Das Wesen Der Mathematik

ISBN-13: 9783322960597 / Niemiecki / Miękka / 1949 / 168 str.

Walter Lietzmann; Walter Lietzmann

Opis

Altere Lehrbucher der Mathematik pflegten damit zu beginnen, die Frage nach dem Wesen der Mathematik und ihrer einzelnen Teilgebiete zu beantworten, ja, geradezu Definitionen dieser Be griffe zu geben. Wir sind heute davon abgekommen. Mit Recht Denn eine solche Frage gehort nicht an den Anfang, sondern an den Schluss einer gewissen Beschaftigung mit Mathematik. Erst wenn man bereits etwas von der Mathematik kennengelernt hat, erscheint es angebracht, sich einmal uber die mathematische Methode, uber den Aufbau des Lehrgutes und uber seine Grundlage klarzuwerden. Es haben zahlreiche fruhere Lehrplane fur hohere Schulen einen "wiederholenden Aufbau des Zahlbegriffes" in die Ober klassen verlegt. Es haben die Meraner Vorschlage und nach ihnen andere moderne Stoffplane als Abschluss des mathematischen Unterrichts "Ruckblicke unter Heranziehung geschichtlich ' und philosophischer Gesichtspunkte" gefot: dert. Die preussischen Richt linien vom Jahre 1925 legten sowohl in den methodischen Bemerkungen wie in den Lehrplanen grossen Nachdruck auf derartige philosophisch vertiefte Ruckblicke: "Logik und Er kenntnistheorie finden einen Platz in der Mathematik. Auch die psychologischen Grundlagen des mathematischen Denkens soll der Unterricht beruhren. Einzelfragen wie Zahlen- und Raumvor stellungen sind nach Moglichkeit philosophisch zu vertiefen- so heisst es in ihnen. Auch die Marienauer Vorschlage (1945), um wenigstens einen der neuen Plane zu nennen, fordern: "Aufbau und Grundlage der Mathematik: Entwicklung des Zahl-und Funk tionsbegriffes, axiomatisches Verfahren der Grundlegung am Bei spiel der Geometrie, Ausblicke auf Logik und Erkenntnisl

