Einführung in Die Mathematischen Methoden Der Theoretischen Physik

ISBN-13: 9783528033194 / Niemiecki / Miękka / 1976 / 212 str.

Hans J. Dirschmid; Hansjeorg Dirschmid

Opis

In den letzten Jahren scheint ein altes didaktisches Problem des Physikstudiums noch akuter geworden zu sein: In den ersten beiden Studienjahren durchliiuft der Student die tiblichen Grund kurse in Mathematik, wiihrend gleichzeitig im dritten oder vierten Semester ein Vorlesungszyklus aus theoretischer Physik beginnt. Einerseits steht der vortragende Physiker daher vor dem Problem, gewisse Tellgebiete der Mathematik erst zu spat im Mathematikzyklus aufscheinen, um darauf in der theoretischen Physik zUrUckgreifen zu konnen; andererseits beginnt heute der Trend zu einer sehr formalen und tellweise wenig anwendungsorientierten Mathematik bereits in der hOheren Schule. Dies macht die "Einstimmung" des jungen Physikstudenten auf die mehr intuitive Arbeits weise des Physikers immer schwieriger. Um diesem Ubelstand abzuhelfen, existieren an vielen Universitaten - nicht nur des deutschen Sprachraums - Ubergangsvorlesungen, die im dritten und vierten Semester gehOrt werden. Nach unserer Meinung ist diese Regelung der mancherorts getibten Praxis vorzuziehen, die Mathematik ausblldung des Physikstudenten ganz durch Physiker vomehmen zu lassen, denn ein sehr wesentlicher Tell der modemen mathematischen Physik benotigt den festen Grund weitgehender mathematischer Strenge.

