Differenzengleichungen Und Diskrete Dynamische Systeme: Eine Einführung in Theorie Und Anwendungen

ISBN-13: 9783519026396 / Niemiecki / Miękka / 1999 / 246 str.

Ulrich Krause; Tim Nesemann

Opis

Dieses Buch befasst sich mit der mathematischen Analyse von dynamischen Prozes sen, deren zeitliche Entwicklung nicht kontinuierlich fliessend, sondern in diskreten Zeit schritten modelliert wird. In den Naturwissenschaften, den Ingenieurwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften wird haufig bei der Untersuchung dynamischer Vorgange zunachst ein Modell in diskreter Zeit formuliert, also eine Differenzengleichung oder ein (zeit-) diskretes dynamisches System. Anschliessend wird dann gewohnlich durch einen Grenzubergang, bei dem die Lange eines Zeitschritts gegen Null strebt, das diskrete Modell in eine oder mehrere Differentialgleichungen verwandelt. Dieses Vorgehen, das besonders in der Physik sehr erfolgreich ist mit Ausstrahlungen bis hin in die Sozialwis senschaften, hat den grossen Vorteil, dass sich dabei das hochentwickelte mathematische Instrumentarium der Differentialgleichungen und differenzierbaren dynamischen Syste me anzapfen lasst. Ein Nachteil liegt jedoch darin, dass fur eine numerische Auswertung des Modells zum Zwecke der empirischen Uberprufung, das kontinuierliche Modell wie der in ein diskretes Modell zuruckverwandelt werden muss. Das scheint nicht nur ein Umweg zu sein, insbesondere angesichts eines zunehmenden Einsatzes von Computern, sondern birgt auch zusatzliche Probleme, da es trotz gewisser Analogien keine systemati schen Ubersetzungsregeln zwischen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt, vor allem nicht, wenn nichtlineare Vorgange im Spiel sind. Auch aus diesem Grund bildet sich mehr und mehr eine Tendenz heraus, das erstellte diskrete Modell direkt mit Methoden der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme zu untersu chen; dieses Vorgehen ist etwa in der Biologie und der Okonomie seit jeher gebrauchlicher als z. B. in der Physik."

Recenzje

"Das Buch empfiehlt sich als schlanker, angenehm geschriebener Zugang zu wesentlichen Bereichen aktueller Systemdynamik und durch 'ahrte', viel klassisches Material intergrierende Methodik."
Jahresbericht der Deutschem mathematiker Vereinigung 103/3

Spis treści

Beispiele und Grundbegriffe - Diskrete dynamische Systeme - Differenzengleichungen - Zum Verhältnis von diskreten dynamischen Systemen und Differenzengleichungen - Differenzenkalkül - Differenzenoperator und Summenoperator - Diskreter Satz von Rolle und Diskreter Mittelwertsatz - Erzeugende Funktion und Z-Transformation - Lineare diskrete dynamische Systeme und Differenzengleichungen - Lineare Unabhängigkeit - Fundamentalmatrizen und Green-Matrix - Differenzengleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten - Stabilitätstheorie linearer Systeme und Differenzengleichungen

Blurb

Dieses Buch gibt eine Einführung in Theorie und Anwendungen von Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systemen für Studierende und Lehrende der Mathematik. Es wendet sich auch an Interessenten aus den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften, die in ihrem Bereich mit der Lösung von Differenzengleichungen oder der Modellierung durch diskrete dynamische Systeme konfrontiert sind. Die erste Hälfte des Buches behandelt neben einführenden Grundbegriffen den Differenzenkalkül sowie detailliert die grundlegende Theorie linearer Systeme und Differenzengleichungen einschließlich ihrer Stabilitätseigenschaften. Die zweite Hälfte des Buches befaßt sich mit nichtlinearen diskreten dynamischen Systemen und Differenzengleichungen.. Hier werden Stabilitätskriterien mittels linearer Approximation und Lyapunov-Funktionen entwickelt und es wird ein kurzer Überblick über Chaos und Fraktale gegeben. Abschließend geht das Buch auf die neuere Theorie positiver nichtlinearer Systeme ein und behandelt Stabilitätseigenschaften konkaver Systeme und Differenzengleichungen nebst Anwendungen in der Biologie und in der Ökonomie. Das Buch enthält neben der grundlegenden mathematischen Theorie auch viele illustrierende Beispiele, Aufgaben und Anwendungen sowie fünf Computerprogramme in Turbo-Pascal, mit denen der Leser selbst Grafiken erstellen kann.