entscheidungsverfahren.- 2. Sequentialverfahren.- 3. Bayessche Sequentialverfahren.- Aufgaben.- § 16. Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz.- 1. Eindimensionale Normalverteilung.- 2. Mehrdimensionale Normalverteilung.- 3. Zentraler Grenzwertsatz.- Aufgaben.- § 17. Allgemeine Schätztheorie.- 1. Maximum-Likelihood-Schätzmethode.- 2. Informationsungleichung (Ungleichung von Cramér und Rao).- 3. Erschöpfende Schätzfunktionen.- 4. Ausdehnung auf mehrere Parameter.- 5. Bayessche Schätzung und andere Gesichtspunkte.- Aufgaben.- § 18. Schätzungen bei linearen Modellen.- 1. Fragestellung, Methode und allgemeine Eigenschaften der Schätzfunktionen.- 2. Einfache lineare Regression.- 3. Konfidenzbereiche bei bekannter und unbekannter Varianz.- 4. Gleichzeitige Schätzung mehrerer Parameter.- 5. Andere Regressionsmodelle und Korrelationsmaße.- Aufgaben.- §19. Allgemeine Testtheorie.- 1. Testen eines Parameters.- 2. Testen mehrerer Parameter.- 3. Anwendung auf die Polynomialverteilung (X2-Test).- 4. Zusammengesetzte Hypothesen.- 5. Anwendungen auf den X2-Test und auf die Kontingenztafel.- Aufgaben.- § 20. Testtheorie bei linearen Modellen.- 1. Fragestellung und einfaches Beispiel.- 2. Die allgemeine Methode.- 3. Verhalten der Testgröße bei Gültigkeit und Nichtgültigkeit der Hypothese.- 4. Beispiele von Varianzanalysen.- 5. Andere lineare Modelle.- Aufgaben.- Anhang Theorie und Anwendungen der Extreme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen.- 1. Die Multiplikatorregel für lineare Funktionen.- 2. Der Dualitätssatz der linearen Optimierung.- 3. Der Hauptsatz der Theorie der Spiele.- 4. Abschätzung von Erwartungswerten und Wahrscheinlichkeiten.- 5. Aufstellung optimaler Teste.- 6. Ungünstigste Verteilungen.- 7. Nichtlineare Extremwertaufgaben.- Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.