Chaos in Dissipativen Systemen

ISBN-13: 9783528063566 / Niemiecki / Miękka / 1989 / 189 str.

Bernd-Peter Koch; Bernd Pompe; Ronald W. Leven

Opis

Dynamische Systeme konnen durch mathematische Gleichungen modelliert werden, die eine eindeutige V orschrift zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung des Systemzustandes darstellen, so daB die Bewegung des Systems vollstandig durch den Anfangs zustand bestimmt ist. Trotz dieser Determiniertheit stellt sich bei der numerischen Berechnung der Losungskurven oder bei Beob achtungen in realen Experimenten haufig hera us, daB sich der Zustand des Systems in au Berst komplizierter und unregelmaBiger Weise mit der Zeit andert und daB eng benachbarte Startbedin gungen nach endlicher Zeit zu vollig unterschiedlichen Zustanden fiihren konnen. Man spricht dann von chaotischen Bewegungen bzw. nennt das betreffende System chaotisch. In den letzten 10 bis 15 Jahren sind betrachtliche Fortschritte im Verstandnis der Dynamik nichtlinearer deterministischer Systeme gemacht worden. Das Konzept des chaotischen (oder seltsamen) Attraktors, verbunden mit den Vorstellungen von fraktaler Dimension, Entropie und universellen Bifurkations sequenzen auf dem Wege zum Chaos, hat zu einem neuen Denken beziiglich dieser Systeme gefiihrt. Dabei ist u. a. auch klar gewor den, daB Chaos nicht einfach mit Unordnung oder Regellosigkeit gleichgesetzt werden kann. An die Stelle von Gleichformigkeit .oder Periodizitat treten andere Ordnungsbegriffe, die eng mit Selbstahnlichkeit, Skaleninvarianz und Universalitat verbunden sind. Einen wesentlichen Beitrag zu diesem neuen Verstandnis hat die moderne Rechentechnik geleistet. Da Chaos untrennbar mit Nichtlinearitat verbunden ist, deren mathematische Behandlung sich in den meisten Fallen als auBerordentlich schwierig erweist, konnten viele interessante Fragestellungen und teilweise sehr all gemeine GesetzmaBigkeiten chaotischer Bewegungen erst auf der Basis ausgedehnter numerischer Berechnungen formuliert bzw.

Spis treści

1. Einführung.- 1.1. Die logistische Abbildung.- 1.2. Das parametrisch erregte Pendel.- 1.3. Das Rayleigh-Bénard-Experiment.- 2. Grundbegriffe.- 2.1. Dynamisches System, Phasenraum, Phasenfluß.- 2.2. Dissipation und Attraktoren.- 2.3. Maße auf Attraktoren.- 3. Quantitative Charakterisierung chaotischer Bewegungen.- 3.1. Ljapunov-Exponenten.- Ljapunov-Exponent eindimensionaler zeitdiskreter Systeme.- Spektrum der Ljapunov-Exponenten.- Spektraltypen von Attraktoren.- Zur experimentellen Bestimmung der Ljapunov-Exponenten.- Bestimmung der Ljapunov-Exponenten im Computer-Experiment.- Ljapunov-Exponenten aus experimenteller Zeitreihe.- 3.2. Fraktale Dimensionen.- Kapazität und Hausdorff-Dimension.- Zur experimentellen Bestimmung der Kapazität.- Dimensionen des natürlichen Maßes.- Rényi-Dimensionen.- Experimentelle Bestimmung der Rényi-Dimensionen.- Ljapunov-Dimension.- 3.3. Entropien.- Transinformation.- Kolmogorov-Sinaj-Entropie.- Beziehungen zwischen Entropie, Ljapunov-Exponenten und Dimensionen.- Verallgemeinerte Entropien.- 4. Universalität auf dem Wege zum Chaos.- 4.1. Über Periodenverdopplungen zum Chaos.- Einige numerische Resultate.- Selbstähnlichkeit und Renormierung.- Bestimmung der Feigenbaum-Konstanten.- Periodenverdopplungen und Universalität in höherdimensionalen Systemen.- 4.2. Übergang von Quasiperiodizität zum Chaos.- Periodisch angestoßener Rotator und Standardabbildung.- Die Kreisabbildung.- Periodische und quasiperiodische Lösungen.- Irrationale Windungszahlen.- Der Übergang Quasiperiodizität ? Chaos aus experimenteller Sicht.- 5. Übergangsphänomene im chaotischen Regime.- 5.1. Die logistische Gleichung für r > r?.- Verschmelzen chaotischer Bänder.- Periodische Fenster.- 5.2. Intermittenz.- Länge der laminaren Abschnitte.- Selbstähnlichkeitsbeziehungen.- 5.3. Krisen.- Krisen bei der logistischen Abbildung.- Attraktorentwicklung bei der dissipativen Standardabbildung.- Transientes Chaos.- ?1 im Krisenbereich.- 5.4. Fraktale Einzugsgebietsgrenzen.- 6. Chaos und homokline Orbits.- 6.1. Smalesches Hufeisen und Smale-Birkhoff-Theorem.- 6.2. Die Melnikov-Methode.- 6.3. Homokline Orbits von Fixpunkten im ?3.- 7. Schlußbemerkungen.- Quellenverzeichnis.