Einführung in Die Topologische Datenanalyse

ISBN-13: 9783658395872 / Niemiecki / Miękka / 2023 / 160 str.

Andreas Beschorner; Rolf Bardeli

Opis

Der Einstieg in die Topologische Datenanalysis (TDA) fällt oft nicht leicht, da sie auf der Algebraischen Topologie beruht, einem Gebiet der reinen Mathematik. Mit dieser Einleitung wollen wir Interessierte (Studierende, Data Scientists, aber auch Mathematiker:innen) an die Hand nehmen, indem wir die primär notwendigen Grundlagen dieses komplexen Bereichs der Mathematik zur Verfügung stellen. Dies geschieht vor allem im Hinblick auf Anwendbarkeit in der Datenanalyse, welcher sich dann die späteren Kapitel des Buches widmen. So hoffen wir, sowohl Informatikern und praktizierenden Data Scientists den eher theoretischen Aspekt, sowie Mathematikern den praktischen, anwendungsorientierten Anteil näher bringen zu können. Dazu werden für wichtige Beispiele Bibliotheken (Python) vorgestellt und Pseudocode oder kleine Jupyter-Notebooks zur Verfügung gestellt. Auch Aspekte der Laufzeit werden, wo relevant, angesprochen. Das alles geschieht im theoretischen Umfeld der Mathematik, so dass die zwei Seiten der TDA, Informatik und Mathematik, ihr Miteinander finden.

