Bernhard Riemann 1826-1866: Wendepunkte in Der Auffassung Der Mathematik

ISBN-13: 9783034898546 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 348 str.

Detlef Laugwitz

Opis

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schuler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Satzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist fur Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die beruhmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um funf Jahre jungerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schuler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Ubergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstande der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen." "

Spis treści

0 Einleitung.- 0.1 Bernhard Riemann in seiner Zeit.- 0.1.1 Zum Verlauf des Lebens und zur Entwicklung der Persönlichkeit.- 0.1.2 Zur politischen und wirtschaftlichen Situation.- 0.1.3 Erziehung und Bildung.- 0.1.4 Zu Riemanns Heimat.- 0.1.5 Göttingen und Berlin als Studienorte.- 0.1.6 Professor ordinarius 1859–1866.- 0.2 Die Goldenen Fünfziger Jahre in Göttingen: von Gauss und Dirichlet zu Riemann und Dedekind.- 0.2.1 Riemann und Dedekind: Persönliche Umstände.- 0.2.2 Hin zum Wandel in der Mathematik.- 0.2.3 Momentaufnahmen eines englischen Beobachters.- 0.3 Wirkungen in den letzten Jahren: Riemann zwischen Deutschland und Italien.- 0.4 Konkurrierende Auffassungen der Analyis vor Riemann.- 0.4.1 Riemann in der historischen Entwicklung der Analysis: Ein Überblick.- 0.4.2 Algebraische Analysis.- 0.4.3 Die Infinitesimalanalysis.- 0.4.4 Geometrische Überlegungen: Fourier.- 0.4.5 Die Grenzwertauffassung: Newton.- 0.4.6 Hin zur Epsilontik: Cauchy und Dirichlet.- 1 Komplexe Analysis.- 1.1 Die Genese der komplexen Analysis bis zur Zeit Riemanns.- 1.1.1 Vorbemerkungen.- 1.1.2 Die komplexen Zahlen.- 1.1.3 Komplexe Funktionen und ihre Ableitungen.- 1.1.4 Integration.- 1.1.5 Potenzreihen.- 1.1.6 Weitere Anwendungen.- 1.1.7 Mehrwertige Funktionen und Riemannsche Flächen.- 1.1.8 Doppeltperiodische Funktionen.- 1.2 Die Dissertation von 1851.- 1.2.1 RiemannS Sicht von den Motiven für die Arbeit: Der Artikel 20 der Dissertation, Teil 1.- 1.2.2 Der Inhalt der Dissertation, eine Kurzfassung.- 1.2.3 Riemanns Zusammenfassung der Dissertation und das Programm: Artikel 20, zweiter Teil und Artikel 22.- 1.2.4 Zur Vorgeschichte der Dissertation.- 1.2.5 Die Wirkung der Dissertation.- 1.3 Die Ausgestaltungen.- 1.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1.3.2 Die Entstehung der Topologie aus der Analysis.- 1.3.3 Das Abelsche Theorem.- 1.3.4 Die algebraischen Kurven.- 1.3.5 Minimalflächen.- 1.3.6 Studenten bei Riemann und ihre Notizen zur Funktionentheorie.- 1.3.7 Spätere Einschätzungen.- 1.3.8 Dedekind und die Algebraisierung der Funktionentheorie.- 1.4 Die Zetafunktion und die Primzahlverteilung.- 1.4.1 Vorbemerkungen.- 1.4.2 Ein Zugang.- 1.4.3 Die Funktionalgleichung.- 1.4.4 Riemanns explizite Formel für die Primzahlfunktion.- 1.4.5 Die Nullstellen und die Riemannsche Vermutung.- 1.4.6 Der Nachlass.- 1.4.7 Die Einschätzungen.- 2 Reelle Analysis.- 2.1 Grundlagen der reellen Analysis.- 2.1.1 Der Integralbegriff.- 2.1.2 Die «Strenge» in der Analysis.- 2.1.3 Der neue Status der Einzelfälle: Beispiele und Gegenbeispiele.- 2.2 Trigonometrische Reihen vor Riemann.- 2.2.1 Vorbemerkungen.- 2.2.2 Von Euler bis Fourier.- 2.2.3 Zur Entwicklung der Funktionsauffassungen.- 2.2.4 Von Fourier zu Dirichlet.- 2.3 Riemanns Ergebnisse.- 2.3.1 Anwendung des Integralbegriffs auf die Fourier-Koeffizienten.- 2.3.2 Riemanns assoziierte Funktion F(x).- 2.4 Trigonometrische Reihen nach Riemann.- 2.4.1 Von den trigonometrischen Reihen zur Mengenlehre.- 2.4.2 Zur weiteren Entwicklung der trigonometrischen Reihen: über die Arithmetisierung der Funktionen hin zu ihrer Verselbständigung in der Funktionalanalysis.- 2.5 Ein Kapitel für sich: Gauss, Riemann und die Göttinger Atmosphäre.- 3 Geometrie, Physik, Philosophie.- 3.1 Geometrie.- 3.1.1 Von Euklid zu Descartes und zur «nichteuklidischen» Geometrie.- 3.1.2 Die Flächentheorie von Gauss (1827).- 3.1.3 Die n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit.- 3.1.4 Die Massbestimmungen.- 3.1.5 Die Krümmung.- 3.1.6 Wirkungen in Geometrie und Physik in den ersten 50 Jahren nach Riemann.- 3.1.7 Die algorithmischen Entwicklungen.- 3.1.8 Der Einfluss von FelixKlein.- 3.1.9 Dedekind: Analytische Untersuchungen zu BernhardRiemanns Abhandlung über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.- 3.2 Physik.- 3.2.1 Das Interesse an der Physik.- 3.2.2 Physik als Feldtheorie.- 3.2.3 Mathematische Methoden für die Physik.- 3.2.4 Riemanns Elektrodynamik aus der Sicht der Physiker.- 3.2.5 Die Riemannsche Geometrie in der Physik des 20. Jahrhunderts: Einstein und Weyl.- 3.3 Zur Philosophie.- 3.3.1 Vorbemerkungen.- 3.3.2 Zur geistigen Atmosphäre 1853/54: Der Materialismusstreit.- 3.3.3 Neue mathematische Prinzipien der Naturphilosophie.- 3.3.4 Die Rolle der Philosophie Herbarts.- 4 Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik.- 4.1 Die Suche der Historiker nach Revolutionen in der Mathematik.- 4.2 Der Wendepunkt in der Auffassung des Unendlichen in der Mathematik.- 4.3 Wendepunkt der Methode: Denken statt Rechnen.- 4.4 Der Wendepunkt in der Ontologie: Mathematik als Denken in Begriffen.- 4.4.1 Allgemeine Begriffe und ihre Bestimmungsweisen.- 4.4.2 Der Primat des Kontinuums gegenüber dem Diskretum in Riemanns Mathematik.- 4.4.3 Riemanns Mannigfaltigkeitsbegriff in der philosophischen Tradition.- 4.4.4 Denken in mathematischen Begriffen vor Riemann.- 4.5 Ontologie und Methodologie der Mathematik in der Zeit nach Riemann.- 4.5.1 Der Primat der Zahl bei Dedekind.- 4.5.2 Von der Arithmetisierung zur Axiomatisierung: Hilbert 1897/1899.- 4.5.3 Die Rolle GeorgCantors.- 4.5.4 Die Berliner Tradition.- 4.6 Schlussbemerkungen.- Namenverzeichnis.- Abbildungsverzeichnis.