Einführung in Die Struktur- Und Darstellungstheorie Der Klassischen Gruppen

ISBN-13: 9783540506171 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 265 str.

Wolfgang Hein

Opis

Eine gleichermassen aktuelle wie zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Methoden zur Untersuchung der klassischen Gruppen fehlte bislang in deutschsprachigen Lehrbuchern. Indem der Autor die klassischen Gruppen sowohl aus algebraisch-geometrischer Sicht, wie auch mit Lieschen (infinitesimalen) Methoden studiert, schliesst er diese Lucke. Die von Grund auf behandelte Darstellungstheorie mundet im algebraischen Teil in der Brauer-Weylschen Methode der Zerlegung von Tensorpotenzen durch Youngsche Symmetrieoperatoren in irreduzible Teilraume. Auf der Ebene der Lie-Algebren wird die Klassifikation der irreduziblen Darstellungen durch hochste Gewichte durchgefuhrt. Besonderer Wert liegt auf einer ausfuhrlichen Erlauterung des Zusammenspiels der Gruppen und ihrer Lie-Algebren, die das Kernstuck der Lieschen Theorie ausmachen. In dieser Hinsicht dient das Buch auch als Einfuhrung in die Theorie der Lie-Gruppen; zur Parametrisierung wird dabei ausschliesslich die Matrix-Exponentialabbildung verwandt, wodurch ganz auf den aufwendigen Apparat der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verzichtet werden kann. Eine Fulle von Beispielen und Ubungsaufgaben dienen zur Vertiefung des Gelernten. Inhaltlich schliesst der Text unmittelbar an die Grundvorlesungen uber Analysis und Lineare Algebra an."

