Der Kalmanfilter ALS Instrument Zur Diagnose Und Schätzung Variabler Parameter in Ökonometrischen Modellen

ISBN-13: 9783790803594 / Niemiecki / Miękka / 1986 / 490 str.

W. Schneider; Wolfgang Schneider

Spis treści

Gliederung.- I: Bedeutung und Ursachen veränderlicher Parameter in der quantitativen Ökonomie: statistische Methoden zu ihrer Erkennung und Schätzung.- 1. Auf der Suche nach stabilen Parametern des „datenerzeugenden Prozesses“: Problem der „strukturellen“ Schätzung in der Ökonometrie.- 1.1. Vorbemerkungen.- 1.2. Ein ökonometrisch-statistisches Rahmenmodell.- 1.3. Die Reduktion und Reparametrisierung des Totalmodells: die Zulässigkeit der Reduktion für Inferenz, Prognose und Simulation bei Interventionen in den „erklärenden“ Variablen mit den zugehörigen Exogenitätskonzepten.- 1.4. Ein kleines Beispiel mit einer Illustration der LUCAS-Kritik — eine Erklärung von Parameterinstabilitäten aus Sicht der Theorie „rationaler Erwartungen“.- Exkurs: WOLD-STROTZ-Transformationen, Vorherbestimmtheit und strenge Exogenität in einem stationären AR-Modell.- 1.5. Die Rehabilitierung der reduzierten Form: eine Darstellung der SIMS-Kritik an der Ökonomie und Ökonometrie „rationaler Erwartungen“.- 1.6. Abschließende Bemerkungen: Ursachen variabler Regressionsparameter und ein Ansatz ihrer Modellierung.- 2. Schätzung variabler Parameter: ein kurzer Überblick traditioneller Ansätze.- 2.1. Vorbemerkungen.- 2.2. Eine kurze Diskussion dynamischer Regressionsmodelle und nichtrekursiver Schätzverfahren.- 2.2.1. Diskrete Parametervariation.- 2.2.2. Systematische und autoregressive Parametervariation: nichtrekursive Schätzung des Parameterverlaufs in einem Aitken-Modell.- 2.3. Das Verfahren der exponentiellen Glättung in einer Interpretation als adaptives Verfahren und als Spezialfall eines Kaimanfilters.- 3. Abriß der weiteren Vorgehensweise: Leitfaden und Zusammenfassung.- II: Rekursive Schätzung der zeitabhängigen stochastischen Koeffizienten in einem verallgemeinerten Regressionsmodell: Zustandsschätzung in einem vollspezifizierten dynamischen linearen Modell mit Hilfe des Kaimanfilters.- 1. Das Zustandsraummodell (Das „dynamische lineare Modell“).- 1.1. Das allgemeine Zustandsraummodell.- 1.2. Das lineare Zustandsraummodell.- 1.3. Interpretationen des Zustandsraummodells: ein Überblick.- 2. Alternative Herleitungen und Interpretationen der Kaimanfiltergleichungen.- 2.1. Ein Bayesianischer (entscheidungstheoretischer) Modellrahmen.- 2.1.1. Die rekursive Berechnung von a posteriori Dichten in einem allgemeinen Zustandsraummodell.- 2.1.2. Ableitung von Bayesregeln in einem vereinfachten dynamischen linearen Modell.- 2.2. Kleinstquadratschätzer: Definition und elementare Eigenschaften.- 2.3. Ableitung der Kalmanfiltergleichungen durch rekursive Berechnung bedingter Normalverteilungen.- 2.3.1. Rekursionsgleichungen für die Filterlösung.- 2.3.2. Interpretation der Filterstruktur.- 2.4. Der lineare Kleinstquadratschätzer.- 2.4.1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2.4.2. Die Innovationsfolge und ihre Eigenschaften.- 2.5. Ableitung der Kaimanfiltergleichungen durch schrittweise Regression auf die Glieder einer Innovationsfolge.- 2.5.1. Rekursionsgleichungen für die Filterlösung.- 2.5.2. Parallelen zur „Aitken-Schätzung“ und „gemischten“ Schätzung.- 2.6. Approximation von Zufallsvariablen in Hilberträumen — Kaimanfilter als rekursive Projektionen.- 2.6.1. Approximation von Vektoren eines Hilbertraumes durch Vektoren eines Unterraumes.- 2.6.2. Interpretation des Kalmanfilter-Algorithmus als rekursive Projektionen in einem Hilbertraum.- 2.7. Anwendungsbeispiele.- 2.7.1. Sequentielle Regression und rekursive Residuen.- 2.7.2. Die Bestimmung einer optimalen Glättungskonstanten im Rahmen der Schätzung permanenter Zeitreihenkomponenten.- 2.7.3. Die Verwendung des Kaimanfilters zur Beschreibung von Informationsstrukturen in dynamischen Entscheidungsproblemen unter Unsicherheit.- 3. Vervollständigung der Schätzaufgaben: Herleitung der Glättungs- und Prognoselösung.- 3.1. Vorbemerkungen.- 3.2. Herleitung der Glättungslösung.- 3.3. Herleitung der Prognoselösung.- 4. Numerische Varianten der Kalmanfilter-Gleichungen.- 4.1. Vorbemerkungen.- 4.2. Hilfsmittel.- 4.2.1. Cholesky-Wurzeln einer positiv definiten, symmetrischen Matrix.- 4.2.2. Die Householder-Transformation.- 4.2.3. Konstruktion linearer Kleinstquadratschätzer mit Hilfe von Householder-Transformationen.