Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze: Eine Geführte Reise Durch Kurt Gödels Historischen Beweis

ISBN-13: 9783662542996 / Niemiecki / Miękka / 2017 / 356 str.

Dirk W. Hoffmann

Opis

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft fur Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Godel zwei Unvollstandigkeitssatze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verandert haben. Godels Satze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine Kluft besteht, die wir nicht uberwinden konnen. Die Mathematik fugt sich in kein formales Korsett.Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollstandigkeitssatze in aller Munde und eine Flut an Buchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Godel'sche Arbeit in ihrer ursprunglichen Form - und dies hat triftige Grunde: Seine komplexen, in akribischer Prazision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Satze und die heute weitgehend uberholte Notation machen Godels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.In diesem Buch wird Godels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erlautert und anhand zahlreicher Beispiele verstandlich erklart. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollstandigkeitssatze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zuruck. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die grote Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenuber standen.Die 2. Auflage ist vollstandig durchgesehen.Stimme zur ersten Auflage: ..".eine didaktisch sehr gut gemachte Darstellung."
Prof. Dr. Matthias Homeister, FH Brandenburg

Spis treści

Einleitung.- Die formalen Grundlagen der Mathematik.- Beweisskizze.- Das System P.- Primitiv-rekursive Funktionen.- Die Grenzen der Mathematik.- Epilog.

O autorze

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk „Grenzen der Mathematik“ erschienen.

Blurb

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.

Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.

In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.

Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen.

Stimme zur ersten Auflage:

„... eine didaktisch sehr gut gemachte Darstellung.“

Prof. Dr. Matthias Homeister, FH Brandenburg

Der Autor

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk „Grenzen der Mathematik“ erschienen.