Spis treści

I. Die klassischen Gruppen.- § 1 Grundlagen der allgemeinen Gruppentheorie.- 1. Grundbegriffe.- 2. Beispiele und Ergänzungen.- 3. Operationen von Gruppen auf Mengen.- 4. Beispiele und Ergänzungen.- Aufgaben.- § 2 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe.- 1. Die Algebra Mat(n, K).- 2. Die Gruppen GL(n, K und SL(n, K).- 3. Die gewöhnliche Operation von GL(n, K).- 4. Jordan-Chevalley-Zerlegung in GL(n, K).- 5. Erzeugung von SL(n, K) durch Elementarmatrizen.- 6. Kommutatorgruppe von GL(n, K) und SL(n, K).- 7. Zentrum von GL(n, K) und SL(n, K), projektive Gruppen.- 8. Normalteiler in SL(2, K).- 9. Zusammenhang.- 10. Quaternionen, die Gruppen GL(n, H) und SL(n, H).- Aufgaben.- § 3 Symmetrische Bilinearformen und Hermitesche Formen.- 1. Hermitesche Formen und Matrizen.- 2. Isometrien Hermitescher Räume.- 3. Orthogonalität, Normalformen.- 4. Euklidische und unitäre Räume.- 5. Isometriegruppen Hermitescher Räume.- Aufgaben.- § 4 Orthogonale und unitäre Gruppen.- 1. Die Gruppen SO(p, q), SO(n, ?) und SU(p, q).- 2. Beispiele: Die Gruppen O(2), 0(1, 1), SO(3) und SU(2).- 3. Konjugationsklassen, maximale Tori, Weyl-Gruppen.- 4. Anwendung: Zentrum von U(n), SU(n) imd SO(n).- 5. Normalteiler in SU(2).- 6. Spiegelungen, Transitivität von O(V, h) auf Sphären.- 7. Erzeugung von O(V, h) durch Spiegelungen.- 8. Erzeugung von U(V, h) durch Quasi-Spiegelungen.- 9. Zusammenhang von SO(V, h) und U(V, h).- 10. Bewegungsgruppe des ?n, Galilei-Gruppe.- 11. Iwasawa-Zerlegung.- 12. Polar- und Cartan-Zerlegung.- 13. Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum.- 14. Isomorphie der Lorentz-Gruppe mit SL(2, ?)/ und SO(3) mit SU(2)/.- 15. Beschreibung von 0(4) (und 0(3)) durch Quaternionen, Nicht-Einfachheit von SO(4)/.- 16. Hermitesche Formen auf H und die Gruppen U(p, g; H).- Aufgaben.- §5 Symplektische Gruppen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Zerlegung in hyperbolische Ebenen, Normalformensatz.- 3. Die symplektische Gruppe Sp(2n, K).- 4. Anwendung: Hamiltonsche Gleichungen und ihre Invarianten.- 5. Erzeugung von Sp(V, s) durch Transvektionen, die Inklusion Sp(2n, K) ? SL(2n, K), Zusammenhang.- 6. Die Gruppe Sp(2n).- 7. Konjugationsklassen, maximaler Torus und Weyl-Gruppe von Sp(2n).- 8. Eine anti-Hermitesche Form auf ?n und die Gruppe U?(n, ?).- 9. Zusammenstellung der klassischen Gruppen.- Aufgaben.- II. Abgeschlossene Untergruppen von GL(n, K).- § 1 Die Matrix-Exponentialabbildung.- 0. Mat(n, K) als metrischer Raum.- 1. Konvergenz und lokale Umkehrbarkeit der Exponentialabbildung.- 2. Rechenregeln.- 3. Einparamet er gruppen.- 4. Die Gleichung exp X exp Y = exp h(X, Y).- Aufgaben.- § 2 Lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren.- 1. Definition, Beispiele.- 2. Die Lie-Algebreii der klassischen Gruppen.- 3. Die Abbildung expG: LG :? G für einige klassische Gruppen.- 4. Lineare Gruppen.- 5. Die Lie-Algebren linearer Gruppen.- 6. Die Exponentialabbildung einer linearen Gruppe.- 7. Die von expG(LG) erzeugte Untergruppe von G, Zusammenhang.- 8. LG als Tangentialraum.- 9. Die Lie-Algebren der Poincaré- und Galilei-Gruppe.- Aufgaben.- § 3 Homomorphismen linearer Gruppen und ihrer Lie-Algebren.- 1. Die Gleichung f o expG = expH oLf.- 2. Funktorielle Eigenschaften.- 3. Maximal-kompakte Untergruppen.- 4. Lokale Isomorphie.- 5. Einfacher Zusammenhang und universelle Überlagerungsgruppe.- Aufgaben.- III. Darstellungen der klassischen Gruppen.- § 1 Grundlagen der allgemeinen Darstellungstheorie von Gruppen.- 1. Grundlegende Begriffe und Beispiele.- 2. Reduzibilität, direkte Summen.- 3. Unitäre Darstellungen.- 4. Kontragrediente und konjugiert-komplexe Darstellung.- 5. Morphismen, Lemma von Schur.- 6. Tensorprodukte.- 7. Isotypische Zerlegung.- 8. Die Algebra EndG(V) und ihre Darstellungen.- 9. Gruppen mit invarianter Mittelbildung, Charaktere.- 10. Invariante Bilinear- und Sesquilinearformen.- Aufgaben.- § 2 Darstellungstheorie der klassischen Gruppen (globale Methode).- 1. Darstellungen der symmetrischen Gruppen Sk.- 2. Der Sk-Modul V?k und die Darstellungen von EndSkV?k.- 3. Der GL(V)-Modul V?k, Darstellungen von GL(n, ?) und SL(n, ?).- 4. Darstellungen von O(n, ?) und Sp(n, ?).- 5. Darstellungen von SO(n, ?).- 6. Darstellungen der reellen klassischen Gruppen.- Aufgaben.- IV. Halbeinfache komplexe Lie-Algebren.- § 1 Von der Darstellungstheorie linearer Gruppen zur Darstellungstheorie von Lie-Algebren.- 1. Die Ableitung L? der Darstellung einer linearen Gruppe.- 2. Beispiel: Die adjungierte Darstellung.- 3. Komplexifizierung von Lie-Algebren und Darstellungen.- 4. Vollständige Reduzibilität der klassischen Gruppen und Algebren.- Aufgaben.- § 2 Halbeinfache Lie-Algebren.- 1. Die Killing-Form.- 2. Wurzelraumzerlegung.- 3. Wurzelraum-Zerlegung von sl(n, ?), so(n, ?) und sp(n, ?).- Aufgaben.- § 3 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren.- 1. Zerlegung in Gewichtsräume.- 2. Die irreduziblen Darstellungen von sl(n, ?), so(n, ?) und sp(n, ?).- Aufgaben.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Namenverzeichnis.