Spis treści

1. Mathematische Grundlagen.- 1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten.- 1.1.1. Definition der Feldgröße.- 1.1.2. Änderung (Differentiation) der Feldgrößen.- 1.2. Integration der Feldgrößen.- 1.2.1. Kurvenintegrale.- 1.2.2. Flächenintegrale.- 1.3. Tensoren.- 1.3.1. Der Begriff des Tensorfeldes.- 1.3.2. Rechenregeln für Tensoren in kartesischen Koordinatensystemen.- 1.3.3. Der 5-Tensor und e-Tensor.- 1.4. Koordinatentransformationen.- 1.5. Einfachste Differentialoperatoren.- 1.5.1. Die Divergenz und der Satz von Gauß.- 1.5.2. Die Rotation und der Satz von Stokes.- 1.5.3. Sprungflächenoperatoren.- 1.5.4. Divergenz und Rotor in krummlinigen Koordinaten.- 1.6. Übungsbeispiele zu Kap. 1.- 2. Partielle Differentialgleichungen der Physik.- 2.1. Die Poissonsche Differentialgleichung.- 2.1.1. Beschreibung eines Feldes durch Quellen und Wirbel.- 2.1.2. Eindeutigkeit der Lösung. Randbedingungen.- 2.2. Die partielle Differentialgleichung von Schwingungsvorgängen.- 2.2.1. Die schwingende Saite.- 2.2.2. Die schwingende Membran und räumliche Schwingungen.- 2.3. Die Differentialgleichungen der Diffusion und Wärmeleitung.- 2.4. Einfachste Differentialgleichungen der Quantenmechanik.- 2.5. Übungsbeispiele zu Kap. 2.- 3. Lösungsansätze für partielle Differentialgleichungen.- 3.1. Trennung der Variablen.- 3.2. Die Laplacegleichung.- 3.2.1. Die Laplacegleichung für ein Rechteck.- 3.2.2. Die Laplacegleichung in Polarkoordinaten.- 3.3. Die schwingende Saite.- 3.3.1. Die beidseitig eingespannte schwingende Saite.- 3.3.2. Die d’Alembertsche Lösung der schwingenden Saite.- 3.4. Übungsbeispiele zu Kap. 3.- 4. Rand und Eigenwertaufgaben.- 4.1. Problemstellung.- 4.2. Sturm-Liouville-Differentialoperatoren.- 4.2.1. Selbstadjungierte Differentialoperatoren.- 4.2.2. Sturm-Liouville-Randwertaufgaben.- 4.2.3. Sturm-Liouville-Eigenwertaufgaben.- 4.2.4. Die Sturm-Liouville -Transformation.- 4.3. Der Entwicklungssatz.- 4.3.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen.- 4.3.2. Der Entwicklungssatz für beschränkte Intervalle.- 4.4. Die Lösung der Anfangsrandwertaufgabe.- 4.5. Die inhomogene Randwertaufgabe.- 4.6. Nadelartige Funktionen.- 4.7. Ergänzungen und Bemerkungen.- 4.8. Übungsbeispiele zu Kap. 4.- 5. Singuläre Differentialgleichungen.- 5.1. Der Begriff der singulären Differentialgleichung. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 5.2. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 5.3. Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung.- 5.4. Übungsbeispiele zu Kap. 5.- 6. Spezielle Funktionen.- 6.1. Kugelfunktionen.- 6.1.1. Die Laplacegleichung in Kugelkoordinaten.- 6.1.2. Die Legendreschen Polynome und ihre erzeugende Funktion.- 6.1.3. Die Formel vom Rodrigues.- 6.1.4. Die Integraldarstellung von Laplace.- 6.1.5. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen.- 6.1.6. Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen.- 6.1.7. Das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen.- 6.1.8. Der Entwicklungssatz nach Kugelflächenfunktionen.- 6.1.9. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie.- 6.2. Zylinderfunktionen.- 6.2.1. Die Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten.- 6.2.2. Besselfunktionen.- 6.2.3. Besselfunktionen als Eigenfunktionen.- 6.2.4. Integraldarstellung und erzeugende Funktion der Besselfunktion Jn (?).- 6.2.5. Das Additionstheorem der Besselfunktionen mit ganzzahligem Zeiger.- 6.2.6. Die Wellengleichung. Sphärische Besselfunktionen.- 6.2.7. Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelwellen.- 6.2.8. Asymptotische Darstellungen für sphärische Besselfunktionen.- 6.3. Hermitesche und Laguerresche Polynome.- 6.3.1. Der harmonische Oszillator (Hermitesche Polynome).- 6.3.2. Die erzeugende Funktion der Hermiteschen Polynome.- 6.3.3. Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom (Laguerresche Polynome).- 6.4. Übungsbeispiele zu Kap. 6.- 7. Verallgemeinerte Funktionen.- 7.1. Problemstellung.- 7.2. Testfunktionen.- 7.3. Verallgemeinerte Funktionen.- 7.4. Die Diracsche Deltafunktion.- 7.5. Die Derivierte einer verallgemeinerten Funktion.- 7.6. Produkte von verallgemeinerten Funktionen. Das Funktional ?(g(x)).- 7.7. Die uneigentliche Funktion ?(1/r).- 7.8. Ergänzungen und Bemerkungen.- 7.9. Übungsbeispiele zu Kap. 7.- 8. Die Methode der Greenschen Funktionen für partielle Differentialgleichungen.- 8.1. Die klassische Lösung der Poissongleichung.- 8.2. Greensche Funktionen und die Deltafunktion.- 8.3. Die Greensche Funktion der Poissongleichung.- 8.3.1. Der eindimensionale Fall.- 8.3.2. Der dreidimensionale Fall mit natürlichen Randbedingungen.- 8.4. Die Greensche Funktion der Wärmeleitung (Diffusion).- 8.4.1. Die Wärmeleitung im unendlich langen Stab.- 8.4.2. Anfangs- und Randbedingungen der homogenen Wärmeleitungsgleichung.- 8.4.3. Die Wärmeleitung im Raum.- 8.5. Die Greenschen Funktionen der Wellengleichung und ihrer Verallgemeinerungen.- 8.5.1. Allgemeine Randbedingungen.- 8.5.2. Greensche Funktionen im unendlichen Raum.- 8.6. Übungsbeispiele zu Kap. 8.- A. Funktionentheorie.- B. Die Gammafunktion.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.