Einführung in Die Klassische Mathematik I: Vom Quadratischen Reziprozitätsgesetz Bis Zum Uniformisierungssatz

ISBN-13: 9783642648953 / Niemiecki / Miękka / 2013 / 326 str.

H. Koch;H. Koch

Opis

in die klassische Mathematik I Vom quadratischen Reziprozitatsgesetz bis zum U niformisierungssatz Mit 25 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New Y ork London Paris Tokyo Prof. Dr. habil. Helmut Koch Karl-Weierstrass-Institut fur Mathematik der Akademie der Wissenschaften der DDR Mohrenstr.39 DDR-I080 Berlin Lizenzausgabe fur Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Vertriebsrecht fur alle sozialistischen Lander: Akademie-Verlag Berlin, DDR-I086 Berlin ISBN-13: 978-3-642-64895-3 e-ISBN-13: 978-3-642-61642-6 DOI: 10.1007/978-3-61642-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Koch, Helmut: Einfuhrung in die klassische Mathematik I Helmut Koch - Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer 1. Vom quadratischen Reziprozitatsgesetz bis zum Uniformisierungssatz - 1986. (r) Akademie-Verlag Berlin 1986 Softcover reprint of the hardcover Ist edition 1986 Bindearbeiten: K. Triltsch, Wurz burg 2144/3140-543210 Vorwort Was du ererbt von deinen Vatern hast, Erwirb es, um es zu besitzen. GOETHE, Faust I Dieses Buch wendet sich an jedermann, der uber eine zweijahrige Hochschulbildung auf dem Gebiet der Mathematik verfugt. Es will dem Leser einen Eindruck von klassi schen Ergebnissen der Mathematik vor allem aus dem 19. Jahrhundert und der erst, en Halfte des' 20. Jahrhunderts vermitteln."