- 4.2.4. Ein Matrixinversionssatz.- 4.3. Der Kovarianzfilter in Standardform.- 4.4. Der Kovarianzfilter in Wurzelform.- 4.5. Der Informationsfilter in Standardform.- 4.5.1. Die Filterlösung.- 4.5.2. Die Glättungslösung.- 4.6. Der Informationsfilter in Wurzelform.- 4.6.1. Die Filterlösung.- 4.6.2. Die Glättungslösung.- 5. Erweiterungen des dynamischen linearen Grundmodells.- 5.1. Das dynamische lineare Modell mit zeitabhängigen Modellmatrizen und kontemporär korrelierten Störtermen in der Beobachtungs- und Übergangsgleichung.- 5.1.1. Die Filterlösung.- 5.1.2. Die Glättungslösung.- 5.2. Die Berücksichtigung verzögert endogener Variabler unter den erklärenden Variablen eines Zustandsraumes.- 5.2.1. Die Filterlösung.- 5.2.2. Die Innovationsfolge.- 5.2.3. Die Glättungslösung (für festes und variables Glättungsintervall).- 6. Stabilitätseigenschaften der Kaimanfilter-Rekursionsgleichungen.- 7. Sensitivitätseigenschaften des Kaimanfilters in einem fehlspezifizierten dynamischen linearen Modell.- 8. Nichtlineare Kalmanfilter-Rekursionen.- 8.1. Der erweiterte Kaimanfilter.- 8.2. Anwendungsbeispiele.- 8.2.1. Simultane Gleichungssysteme mit zeitabhängigen Koeffizienten der gemeinsam endogenen Variablen.- 8.2.2. Gemeinsame Schätzung von Systemzuständen und der unbekannten Elemente einer Transitionsmatrix.- III: Maximum-Likelihood-Schätzung der konstanten Parameter eines dynamischen linearen Modells: Implementierung alternativer Maximum-Likelihood-Suchverfahren (EM- und SCORING-Methode), asymptotische Verteilungstheorie und Modellüberprüfung.- 1. Vorbemerkungen (Modellspezifikation und Notationen).- 1.1. Spezifikation des zu schätzenden Modells.- 1.2. Der Maximum-Likelihood-Ansatz für die Schätzung der unbekannten (konstanten) Modellparameter: Besonderheiten der Likelihood-Gleichungen und ein Verfahrensüberblick für ihre Lösung.- 2. Hilfsmittel zur Maximierung der Likelihood-Funktion.- 2.1. Einige Hilfssätze aus der Matrixalgebra.- 2.1.1. Vektorisierungsregeln.- 2.1.2. Differentiationsregeln für Matrizen und Vektoren.- 2.1.3. Dekompositionseigenschaften positiv (semi)definiter Matrizen.- 2.1.4. Verteilung quadratischer Formen in normalverteilten Zufallsvariablen.- 2.2. Das Scoring-Verfahren (C.R. Rao).- 2.3. Das EM-Verfahren (Dempster/Laird/Rubin).- 2.3.1. Definition des EM-Verfahrens.- 2.3.2. Zwei Hilfssätze: Die Informationsungleichung und einige Eigenschaften der Score-Funktion.- 2.3.3. Eigenschaften des EM-Algorithmus.- 3. Maximierung der log-Likelihood-Funktion in einem dynamischen linearen Modell.- 3.1. Implementierung der Scoring-Methode.- 3.1.1. Gradient und Hessesche Matrix der log-Likelihood.- 3.1.2. Optimierung der Schrittlänge und Berechnung der nächsten Iterationslösung.- 3.1.3. Vereinfachungen für einen Spezialfall.- 3.2. Implementierung der EM-Methode.- 3.2.1. Der Erwartungsschritt.- 3.2.2. Der Maximierungsschritt.- 3.3. Zusammenspiel der Scoring- und der EM-Methode im Rahmen einer gemeinsamen Zustands- und Parameterschätzung mit dem Kalmanfilter.- 4. Die Eindeutigkeit der Likelihood-Funktion in den unbekannten Modellparametern: „Identifizierbarkeit“ der Parameter eines dynamischen linearen Modells.- 4.1. Identifizierbarkeit: Konzepte und Kriterien.- 4.2. Ein Beispiel für die Identifizierbarkeit zeitinvarianter Zustandsraummodelle: alternative Darstellung stationärer ARMA(X)-Modelle in Zustandsräumen.- 4.3. Identifizierbarkeit in einem Spezialfall des dynamischen linearen Modells: Regressionsmodelle mit ARMA(X)-verteilten Regressionskoeffizienten.- 5. Asymptotische Eigenschaften der Maximum-Likelihood-Schätzer für die unbekannten (konstanten) Parameter eines dynamischen linearen Modells.- 5.1. Asymptotische Eigenschaften von Maximum-Likelihood-Schätzern bei stochastisch abhängigen Beobachtungsvariablen: ein kurzer Überblick.- 5.2. Asymptotische Normalität und Konsistenz der Maximum-Likelihood-Schätzer im dynamischen linearen Modell.- 6. Modellüberprüfung.- 6.1. Vorbemerkungen: Arten der Modellüberprüfung.- 6.2. Überprüfung der Innovationsfolge auf (normalverteiltes) weißes Rauschen.- 6.3. überprüfen von Restriktionen auf dem Parameterraum.- 6.4. Der Informationsmatrix-Test (H. WHITE).- 7. Schlußbemerkungen: Alternativen zur Maximum-Likelihood-Schätzung.- a) Aufsätze in Zeitschriften, Aufsatzsammlungen, Konferenzbänden und Handbüchern; Arbeitspapiere.- b) Bücher (Monographien, Hand- und Lehrbücher).