Spis treści

Erstes Kapitel: Die Logik im Aufbau der Mathematik.- 1. Grundbegriffe der Logik.- 2. Der Begriff.- 3. Verhältnisse zweier Begriffe.- 4. Begriffsreihen.- 5. Definitionen.- 6. Einige Forderungen an die Definitionen.- 7. Erweiterung von Definitionen.- 8. Einführung idealer Elemente.- 9. Definitionsfehler.- 10. Namen und Zeichen für Begriffe.- 11. Urteil.- 12. Andere Arten von Urteilen.- 13. Art und Herkunft der Urteile.- 14. Vier logische Grundgesetze.- 15. Unmittelbare Schlüsse.- 16. Mittelbare Schlüsse.- 17. Induktive und deduktive Methode.- 18. Der Beweis.- 19. Beweisfehler.- 20. Notwendige und hinreichende Bedingung und Umkehrung von Lehrsätzen.- 21. Direkte und indirekte Beweise.- 22. Vollständige Induktion.- 23. Unmöglichkeitsbeweise.- 24. Mannigfaltigkeit von Beweisen.- 25. Das Verhältnis von Definition und Lehrsatzgefüge.- 26. Der Aussagenkalkül der Logistik.- 27. Der Funktions- oder Prädikatenkalkül.- Zweites Kapitel: Grundlegung der Geometrie.- 1. Geschichtliche und psychologische Entwicklung.- 2. Grundbegriffe.- 3. Der Begriff Fläche.- 4. Der Begriff der Kurve.- 5. Der Begriff der Länge.- 6. Praktische Erzeugung von Gerade und Ebene.- 7. Arithmetisierung der Geometrie.- 8. Forderungen und Grundgesetze bei Euklid.- 9. Was sind Axiome?.- 10. Vollständigkeit des Axiomensystems.- 11. Die Axiome der Verknüpfung.- 12. Die Unabhängigkeit der Axiome.- 13. Geometrie als Beziehungslehre.- 14. Beispiele von Bildgeometrien.- 15. Ausfallsgeometrie.- 16. Widerspruchslosigkeit.- 17. Die Axiome der Anordnung.- 18. Die Axiome der Verknüpfung und die Wirklichkeit.- 19. Die Axiome der Anordnung und die Wirklichkeit.- 20. Unterschied zwischen Axiomenraum und Sinnenraum.- 21. Die Anschauung.- 22. Trugschlüsse.- 23. Der Begriff der Kongruenz.- 24. Die Gruppe der Kongruenzaxiome.- 25. Freiheit in der Wahl der Grundbegriffe.- 26. Parallelenaxiom und nichteuklidische Geometrie.- 27. Die nichteuklidischen Geometrien.- 28. Zerlegungsgleichheit und archimedisches Axiom.- 29. Zerlegungsgleichheit, Ergänzungsgleichheit, Flächengleichheit.- 30. Das Vollständigkeitsaxiom.- 31. Der vierdimensionale Raum.- 32. Die regelmäßigen Polytope im vierdimensionalen Raum.- 33. Polytope im mehrdimensionalen Raum.- 34. Der Weg vom Sinnenraum zur abstrakten Geometrie.- 35. Der Weg von der abstrakten Geometrie zum Sinnenraum.- Drittes Kapitel: Grundlegung der Arithmetik.- 1. Zahl und Zählen.- 2. Die vier Grundrechenarten im Bereiche der natürlichen Zahlen.- 3. Der Bereich der rationalen Zahlen.- 4. Die Rechenoperationen im erweiterten Zahlbereich.- 5. Verbot der Division durch Null.- 6. Widerspruchslosigkeit.- 7. Die Rechenoperationen dritter Stufe.- 8. Die Irrationalzahlen.- 9. Der Dedekindsche Schnitt.- 10. Komplexe Zahlen.- 11. Axiome der Arithmetik.- 12. Unabhängigkeit der Axiome.- 13. Zurückführung auf Axiome für die natürlichen Zahlen.- 14. Peanos Axiomensystem für natürliche Zahlen.- 15. Peanos Axiomensystem in Begriffsschrift.- 16. Die vollständige Induktion.- 17. Der Begriff der Menge.- 18. Begriff der Äquivalenz.- 19. Äquivalenzuntersuchungen.- 20. Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar.- 21. Kontinuumsuntersuchungen.- 22. Mengen, die weder abzählbar noch Kontinuum sind.- 23. Transfinite Zahlen.- 24. Paradoxien der Mengenlehre.- 25. Geordnete Mengen.- 26. Ähnlichkeit geordneter Mengen.- 27. Vom Rechnen mit Ordnungstypen.- Viertes Kapitel: Grundlegung der Analysis.- 1. Unendlich als Anzahlbezeichnung.- 2. Naive Benutzung von Grenzwerten.- 3. Unendliche Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Die Irrationalzahl.- 6. Unendliche Reihen.- 7. Die Veränderliche.- 8. Die Funktion.- 9. Grenzwerte von Funktionen.- 10. Stetigkeit.- 11. Differenzierbarkeit.- 12. Differentiale.- 13. Flächeninhalt und Integral.- 14. Rauminhalt, Cavalierisches Prinzip, Grenzübergang.- 15. Bestimmtes und unbestimmtes Integral.- 16. Fortschreitender Abstraktionsprozeß in der Mathematik.- 17. Begriffliche Vereinheitlichung in der Mathematik.- Fünftes Kapitel: Mathematik und Erkenntnislehre.- 1. Fragen an die Philosophie.- 2. Der Logismus.- 3. Der Empirismus.- 4. Der Formalismus.- 5. Mathematik und Forschung.- 6. Mathematik und Lehre.- 7. Der Kritizismus.- 8. Der Konventionalismus.- 9. Der Intuitionismus.- 10. Angewandte Mathematik.- 11. Mathematik und Erziehung.