Eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen

ISBN-13: 9783662680933 / Niemiecki / Miękka / 2023

Lorenz Halbeisen;Regula Krapf

Opis

Das Buch nimmt die Leserschaft mit auf eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen. Es wird aufgezeigt, wie das Unendliche von der Antike bis in die Neuzeit immer wieder Quell der Inspiration war, um die Mathematik auf feste Grundlagen zu stellen. Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike führt das Buch über Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sowie Cantors und Zermelos Mengenlehre bis zum Banach-Tarski-Paradoxon und Conways spielerischer Konstruktion der surreellen Zahlen.
Die Entdeckung, dass sich nicht jedes Verhältnis von zwei Streckenlängen als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt, hat gezeigt, dass sich nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen Term ausdrücken lässt, sondern dass es dazu etwas Unendliches braucht. Solch eine Darstellung wurde aber erst zwei Jahrtausende später durch Dedekind gefunden. Kurze Zeit nach Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen hat Cantor eine Theorie entwickelt, die Mengenlehre, in der mit verschiedenen Unendlichkeiten gerechnet werden kann. Diese Theorie wurde später von Zermelo auf ein axiomatisches Fundament gestellt, auf dem die moderne Mathematik aufgebaut ist.

Die Reise wird immer wieder aufgelockert durch zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, welche dabei helfen, den Text zu verstehen. Die Voraussetzungen sind so gewählt, dass das Buch bereits für Studierende mit geringen Vorkenntnissen zugänglich ist. Entstanden im Rahmen einer Vorlesung fürs Lehramt, richtet sich dieses Buch ganz besonders auch an Lehramtsstudierende.

Spis treści

Vorwort.- 1 Unendlichkeit in der Antike.- 2 Konstruktion der reellen Zahlen.- 3 Irrationalität und Transzendenz.- 4 Unendliche Mengen.- 5 Gleichmächtigkeit.- 6 Kardinalitäten und Wohlordnungen.- 7 Das Auswahlaxiom.- 8 Das Banach-Tarski-Paradoxon.- 9 Axiome der Mengenlehre.- 10 Ordinalzahlen.- 11 Kardinalzahlen.- 12 Modelle der Mengenlehre.- 13 Permutationsmodelle.- 14 Der Satz von Ramsey.- 15 Spiele und Gewinnstrategien.- 16 Determiniertheit unendlicher Spiele.- 17 Die surreellen Zahlen.- Literaturverzeichnis.- Index.

O autorze

Lorenz Halbeisen hat an der ETH Zürich in mathematischer Logik promoviert. Er war mehrere Jahre für Forschungsaufenthalte in Caen, Barcelona und Berkeley, war Lecturer an der Queen's University Belfast, und hat während acht Jahren an Gymnasien in der Schweiz unterrichtet. Seit 2014 ist er an der ETH Zürich, wo er unter anderem in der Gymnasiallehrerausbildung tätig ist.

Regula Krapf hat an der Universität Bonn in mathematischer Logik promoviert. Im Anschluss hat sie einige Jahre an der Universität Koblenz-Landau als wissenschaftliche Mitarbeiterin gearbeitet. Seit 2021 ist sie als Akademische Rätin an der Universität Bonn tätig und hält insbesondere Mathematiklehrveranstaltungen für Lehramtsstudierende.

Blurb

Das Buch nimmt die Leserschaft mit auf eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen. Es wird aufgezeigt, wie das Unendliche von der Antike bis in die Neuzeit immer wieder Quell der Inspiration war, um die Mathematik auf feste Grundlagen zu stellen. Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike führt das Buch über Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sowie Cantors und Zermelos Mengenlehre bis zum Banach-Tarski-Paradoxon und Conways spielerischer Konstruktion der surreellen Zahlen.

Die Entdeckung, dass sich nicht jedes Verhältnis von zwei Streckenlängen als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt, hat gezeigt, dass sich nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen Term ausdrücken lässt, sondern dass es dazu etwas Unendliches braucht. Solch eine Darstellung wurde aber erst zwei Jahrtausende später durch Dedekind gefunden. Kurze Zeit nach Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen hat Cantor eine Theorie entwickelt, die Mengenlehre, in der mit verschiedenen Unendlichkeiten gerechnet werden kann. Diese Theorie wurde später von Zermelo auf ein axiomatisches Fundament gestellt, auf dem die moderne Mathematik aufgebaut ist.

Die Reise wird immer wieder aufgelockert durch zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, welche dabei helfen, den Text zu verstehen. Die Voraussetzungen sind so gewählt, dass das Buch bereits für Studierende mit geringen Vorkenntnissen zugänglich ist. Entstanden im Rahmen einer Vorlesung fürs Lehramt, richtet sich dieses Buch ganz besonders auch an Lehramtsstudierende.

 

Die Autoren

Lorenz Halbeisen hat an der ETH Zürich in mathematischer Logik promoviert. Er war mehrere Jahre für Forschungsaufenthalte in Caen, Barcelona und Berkeley, war Lecturer an der Queen's University Belfast, und hat während acht Jahren an Gymnasien in der Schweiz unterrichtet. Seit 2014 ist er an der ETH Zürich, wo er unter anderem in der Gymnasiallehrerausbildung tätig ist.

Regula Krapf hat an der Universität Bonn in mathematischer Logik promoviert. Im Anschluss hat sie einige Jahre an der Universität Koblenz-Landau als wissenschaftliche Mitarbeiterin gearbeitet. Seit 2021 ist sie als Akademische Rätin an der Universität Bonn tätig und hält insbesondere Mathematiklehrveranstaltungen für Lehramtsstudierende.