Die Euklidische Ebene Und Ihre Verwandten

ISBN-13: 9783764356859 / Niemiecki / Twarda / 1999 / 216 str.

Heinz Luneburg; Heinz La1/4neburg

Opis

Unter Verzicht auf alles Raumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen ubergegangen wird, die von kommutativen Korpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitatsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer moglich, so tragt der Koordinatenkorper eineAnordnung, so dass man schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls grundlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkorpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nahe der Ebene uber den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen konnen, die reelle Ebene unter allen ubrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.

Spis treści

I. Projektive und Affine Ebenen.- 1. Definitionen und erste Resultate.- 2. Inzidenztreue Abbildungen.- 3. Affine Ebenen.- 4. Zentralkollineationen.- 5. Zentralkollineationen und der Satz von Desargues.- II. Desarguessche Ebenen.- 1. Translationsebenen.- 2. Der Kern einer Translationsebene.- 3. Die Ebenen II (V, K).- 4. Die zu II (V, K) duale Ebene.- 5. Die Struktursätze für Desarguessche Ebenen.- III. Pappossche Ebenen.- 1. Der Satz von Hessenberg.- 2. Die Gruppe der projektiven Kollineationen.- 3. Die Gruppe der Projektivitäten einer Geraden auf sich.- 4. Das Doppel Verhältnis.- 5. Anhang.- IV. Polaritäten und Kegelschnitte.- 1. Polaritäten endlicher projektiver Ebenen.- 2. Darstellung von Polaritäten.- 3. Kegelschnitte.- 4. Die Steinersche Erzeugung der Kegelschnitte.- 5. Segres Satz über Ovale.- 6. Die Kollineationsgruppe eines Kegelschnitts.- V. Teilverhältnisse und Orthogonalität in affinen Ebenen.- 1. Teilverhältnisse.- 2. Das Mittendreieck und die Mittellinien eines Dreiecks.- 3. Orthogonalitätsrelationen papposscher Ebenen.- 4. Die Gruppe einer thaletischen Orthogonalitätsrelation.- 5. Orthogonalitätsrelationen, für die der Höhenschnittpunktsatz gilt.- 6. Das Winkelhalbieren.- VI. Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte.- 1. Projektive Ebenen über euklidischen Körpern.- 2. Kegelschnitte in affinen Ebenen.- 3. Kreise.- 4. Die Achsen der Kegelschnitte.- 5. Die Brennpunkte der Kegelschnitte.- 6. Algebraische Beschreibung von Ellipse, Parabel und Hyperbel.- VII. Die reelle Ebene.- 1. Zwischenbeziehungen und Anordnungen.- 2. Eine Charakterisierung der Anordnung eines Körpers.- 3. Zwischenbeziehungen in desarguesschen affinen Ebenen.- 4. Eine Kennzeichnung der reellen affinen Ebene.