Spis treści

1 Homotopien

1.1 Homotopien – Formalisiertes Morphing

1.2 Wege und Weghomotopien

1.3 Beispiele und Überlegungen

1.4 Retrakte

2 Die Fundamentalgruppe

2.1 Gruppoide Eigenschaften und die Fundamentalgrupppe

2.2 Wirkung stetiger Abbildungen

2.3 Wirkung von Homotopien

2.4 Konstruktionismus und Reduktion

2.5 Beispiele

2.6 Ausblick: Fundamentalgruppe des Kreises und Überlagerungen

3 Simpliziale Strukturen

3.1 Simplexe und Simplizialkomplexe

3.2 Filtrierung

3.3 Motivation der Homologie

3.4 Der Aufbau von Simplexen

3.5 Der Randoperator

3.6 Simpliziale Homologie

3.7 Koeffizienten und Z2 Homologie

3.8 Beispielberechnungen von Ck;Bk;Zk und Hk

3.9 Die Bedeutung von H0

3.10 Simpliziale Topologie

4 Homologie

4.1 Die Eulercharakteristik

4.2 Simpliziale und singuläre Homologie

4.3 Berechnen von Homologie

4.4 Bettizahlen und Torsion

4.5 Homologien-Zoo und Axiomatik

4.6 Anwendungen

5 Topologie aus Daten

5.1 Von Daten zum Simplizialkomplex 

5.2 Visualisierung und Exploration 

5.3 Homologie aus Daten 

5.4 Maschinelles Lernen 

5.5 Zeitreihen 

6 Anwendungen 

6.1 Collapse: Homotopieäquivalente Simplizialkomplexe 

6.2 Mapper Cluster Pakete 

6.3 Triangulierung 

6.4 Smith Normalform und Randmatrix Reduzierung 

6.5 Graphen, Bäume und die Laplace-Matrix 

6.6 Innere Produkte und die kombinatorische Laplace-Matrix 

6.7 Weitere Eigenheiten der Laplace-Matrix

6.8 Bibliotheken 

7 Ausblicke

7.1 Baryzentrische Unterteilung und der Satz von van Kampen

7.2 Homotopiegruppen höherer Dimension 

7.3 Mannigfaltigkeiten 

7.4 Kategorientheorie 

7.5 Garben 

Literaturverzeichnis 

Glossar 

Sachverzeichnis

O autorze

Andreas Beschorner arbeitet seit vier Jahren als Data Scientist in der Consumer Business Unit von Vodafone Deutschland nach mehreren Jahren Arbeit als Softwareentwickler im Umfeld der Echtzeitsensordatenverarbeitung. Nach abgeschlossenem Hauptstudium der Musikwissenschaft und Diplom in Informatik an der Universität Bonn hat er vier Jahre lang das Studium der Komposition an der Musikhochschule Köln genießen dürfen, um dann seine Promotion im Bereich der automatischen Spracherkennung an der Universität Saarbrücken anzuschließen. Er arbeitet seit mehr als 20 Jahren regelmäßg als Komponist und Musiker mit dem Flugtheaterensemble Angels Aerials zusammen.

Rolf Bardeli ist derzeit Lead Data Scientist in der Consumer Business Unit von Vodafone Deutschland. Er schloss sein Diplom (2003) und seine Promotion (2008) in Informatik an der Universität Bonn ab. Zwischen dem Versuch in seiner Doktorarbeit dem Computer beizubringen Vogelarten an ihren Lauten zu erkennen und dem Versuch bei Vodafone dem Computer beizubringen Telekommunikationskunden zu verstehen, war er Forscher im Bereich der multimedialen Mustererkennung bei der Fraunhofer Gesellschaft. Rolf ist Senior Member des IEEE und gelegentlich Mathematik-Blogger.

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Der Einstieg in die Topologische Datenanalysis (TDA) fällt oft nicht leicht, da sie auf der Algebraischen Topologie beruht, einem Gebiet der reinen Mathematik. Mit dieser Einleitung wollen wir Interessierte (Studierende, Data Scientists, aber auch Mathematiker:innen) an die Hand nehmen, indem wir die primär notwendigen Grundlagen dieses komplexen Bereichs der Mathematik zur Verfügung stellen. Dies geschieht vor allem im Hinblick auf Anwendbarkeit in der Datenanalyse, welcher sich dann die späteren Kapitel des Buches widmen. So hoffen wir, sowohl Informatikern und praktizierenden Data Scientists den eher theoretischen Aspekt, sowie Mathematikern den praktischen, anwendungsorientierten Anteil näher bringen zu können. Dazu werden für wichtige Beispiele Bibliotheken (Python) vorgestellt und Pseudocode oder kleine Jupyter-Notebooks zur Verfügung gestellt. Auch Aspekte der Laufzeit werden, wo relevant, angesprochen. Das alles geschieht im theoretischen Umfeld der Mathematik, so dass die zwei Seiten der TDA, Informatik und Mathematik, ihr Miteinander finden.

Die Autoren

Andreas Beschorner arbeitet seit vier Jahren als Data Scientist in der Consumer Business Unit von Vodafone Deutschland nach mehreren Jahren Arbeit als Softwareentwickler im Umfeld der Echtzeitsensordatenverarbeitung. Nach abgeschlossenem Hauptstudium der Musikwissenschaft und Diplom in Informatik an der Universität Bonn hat er vier Jahre lang das Studium der Komposition an der Musikhochschule Köln genießen dürfen, um dann seine Promotion im Bereich der automatischen Spracherkennung an der Universität Saarbrücken anzuschließen. Er arbeitet seit mehr als 20 Jahren regelmäßg als Komponist und Musiker mit dem Flugtheaterensemble Angels Aerials zusammen.

Rolf Bardeli ist derzeit Lead Data Scientist in der Consumer Business Unit von Vodafone Deutschland. Er schloss sein Diplom (2003) und seine Promotion (2008) in Informatik an der Universität Bonn ab. Zwischen dem Versuch in seiner Doktorarbeit dem Computer beizubringen Vogelarten an ihren Lauten zu erkennen und dem Versuch bei Vodafone dem Computer beizubringen Telekommunikationskunden zu verstehen, war er Forscher im Bereich der multimedialen Mustererkennung bei der Fraunhofer Gesellschaft. Rolf ist Senior Member des IEEE und gelegentlich Mathematik-Blogger.