Differenzengeometrie

ISBN-13: 9783642864124 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 234 str.

Robert Sauer

Opis

1m vorliegenden Bueh werden wir uns mit der Differentialgeometrie der Kurven und Flaehen im dreidimensionalen Raum besehiiftigen [2, 7]. Wir werden dabei besonderes Gewieht darauf legen, einen "ansehauliehen" Einbliek in die differentialgeometrisehen Begriffe und Satze zu gewinnen. Zu dies em Zweek werden wir, soweit sieh dies in naheliegender Weise er mogliehen lal3t, den differentialgeometrisehen Objekten elementargeome trisehe oder, wie wir dafiir aueh sagen wollen, differenzengeometrisehe Modelle gegeniiberstellen und deren elementargeometrisehe Eigensehaften mit differentialgeometrisehen Eigensehaften der Kurven und Flaehen in Be ziehung bringen. Wegen dieses methodisehen Gesiehtspunktes tragt das Bueh den Titel "Differenzengeometrie." Den ersten kraftigen Anstol3 zu einer solehen "ansehauliehen Diffe rentialgeometrie" gab der Geometer Sebastian Finsterwalder (1892-1951) in seiner Sehrift "Meehanisehe Beziehungen bei der Flaehendeformation" [ 10]. Aul3erdem haben diese Art der Differentialgeometrie aueh H. Graf [11, 13] und, in etwas anderer Weise, O. Baier [8,9] gepflegt. Der An teil von H. Graf ist sehr erheblieh, wesentlieh umfassender als er sieh im Literaturverzeiehnis naehweisen Hil3t. Das I. Kapitel bringt zur Vorbereitung eine allgemeine Einfiihrung in die Differentialgeometrie, wobei die differenzengeometrisehe Methode nur teilweise beniitzt wird. In voUem Umfang kommt diese erst in den beiden weiteren Kapiteln zur Geltung. Das II. Kapitel behandelt spezielle Flaehen und zwar insbesondere Probleme der Verbiegungen ( = langentreue stetige Deformationen) dieser Flaehen. Den Gegenstand des III. Kapitels bildet die Theorie der sogenannten infinitesimalen Flaehenverbiegung, wobei sieh aueh projektiv-geometrisehe Beziehungen ergeben werden."

Spis treści

I. Allgemeine Theorie.- § 1. Erläuterung der differenzengeometrischen Methode.- § 2. Raumkurven.- § 3. Torsen und Flächenstreifen.- § 4. Regelflächen.- § 5. Grundbegriffe der ebenen und räumlichen Kinematik.- § 6. Sehnendreiecksnetze einer Fläche.- § 7. Metrik auf der Fläche (Erste Grundform der Flächentheorie).- § 8. Ableitungsgleichungen und Integrierbarkeitsbedingungen der Flächentheorie.- § 9. Krümmungen der Flächenkurven (Zweite Grundform der Flächentheorie).- § 10. Konjugierte Kurvennetze und Schmiegliniennetze.- II. Spezielle Flächen.- § 11. Flächen konstanten negativen Krümmungsmaßes.- § 12. Flächen mit einem konjugierten geodätischen Kurvennetz.- §13. Profilaffine Flächen.- § 14. Drehflächen und Schraubenflächen.- III. Infinitesimale Flächen Verbiegung.- § 15. Kinematik der Flächenverbiegung.- § 16. Schränkungsfeste Kurvennetze bei einer infinitesimalen Flächenverbiegung.- § 17. Krümmungsfeste Kurvennetze bei einer infinitesimalen Flächenverbiegung.- § 18. Projektive Abbildungen.- § 19. Infinitesimale Verbiegungen zueinander projektiver Flächen.- § 20. Der Darbouxsche Flächenkranz bei einer infinitesimalen Flächenverbiegung.- § 21. Spannungsgleichgewicht in undehnbaren Membranen.