Darstellungen von Gruppen: Mit Berücksichtigung der Bedürfnisse der modernen Physik

ISBN-13: 9783642860331 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 320 str.

Hermann Boerner

Opis

die Matrizen, die zu Transpositionen gehören, nicht nur (wie bei der natürlichen Darstellung) leicht berechnen, sondern unmittelbar hin­ schreiben kann. Und die orthogonale Darstellung ist es ja, die bei den Anwendungen fast immer gebraucht wird (IV § 5 und 6). In VIII § 5 ist die Freudenthalsche explizite Spindarstellung der Drehgruppe hinzugekommen, die ebenso wie der oben genannte Satz über die Darstellungsgrade bereits in die 1963 erschienene englische Ausgabe des Buches aufgenommen worden war. Mein Dank gilt wiederum dem Verlag und der Druckerei für das bereitwillige Eingehen auf alle meine Wünsche und ebenso den Herren Dr. A. KERBER und H. PAHLINGS, die mich bei der Redaktion dieser Auf­ lage mit Rat und Tat unterstützt haben. H. BoERNER Gießen, im August 1967 Vorwort zur ersten Auflage Die Darstellungstheorie der Gruppen ist eines der reizvollsten Bei­ spiele für die Wechselwirkung zwischen Physik und reiner Mathematik. Wenige lahre vor der lahrhundertwende führte der Algebraiker G. FROBENIUS die Gruppencharaktere und den Begriff der Darstellungen ein; ein Jahrzehnt lang enthielt nun fast jeder Band der Berliner Sitzungs­ berichte eine oder mehrere der schönen Arbeiten von FROBENIUS und 1. SCHUR über diesen Gegenstand. Unterdessen hatte mit dem neuen Jahrhundert in demselben Berlin die Quantentheorie das Licht der Welt erblickt - aber niemand ahnte, daß ein Vierteljahrhundert später beide Theorien in so innige Wechselwirkung treten würden. Das geschah in Göttingen, nachdem dort in enger räumlicher und geistiger Nachbar­ schaft zu dem Algebraikerkreis um EMMY NOETHER die Born-Heisenberg­ sehe Quantenmechanik entstanden war.