Spis treści

1. Kongruenzen.- 1.1. Einleitung. Gauss’ „Disquisitiones arithmeticae“.- 1.2. Einfachste Gesetzmäßigkeiten für Kongruenzen.- 1.3. Potenzreste.- 1.4. Quadratische Reste.- 1.5. Ausblick. Biquadratische Reste.- 2. Quadratische Formen.- 2.1. Einleitung.- 2.2. Zerfallende Formen.- 2.3. Die Äquivalenz von Formen.- 2.4. Primitive Darstellungen.- 2.5. Transformationen, die eine Form in sich überführen.- 2.6. Formen mit negativer Diskriminante.- 2.7. Drei Sätze von Euler.- 2.8. Formen mit positiver Diskriminante.- 2.9. Die Komposition der Formenklassen.- 3. Kreisteilung.- 3.1. Problemstellung.- 3.2. Hilfssätze über Polynome.- 3.3. Definition der Gaußschen Perioden und diesbezügliche Sätze.- 3.4. Lösung des Problems.- 3.5. p = 17.- 3.6. Perioden der Länge (p ? l)/2.- 3.7. Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.- 4. Flächentheorie.- 4.1. Einleitung. Gauss’ „Disquisitiones generales circa superficies curvas“.- 4.2. Kurven in der Ebene.- 4.3. Kurven im Raum.- 4.4. Flächen.- 4.5. Geometrische Deutung der Gaußschen Krümmung.- 4.6. Eulers Beitrag zur Flächentheorie.- 4.7. Die innere Geometrie der Flächen.- 5. Harmonische Analyse.- 5.1. Die Gleichung der schwingenden Saite.- 5.2. Formulierung des Dirichletschen Satzes und Beweisansatz.- 5.3. Beweis von Hilfssatz 2.- 5.4. Die Fouriersche Formel.- 5.5. Harmonische Analyse für komplexwertige Funktionen.- 5.6. Anwendung: Berechnung der ?-Funktion an positiven geraden Stellen.- 6. Primzahlen in arithmetischen Progressionen.- 6.1. Primzahlverteilung.- 6.2. Charaktere endlicher abelscher Gruppen.- 6.3. Dirichletsche L-Reihen.- 6.4. Beweis von Satz 1.- 7. Algebraische Gleichungstheorie.- 7.1. Die Gleichungen dritten und vierten Grades.- 7.2. Lösung von Gleichungen mit Hilfe von Radikalen.- 7.3. Die allgemeine Gleichung n-ten Grades und die Theorie der symmetrischen Funktionen.- 7.4. Das Galoissche Mémoire zur Gleichungstheorie.- 7.5. Der Satz vom primitiven Element.- 7.6. Die Galoissche Gruppe eines Polynoms.- 7.7. Ein Irreduzibilitätskriterium.- 7.8. Irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad mit zyklischer Gruppe.- 7.9. Die Kreisteilungsgleichung.- 7.10. Der Hauptsatz über die Auflösung von Gleichungen mit Hilfe von Radikalen.- 7.11. Permutationsgruppen.- 7.12. Über irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad.- 7.13. Gleichungen fünften Grades mit symmetrischer Gruppe.- 8. Die Anfänge der komplexen Funktionentheorie.- 8.1. Einleitung: Aus einem Brief von Gauss an Bessel.- 8.2. Grundbegriffe.- 8.3. Das Linienintegral.- 8.4. Die Cauchyschen Integralformeln.- 8.5. Potenzreihenentwicklung.- 8.6. Koeffizientenabschätzung.- 8.7. Prinzip vom Maximum des Absolutbetrages.- 8.8. Laurent-Entwicklung.- 8.9. Residuen.- 8.10. Der Doppelreihensatz.- 8.11. Analytische Fortsetzung.- 9. Ganze Funktionen.- 9.1. Funktionen mit endlich vielen singulären Stellen.- 9.2. Der Weierstraßsche Produktsatz.- 9.3. Die ?-Funktion.- 9.4. Die Stirlingsche Formel.- 10. Riemannsche Flächen.- 10.1. Problemstellung der Funktionentheorie im 19. Jahrhundert.- 10.2. Die erweiterte komplexe Ebene.- 10.3. Die n-te Wurzel.- 10.4. Definition der Riemannschen Fläche.- 10.5. Die Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion.- 10.6. Die Topologie geschlossener Riemannscher Flächen.- 10.7. Polygonkomplexe.- 10.8. Klassifikation der orientierbaren geschlossenen Flächen.- 11. Meromorphe Differentiale und Funktionen auf geschlossenen Riemannschen Flächen.- 11.1. Differentiale und Integrale auf Riemannschen Flächen.- 11.2. Der Riemannsche Existenzsatz für Differentiale.- 11.3. Die Riemannschen Periodenrelationen.- 11.4. Meromorphe Funktionen.- 11.5. Riemannsche Flächen vom Geschlecht 0.- 11.6. Der Satz von Riemann und Roch.- 11.7. Der Körper der meromorphen Funktionen auf einer geschlossenen Riemannschen Fläche.- 12. Die Sätze von Abel und Jacobi.- 12.1. Der Satz von Abel.- 12.2. Nicht-spezielle Divisoren.- 12.3. Die analytische Natur von ?A.- 12.4. Der Satz von Jacobi und das Jacobische Umkehrproblem.- 13. Elliptische Funktionen.- 13.1. Die elliptischen Funktionen im Rahmen der Riemannschen Funktionentheorie.- 13.2. Konstruktion der elliptischen Funktionen.- 13.3. Klassifikation der Riemannschen Flächen vom Geschlecht 1.- 13.4. Die elliptische Modulfunktion.- 13.5. Der Picardsche Satz in der Theorie der ganzen Funktionen.- 14. Riemannsche Geometrie.- 14.1. Riemanns Habilitationsvortrag.- 14.2. n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 14.3. Tangentialvektoren.- 14.4. Geodätische Linien.- 14.5. Riemannsche Normalkoordinaten.- 14.6. Der Riemannsche Krümmungstensor.- 14.7. Tensoren als Multilinearformen.- 14.8. Der Zusammenhang zwischen dem Krümmungstensor und der Form Q(a, b).- 14.9. Orthonormierte Basen.- 14.10. Die Gaußsche Krümmung.- 14.11. Räume konstanter Krümmung.- 14.12. Konforme Abbildung.- 14.13. Nichteuklidische Geometrie.- 15. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe.- 15.1. Problemstellung.- 15.2. Die Funktionalgleichung der ?-Funktion.- 15.3. Über die Nullstellen der ?-Funktion.- 16. Die Anfänge der Theorie der algebraischen Zahlen.- 16.1. Die Gaußschen Zahlen.- 16.2. Einleitung zu den folgenden Kapiteln 17 bis 21.- 17. Körpertheorie.- 17.1. Körperisomorphismen.- 17.2. Normale Erweiterungen und Galoissche Gruppe.- 17.3. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie.- 17.4. Die Gruppe einer Gleichung.- 17.5. Das Kompositum zweier Körper.- 17.6. Spur, Norm, Differente und Diskriminante.- 18. Die Dedekindsche Idealtheorie.- 18.1. Ganze Elemente.- 18.2. Gitter in endlichen Erweiterungen von P.- 18.3. Die ganzen Zahlen quadratischer Zahlkörper.- 18.4. Die Ideale von OK.- 18.5. Der Hauptsatz der Idealtheorie.- 18.6. Folgerungen aus dem Hauptsatz.- 18.7. Die Norm eines Ideals.- 18.8. Kongruenzen.- 18.9. Die Primidealzerlegung in quadratischen Zahlkörpern.- 19. Idealklassengruppe und Einheitengruppe.- 19.1. Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 19.2. Einheiten in quadratischen Zahlkörpern.- 19.3. Die Struktur der Einheitengruppe in Ordnungen algebraischer Zahlkörper.- 19.4. Die logarithmischen Komponenten.- 19.5. Der Kern von l.- 19.6. Das Bild von l.- 19.7. Der Rang von l(E).- 19.8. Der Dirichletsche Einheitensatz als Aussage über Diophantische Gleichungen.- 20. Die Dedekindsche ?-Funktion.- 20.1. Definition der Dedekindschen ?-Funktion.- 20.2. Ansatz zum Beweis von Satz 1.- 20.3. Reduktion auf eine Volumenberechnung.- 20.4. Volumenberechnung.- 20.5. Beweis von Satz 2.- 20.6. Anwendung.- 21. Quadratische Formen und quadratische Zahlkörper.- 21.1. Moduln in quadratischen Zahlkörpern.- 21.2. Vergleich mit der Idealgruppe.- 21.3. Formen und Moduln.- 22. Differente und Diskriminante.- 22.1. Relative Erweiterungen.- 22.2. Komplementärmoduln.- 22.3. Der zweite Dedekindsche Hauptsatz.- 23. Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen.- 23.1. Algebraische Funktionenkörper.- 23.2. Die Riemannsche Fläche.- 23.3. Die Ordnung einer Funktion in einem Punkt.- 23.4. Normalbasen.- 23.5. Der einem Divisor zugeordnete Funktionenraum.- 23.6. Differentiale.- 23.7. Der Satz von Riemann und Roch.- 24. Die Geometrie der Zahlen.- 24.1. Der Gitterpunktsatz.- 24.2. Anwendung auf die Ideale eines algebraischen Zahlkörpers.- 25. Normale Erweiterungen von algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern.- 25.1. Normale Erweiterungen.- 25.2. Beweis des Dedekindschen Differentensatzes.- 25.3. Kreisteilungskörper.- 25.4. Die ?-Funktion der Kreisteilungskörper.- 25.5. Der Satz von Kronecker und Weber.- 26. Ganze Funktionen endlicher Wachstumsordnung.- 26.1. Problemstellung.- 26.2. Ganze Funktionen endlicher Ordnung.- 26.3. Anwendung auf die Riemannsche ?-Funktion.- 27. Beweis des Primzahlsatzes.- 27.1. Hadamard und de laValléePoussin.- 27.2. Die Tschebyschewsche Funktion.- 27.3. Die Methode der komplexen Integration.- 27.4. Ansatz zum Beweis von Satz 3.- 27.5. Über die Nullstellen der ?-Funktion.- 28. Kombinatorische Topologie.- 28.1. Polyeder im ?n.- 28.2. Topologische Polyeder.- 28.3. Die Homologiegruppen eines Polyeders.- 28.4. Berechnung der Homologiegruppen in einfachen Fällen.- 28.5. Betti-Zahlen und Eulersche Charakteristik.- 28.6. Die Fundamentalgruppe.- 28.7. Die Kantenwegegruppe eines Polygonkomplexes.- 28.8. Beschreibung der Kantenwegegruppe durch Erzeugende und Relationen.- 28.9. Überlagerungsräume.- 28.10. Decktransformationen.- 28.11. Faktorräume.- 29. Die Idee der Riemannschen Fläche.- 29.1. Der Begriff der reellen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit.- 29.2. Definition der Riemannschen Fläche.- 29.3. Orientierbarkeit der Riemannschen Flächen.- 29.4. Meromorphe Differentiale.- 29.5. Das Dirichletsche Integral auf einer Riemannschen Fläche.- 29.6. Das Dirichletsche Prinzip.- 29.7. Das Poissonsche Integral.- 29.8. Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis.- 29.9. Der Glättungsprozeß.- 29.10.Ansatz zum Beweis des Existenzsatzes für Differentiale.- 29.11. Beweis des Dirichletschen Prinzips.- 29.12. Beweis des Riemannschen Existenzsatzes für Differentiale auf geschlossenen Riemannschen Flächen.- 30. Uniformisierung.- 30.1. Der Begriff der Uniformisierung.- 30.2. Der Riemannsche Abbildungssatz.- 30.3. Die Automorphismen der einfach zusammenhängenden Riemannschen Flächen.- 30.4. Normalform einer Riemannschen Fläche.- Anhang 1. Ringe.- A 1.1. Grundbegriffe über Ringe.- A 1.2. Euklidische Ringe.- A 1.3. Die Charakteristik eines Ringes.- A 1.4. Moduln über euklidischen Ringen.- A 1.5. Körperkonstruktion.- A 1.6. Polynome über Körpern.- Anhang 2. Mengentheoretische Topologie.- A 2.1. Definition des topologischen Raumes.- A 2.2. Kompakte Räume.- Anhang 3. Die Gaußsche Integralformel.- Anhang 4. Euklidische Vektor- und Punkträume.- Anhang 5. Projektive Räume.- Verwendete und weiterführende neuere Literatur.- Namenverzeichnis.