Einführung in die Theorie der Speziellen Funktionen der Mathematischen Physik

ISBN-13: 9783642948688 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 249 str.

Friedrich Wilhelm Schäfke

Spis treści

1. Grundlagen.- 1.1. Die Schwingungsgleichung.- 1.11. grad, div, ? in orthogonalen Koordinatensystemen.- 1.12. Orthogonalinvarianz.- 1.13. Bedeutung der Schwingungsgleichung.- 1.14. Separation der Schwingungsgleichung.- 1.2. Funktionentheoretische Hilfsmittel.- 1.3. Die Laplace-Transformation.- 2. Die Gammafunktion.- 2.1. Definition und einige Haupteigenschaften.- 2.2. Charakterisierung durch Funktionalgleichung und logarithmische Konvexität. Folgerungen.- 2.3. Die Darstellung von ??(z) als Laplace-Integral. Die asymptotische Reihe für log ?(z+1).- 2.4. Die Hankeische Integraldarstellung für die reziproke Gammafunktion und Verwandtes.- 3. Die Zylinderfunktionen.- 3.1. Integralrelationen.- 3.2. Die Bessel-Funktionen ganzer Indizes.- 3.3. Die Bessel-Funktionen beliebiger Indizes.- 3.4. Hankel-Funktionen und Neumannsche Funktion. Asymptotische Reihen für x??.- 3.5. Rekursionsformeln.- 3.6. Wronskische Determinanten.- 3.7. Das (ebene) Additionstheorem.- 3.8. Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen.- 3.9. Jv+n(x) und Jv+n((v+n)x) als Eigenfunktionen.- 4. Die hypergeometrische Funktion. Grundlagen.- 4.1. Differentialgleichung und Reihe.- 4.2. Integraldarstellungen.- 4.3. Lineare Transformationen.- 4.4. Quadratische Transformationen.- 4.5. „Verallgemeinerte Kugelfunktionen“.- 5. Kugelfunktionen.- 5.1. Allgemeines.- 5.11. Integralrelationen.- 5.12. Darstellung von Kugelfunktionen durch hypergeometrische Funktionen.- 5.2. Die Legendreschen Polynome.- 5.21. Definition. Erste Folgerungen.- 5.22. Darstellungen derPn(x) durch die hypergeometrische Funktion.- 5.23. Die Orthogonalität derPn(x).- 5.3. Die Funktionen $$P_n^m (x)\,(m = 0,\,1,\,...;\,n = m,\,m + 1,\,m + 2,\,...)$$.- 5.31. Definition. Orthogonalität.- 5.32. Darstellungen der $$P_n^m (x)$$ durch die hypergeometrische Funktion.- 5.33. Bedeutung für die Schwingungsgleichung.- 5.34. Elementare Integraldarstellungen.- 5.4. Die Funktionen $$Q_n^m (x)\,(m = 0,\,1,\,2,\,...;\,n = m,\,m + 1,\,m + 2,\,...)$$.- 5.41. Die Funktionen $$Q_n (x)\,(n = 0,\,1,\,2,\,...)$$.- 5.42. Die Funktionen $$Q_n^m (x)$$.- 5.5. Die Kugelflächenfunktionen.- 5.51. Kugelflächenfunktionen. Harmonische Polynome.- 5.52. Die Laplacesche Reihe. Das Additionstheorem.- 5.53. Entwicklungen von Lösungen der Schwingungs- bzw. Potentialgleichung.- 5.6. Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes.- 5.61. Die Funktionen Dvµ(x). Definition. Reihen.- 5.62. Die Funktionen Bvµ (x) Definition. Reihen.- 5.63. Integraldarstellungen.- 5.64. Zusammenhangsformeln.- 5.65. Die Funktionen Dvµ, Pvµ, Qvµ.- 5.66. Wronskische Determinanten.- 5.7. Rekursionsformeln.- 5.8. Kugelfunktionen als Eigenfunktionen.- 5.81. Umlaufsforderung um ?.- 5.82. Umlaufsforderung um +1.- 5.9. Die Polynome von GEGENBAUER.- 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.1. Kummersche Differentialgleichung und Reihe. Transformationsformeln.- 6.2. Die Whittakersche Differentialgleichung.- 6.3. Integraldarstellungen.- 6.4. Einige Spezialfälle.- 6.5. Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln.- 6.6. Rekursionsformeln.- 6.7. Whittakersche Differentialgleichung: Wronskische Determinanten und Orthogonalität.- 6.8. Whittakersche Funktionen als Eigenfunktionen.- 7. Die „F-Gleichung“.- 7.1. Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die „F-Gleichung“.- 7.2. Reihenentwicklungen.- 7.3. Differentialformeln.- 7.4. Integralrelationen.- 8. Biorthogonalentwicklungen analytischer Funktionen.- 8.1. Ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung von Entwicklungssätzen und asymptotischen Aussagen.- 8.11. Grundvoraussetzungen.- 8.12. Erste Folgerungen.- 8.13. Entwicklungssatz.- 8.14. Asymptotische Aussagen.- 8.15. Verschärfung des Entwicklungssatzes.- 8.16. Bemerkung zu den Voraussetzungen über z0, z1.- 8.17. Bemerkung zu den Annahmen (I) bis (V).- 8.2. Reihen nach Bessel-Funktionen.- 8.21. Entwicklungen nach den Funktionen Jv+n(x) (Neumannsche Reihen erster Art).- 8.22. Entwicklungen nach den Funktionen Jv+n((v+n)x) (Kapteynsche Reihen).- 8.23. Entwicklungen nach den Funktionen xv+nJv+n(x).- 8.24. Entwicklungen nach den Funktionen Jv+n(x) Jµ+n(x) (Neumannsche Reihen zweiter Art).- 8.241. Zur Gewinnung der Differentialgleichung.- 8.242. Eigenwertprobleme für Produkte von Zylinderfunktionen.- 8.243. Zurückführung auf 8.1.- 8.3. Reihen nach Whittakerschen Funktionen.- 8.31. Entwicklungen nach den Funktionen Mx,µ+n(x).- 8.32. Entwicklungen nach Produkten Whittakerscher Funktionen.- 8.33. Entwicklungen nach den Funktionen xv+n?(a+v+n, 1+v+n; x) und xv+n?(a, 1+v+n; x).- 8.4. Entwicklungen nach Kugelfunktionen.- 8.41. Entwicklungen nach den Funktionen Dv+nµ(x).- 8.42. Entwicklungen nach den Funktionen Bv-µ-2n(x).- 8.5. Entwicklungen nach hypergeometrischen Funktionen.- 8.51. Entwicklungen nach den Funktionen xv+nF(a+v+n, b+v+n; 1+v+n; x) bzw. $$(\frac{{1 - x}})^{v + n} F(a,\,b;\,1 + v + n;\,x)$$.- 8.52. Entwicklungen nach „verallgemeinerten Kugelfunktionen“ Dv+nµ, x(x).- 8.6. Asymptotische Formeln.- 8.7. Bemerkung zu den Entwicklungssätzen.- Literaturhinweise.