Spis treści

I. Kapitel Matrizen.- § 1. Vektoren.- §2. Lineare Abbildungen. Matrizen.- § 3. Algebren.- § 4. Quadratische und hermitesche Formen, orthogonale und unitäre Matrizen.- § 5. Eigenwerte und Transformation auf Diagonalgestalt.- § 6. Zwei weitere Verknüpfungen für Matrizen; das Kronecker-Produkt.- § 7. Äquivalenz und Reduzibilität von Matrixsystemen. Das Lemma von Schur.- § 8. Vertauschbarkeit von Matrixsystemen.- § 9. Beispiele irreduzibler Systeme. Eine Anwendung des Schurschen Lemmas.- II. Kapitel Gruppen.- § 1. Elementare Gruppentheorie.- § 2. Die symmetrische und die alternierende Gruppe.- § 3. Kontinuierliche Gruppen.- § 4. Die Matrix-Exponentialfunktion.- §5. Der Infinitesimalring einer linearen Gruppe.- § 6. Integration in Lieschen Gruppen.- III. Kapitel Allgemeine Darstellungstheorie.- § 1. Begriff der Darstellung. Die vollständige Reduzibilität der Darstellungen endlicher Gruppen. Eindeutigkeit der Zerlegung.- § 2. Der Gruppenring und die reguläre Darstellung.- § 3. Struktur des Gruppenrings. Vorbereitende Sätze.- § 4. Die Struktur des Gruppenrings und das System der Klassen irreduzibler Darstellungen.- § 5. Zur Darstellungstheorie der halbeinfachen Algebren.- § 6. Normale Darstellungen.- § 7. Die Charaktere.- § 8. a) Charaktere und Gruppenring.- b) Darstellungen und Charaktere eines direkten Produkts.- c) Algebraische Eigenschaften der Charaktere.- § 9. Die infinitesimalen Transformationen der Darstellungen kontinuierlicher Gruppen.- § 10. Die adjungierte Darstellung.- § 11. Die Charaktere der kontinuierlichen Gruppen.- § 12. Strahldarstellungen.- § 13. Gruppe und Untergruppe.- a) Induzierte Darstellungen.- b) Der Fall eines Normalteilers.- IV. Kapitel Die Darstellungen der symmetrischen Gruppe.- § 1. Die Tableaux.- § 2. Hilfssätze über die Tableaux.- § 3. Die irreduziblen Darstellungen.- § 4. Die Standard-Tableaux. Volle Reduktion des Gruppenrings.- § 5. Youngs seminormale Darstellung.- § 6. Youngs orthogonale Darstellung.- § 7. Beweis der Sätze 4.2 und 4.3.- V. Kapitel Die Darstellungen der vollen linearen, unimodularen und unitären Gruppen.- § 1. Vorbemerkungen.- § 2. Das Kronecker-Quadrat und die symmetrischen und schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe.- § 3. Der Raum der Tensoren v-ter Stufe und die Darstellungen der Gruppe Gn vom Polynomgrad v.- § 4. Die Symmetrieklassen im Tensorraum.- § 5. Die Tableaux und die ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe.- § 6. Der Verzweigungssatz.- § 7. Ganzrationale Darstellungen der reellen linearen, unimodularen und unitären Gruppen.- § 8. Rationale und semirationale Darstellungen.- § 9. Die unzerfällbaren Darstellungen der additiven Gruppe der reellen Zahlen.- § 10. Die stetigen Darstellungen der vollen und reellen linearen, der unimodularen und unitären Gruppen.- VI. Kapitel Charaktere der linearen und der Permutationsgruppen. Die alternierende Gruppe.- § 1. Die Charakteristiken und die Darstellungsgrade der ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe.- § 2. Zusammenhang zwischen den Charakteren der symmetrischen Gruppe und den Charakteristiken der vollen linearen Gruppe.- § 3. Zur Berechnung der Charaktere der symmetrischen Gruppe. Übersicht über die Darstellungen der alternierenden Gruppe.- § 4. Noch eine Formel zur Berechnung der Charaktere von Sv.- § 5. Analyse von Kronecker-Produkten bei der symmetrischen und bei der vollen linearen Gruppe.- § 6. Die Charaktere der alternierenden Gruppe.- VII. Kapitel Charaktere und eindeutige Darstellungen der Drehgruppe.- § 1. Zusammenhangsverhältnisse der Drehgruppe.- § 2. Das Toroid 𝔗p.- § 3. Das Stiefeische Diagramm.- § 4. Die Gruppe ?.- § 5. Die Fundamentalbereiche der Gruppe ?.- § 6. Die Eigenwerte der Darstellungen.- §7. Die Eigenwerte der adjungierten Darstellung.- § 8. Das Integral über eine Klassenfunktion.- § 9. Invariante und alternierende Polynome und Elementarsummen.- § 10. Das System der einfachen Charaktere.- § 11. Der Darstellungsgrad.- § 12. Der Verzweigungssatz.- § 13. Anwendung auf die niedersten Dimensionszahlen.- § 14. Die Fundamentaldarstellungen.- § 15. Die volle orthogonale Gruppe.- VIII. Kapitel Spindarstellungen, Infinitesimalring, gewöhnliche Drehgruppe.- § 1. Der Infinitesimalring der Drehgruppe.- § 2. Cliffords Algebra und ihr Zusammenhang mit den infinitesimalen Drehungen.- § 3. Darstellungstheorie der Cliffordschen Algebra.- § 4. Die Spindeldarstellungen des Infinitesimalrings der Drehgruppe.- § 5. Die Spindeldarstellungen der Drehgruppe.- a) Nach Brauer und Weyl.- b) Nach Freudenthal.- § 6. Die gewöhnliche Drehgruppe d3.- § 7. Die Formel von Clebsch-Gordan.- § 8. Struktur des Infinitesimalrings und Gewichte der Darstellungen.- § 9. Weitere Kronecker-Produkte. Algebra von Kemmer und de Broglie.- IX. Kapitel Die Lorentz-Gruppe.- § 1. Die vier Stücke der Lorentz-Gruppe.- § 2. Die Fundamentaldarstellungen der Lorentz-Gruppe 𝔏n,t.- § 3. Die gewöhnliche eigentliche Lorentz-Gruppe I41 und ihr Zusammenhang mit der unimodularen Gruppe g2.- § 4. Die Darstellungen der vollen Lorentz-Gruppe 𝔏4,1.- Namen- und Sachverzeichnis.