Einführung in Die Lineare Algebra

ISBN-13: 9783528284886 / Niemiecki / Miękka / 1990

Rolf Walter

Opis

Dieses Bueh beruht aufVorlesungen liber line are Algebra und analytisehe Geometrie, die ieh jeweils in zweisemestrigen Kursen an den UniversWiten Freiburg und Dortmund fUr Mathematiker, Physiker, Informatiker und Statistiker gehalten habe. Der Umfang ent sprieht ungefahr dem Inhalt des ersten Semesters. Mit dem vorliegenden Text soIl aber nieht nur das formale Fundament fUr den zweiten Teil gelegt werden, vielmehr erseheint es mir verniinftig, eine EinfUhrung in das gesamte Gebiet zu geben und dabei gleieh wesentliehe Probleme der linearen Algebra anzupaeken. Deshalb ist dieses Bueh nieht nur fur Mathematikstudenten des Diploms und des Lehramtes geeignet, sondern ebenso fUr Niehtmathematiker, die ihre Ausbildung in linearer Algebra in einem Semester absolvieren mlissen und trotzdem einen etwas graJl. eren Einbliek erhalten sollen. Aueh zum Selbst studium dlirfte sieh der Band gut benlitzen lassen. Wie soIl man Mathematik lernen? Dafur gibt es kein Patentrezept, aber eines kann man sagen: Mathematik lernt man am besten kennen, indem man sie betreibt; das Betreiben aber ist eng mit dem Interesse verbunden. leh habe deswegen immer versueht, den Leser zur eigenen, teilnehmenden Besehaftigung mit der Mathematik anzuregen, einerseits dureh die Vorfuhrung vieler Beispiele, andererseits dureh einen Aufbau der Theorie, der von einfaehen, konkreten Fragen ausgeht und magliehst direkt zu zentralen Themen gelangt. Gestartet wird hier mit dem expliziten Lasen linearer Gleichungssysteme, das ohnehin in der Praxis standig gebraueht wird. Am Ende des Weges steht die 10rdansehe Normalform, also die Feinstruktur der linearen Selbstabbildungen."

Spis treści

0 Orientierung.- 0.1 Das Lösen linearer Gleichungssysteme, Gaußsches Verfahren.- 0.2 Standardveranschaulichung.- 0.3 Metrische Standardgrößen.- 1 Einige Grundstrukturen der Algebra.- 1.1 Der Gruppenbegriff.- 1.2 Der Körperbegriff.- 1.3 Der Körper der komplexen Zahlen.- 1.4 Polynome.- 1.5 Einige weitere algebraische Strukturen.- 2 Vektorräume.- 2.1 Der Vektorraumbegriff.- 2.2 Lineare Abhängigkeit.- 2.3 Dimension und Basis.- 2.4 Untervektorräume.- 2.5 Erzeugung endlich dimensionaler Untervektorräume, Matrizen.- 2.6 Affine Struktur eines Vektorraumes.- 3 Lineare Abbildungen.- 3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften.- 3.2 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme.- 3.3 Operationen für lineare Abbildungen.- 3.4 Koordinaten-und Matrizenrechnung.- 3.5 Basis- und Koordinatentransformation.- 3.6 Darstellung von Unterräumen.- 4 Determinanten.- 4.1 Motivierung.- 4.2 Determinantenformen.- 4.3 Zahldeterminanten.- 4.4 Anwendungen.- 4.5 Determinanten von linearen Abbildungen und von Bilinearformen.- 4.6 Orientierung reeller Vektorräume.- 5 Reelle Räume mit Skalarprodukt.- 5.1 Skalarprodukte.- 5.2 Der endlich dimensionale Fall.- 5.3 Euklidische Vektorräume.- 5.4 Orthogonalsysteme.- 5.5 Determinantenformen in euklidischen Vektorräumen.- 5.6 Zwei-und dreidimensionale euklidische Vektorräume.- 5.7 Isometrien.- 6 Eigenwerte und Jordansche Normalform.- 6.1 Eigenelemente.- 6.2 Die charakteristische Gleichung.- 6.3 Der euklidische Fall.- 6.4 Verallgemeinerte Eigenräume und erster Zerlegungssatz.- 6.5 Nilpotente Operatoren und zweiter Zerlegungssatz.- 6.6 Konstruktion der Jordanschen Normalform.- 6.7 Eindeutigkeit der Jordanschen Normalform.- 6.8 Durchrechnung eines Beispiels.- Anhang über Logik und Mengenlehre.- Logisches Schließen.- Mengen.- Abbildungen.- Relationen.- Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- Literaturhinweise.- Wichtige Symbole aus Kapitel 0 bis 6.