Differentialgeometrie

ISBN-13: 9783528038090 / Niemiecki / Miękka / 1981

Brauner Heinrich

Opis

um das zur Losung konkreter geometrischer Einzelfragen notige Rustzeug zu ver- mitteln, ist auch stets die koordinatenmaige Behandlung berucksichtigt. Verzichtet wurde auf den Differentialformenkalkul, doch wird der Leser keine Schwierigkeiten haben, sich diese fur die moderne Differentialgeometrie wichtige Methode auf der Grundlage des Buches selbst anzueignen. In einer Einfuhrung sollten nach meiner Ansicht nicht verschiedene methodische Ansatze verwendet werden. Der gebotene Stoff geht in Umfang und Inhalt uber eine etwa vierstundige Vor- lesung hinaus und gestattet den Anschlu eines weiterfuhrenden Seminars. Die sorg- faltig angebrachten zahlreichen Ruckverweisungen ermoglichen es, verschiedenartige Lehrgange aus dem Inhalt zusammen zu stellen. Freunde konkreter Geometrie wer- den die Diskussionen im Anschlu an den induzierten Zusammenhang in KapitelS uberschlagen, die Krummungstheorien in Kapitel 6 nur fur Hyperflachen behandeln und sich vor allem den 2-Flachen in Kapitel 7 zuwenden. Das andere Extrem ist die Auswahl eines Lehrgangs uber differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Geometrie; dabei kann man mit Kapitel 8 beginnen und die Ruckverweisungen dazu verwenden, Beispiele fur die eingefuhrten Begriffe bereitzustellen. Die Abschnitte 3. 3,4. 3,5. 5 und 6. 5 und das Kapitel 7 mussen nicht studiert werden, um jeweils nach- folgende Abschnitte verstehen zu konnen, der Abschnitt 3. 5 wird erst in 8. 8 benotigt. Der Abschnitt 8. 8 ist unter Verwendung einzelner Ruckverweisungen auch ohne die vorhergehenden Abschnitte des Kapitels 8 lesbar. Jedem Kapitel ist eine kurze Inhaltsubersicht vorangestellt, und jeder Abschnitt schliet mit einer Sammlung von Aufgaben zur Einubung des behandelten Stoffes.

Spis treści

1. Lineare Geometrie.- 1.1 Reelle Yektorräume.- 1.2 Tensorräume.- 1.3 Euklidische Vektorräume.- 1.4 Affine Räume.- 2. Analysis.- 2.1 Topologische Räume.- 2.2 Differenzierbare Abbildungen.- 2.3 Immersionen, Einbettungen, Diffeomorphismen.- 2.4 Differenzierbare Vektorfelder.- 2.5 Integrale, Differentialgleichungen.- 3. Differentialgeometrie der Kurven in ?n.- 3.1 Kurvenbegriff.- 3.2 Ableitungsvektoren, Bogenlänge.- 3.3 Berührung von Kurven.- 3.4 Ableitungsgleichungen und Hauptsatz.- 3.5 Globale Probleme für Kurven in ?2.- 4. Flächen in ?n.- 4.1 Flächenbegriff.- 4.2 Tangentialvektorraum einer Fläche.- 4.3 Berührung von Flächen.- 4.4 Blätter in ?n.- 4.5 Parameterwechsel.- 5. Geometrie auf Flächen in ?n.- 5.1 Das metrische Tensorfeld.- 5.2 Kovariante Ableitung längs eines Flächenweges.- 5.3 Der induzierte Zusammenhang.- 5.4 Der Krümmungsoperator des induzierten Zusammenhangs.- 5.5 Abbildungen aus einem m-Blatt in ein m-Blatt.- 6. Krümmungstheorie der Flächen in ?n.- 6.1 Der Gauß-Operator.- 6.2 Die Weingarten-Abbildung.- 6.3 Der Krümmungstensor und der Codazzi-Operator.- 6.4 Krümmungstheorie der Hyperflächen.- 6.5 Hauptsatz und Integrabilitätsbedingungen der Hyperflächentheorie.- 7. 2-Flächen in ?3.- 7.1 Kurven auf 2-Flächen.- 7.2 Regelflächen in ?3.- 7.3 2-Flächen in ?3 mit konstanter Gaußscher Krümmung.- 7.4 Minimalflächen.- 8. Riemannsche Räume.- 8.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 8.2 Zerlegung der Eins auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 8.3 Der Tangentialvektorraum.- 8.4 Zusammenhänge auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 8.5 Metrische Tensorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 8.6 Das Krümmungstensorfeld eines Riemannschen Raumes.- 8.7 Die Exponentialabbildung, die innere Metrik Riemannscher Räume.- 8.8 Die Integralformel von Gauß-Bonnet und globale Probleme für Riemannsche 2-Räume.- Literatur.