Aufbau Der Geometrie Aus Dem Spiegelungsbegriff

ISBN-13: 9783642655388 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 376 str.

Friedrich Bachmann

Opis

torischen Gruppenelemente sind und in den en wir geometrische Bezie hungen wie Inzidenz undOrthogonalitat durch gruppentheoretische Rela tionen erklaren. Die rein gruppentheoretisch formulierten Axiome, die wir wahlen, stellen einfache geometrische Aussagen flir die Punkte und Geraden der metrischen Ebenen dar. Dementsprechend kann man beim Beweisen aus den Axiomen die Vorteile des gruppentheoretischen Kalktils ausnutzen, ohne den Leitfaden der Anschauung aus der Hand zu geben. Bemerkenswert ist, wie wenige Axiome notig sind. Die metrischen Ebenen, die mit den axiomatisch gegebenen Gruppen definiert sind, sind daher von recht allgemeiner Natur. Eine metrische Ebene braucht nicht anordenbar (erst recht nicht stetig) zu sein. In einer metrischen Ebene braucht nicht freie Beweglichkeit zu bestehen. Es gibt auch metrische Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden. Der Begriff der metrischen Ebene enthalt keine Entscheidung tiber die Parallelenfrage, d.h. tiber die Frage nach dem Schneiden oder Nicht schneiden der Geraden. Die ebene metrische Geometrie, die wir ent wickeln, enthalt ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geo metrie als Spezialfalle, und wird daher, mit einem Ausdruck von J. BOLYAI, auch ebene absolute Geometrie genannt."

Spis treści

I. Einführung.- § 1. Spiegelungen in der euklidischen Ebene.- 1. Involutorische Bewegungen S. 2..- 2. Darstellung der Bewegungen durch Spiegelungsprodukte S. 3..- 3. Das Bewegen von Bewegungen (Transformieren) S. 9..- 4. Formulierung geometrischer Beziehungen in der Bewegungsgruppe S. 11..- 5. Beweis einiger Sätze durch Rechnen mit Spiegelungen S. 13..- §2. Der Begriff der metrischen Ebene.- 1. Modelle der stetigen elliptischen Ebene S. 19..- 2. Das Kleinsche Modell der stetigen hyperbolischen Ebene S. 22..- 3. Metrische Ebenen S. 24..- 4. Formulierung der ebenen metrischen Geometrie in der Bewegungsgruppe S. 26..- 5. Beweise S. 29..- II. Metrische (absolute) Geometrie.- § 3. Das Axiomensystem der metrischen (absoluten) Geometrie.- 1. Involutorische Elemente einer Gruppe. Grundrelationen S. 32..- 2. Axiomensystem S. 33..- 3. Gruppenebene. Bewegungen der Gruppenebene S. 34..- 4. Erste Folgerungen aus dem Axiomensystem S. 37..- 5. Das Im-Büschel-Liegen S. 40..- 6. Lotensatz S. 42..- 7. Darstellung einer Bewegung S. 44..- 8. Gerade und ungerade Bewegungen. Axiom vom Polardreiseit S. 46..- 9. Punkt-Geraden-Analogie S. 48..- 10. Fixgeraden und Fixpunkte einer Bewegung S. 51..- 11. Existenz von Punkten und Geraden S. 55..- § 4. Sätze der metrischen Geometrie.- 1. Mittelsenkrechtensatz S. 56..- 2. Höhensatz S. 57..- 3. Fußpunktsatz S. 59..- 4. Transitivitätssatz S. 62..- 5. Geradenbüschel S. 64..- 6. Winkelhalbierendensatz S. 67..- 7. Lemma von den neun Geraden S. 67..- 8. Gegenpaarung S. 68..- 9. Satz von Pappus-Brianchon S. 71..- 10. Seitenhalbierendensatz S. 74..- § 5. Projektive und projektiv-metrische Ebenen.- 1. Projektive Ebenen S. 76..- 2. Projektive Geometrie der eindimensionalen Grundgebilde S. 82..- 3. Ebene projektive Kollineationen S. 85..- 4. Korrelationen, Polaritäten S. 88..- 5. Projektiv-metrische Ebenen S. 89..- 6. Die Rechtwinkelinvolution S. 91..- § 6. Begründung der metrischen Geometrie.- 1. Halbdrehungen der Geraden S. 94..- 2. Die durch Halbdrehungen bewirkten Büschelabbildungen S. 97..- 3. Zur Definition der Halbdrehung S. 99..- 4. Erweiterung der Gruppenebene zur Idealebene S. 101..- 5. Die Idealebene einer Bewegungsgruppe S. 103..- 6. Die von den Halbdrehungen um einen Idealpunkt erzeugte Gruppe S. 107..- 7. Die Axiome der euklidischen und der nichteuklidischen Metrik S. 109..- 8. Metrisch-euklidische Ebenen S. 110..- 9. Die absolute Polar-Involution in der Idealebene einer metrisch-euklidischen Bewegungsgruppe S. 114..- 10. Die absolute Polarität in der Idealebene einer metrisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppe S. 115..- 11. Haupt - Theorem S. 120..- 12. Euklidische und elliptische Bewegungsgruppen S. 121..- Note über freie Beweglichkeit.- § 7. Über das Transitivitätsgesetz für beliebige involutorische Elemente.- 1. Gesetze über beliebige involutorische Elemente, welche in den metrisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppen gelten S. 127..- 2. Über die axiomatische Kennzeichnung der elliptischen Bewegungsgruppen S. 130..- 3. Büschel von involutorischen Elementen S. 132..- 4. Zwei-spiegelige Gruppen, in denen das Transitivitätsgesetz gilt S. 133..- 5. Die Thomsen -Relation S. 135..- Note über die Algebraisierung der affinen und projektiven Ebenen.- III. Projektiv-metrische Geometrie.- § 8. Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.- 1. Projektive und projektiv-metrische Koordinatenebenen S. 141..- 2. Vektorräume S. 144..- 3. Metrische Vektorräume und orthogonale Gruppen S. 146..- 4. Projektiv-metrische Ebenen und metrische Vektorräume S. 151..- 5. Über den Satz von den drei Spiegelungen S. 154..- § 9. Orthogonale Gruppen.- 1. Überblick S. 157..- 2. Ein Lemma S. 159..- 3. Die Gruppen O3+ (K, F) mit binärer nullteiliger Form S. 160..- 4. Die Gruppen O3+ (K, F) mit binärer nullteiliger Form als euklidische Bewegungsgruppen S. 163..- 5. Die Gruppen O3+ (K,F)mit ternärer nullteiliger Form S. 164..- 6. Die Gruppen O3+ (K,F)mit ternärer nullteiliger Form als elliptische Bewegungsgruppen S. 165..- 7. Die Gruppen O3+ (K,F) mit beliebiger ternärer Form S. 166..- 8. Gesetze über die involutorischen Elemente der Gruppe O3+ (K, F) mit ternärer, nicht nullteiliger Form S. 168..- §10. Darstellung metrischer Vektorräume und ihrer orthogonalen Gruppen mit Hilfe hyperkomplexer Systeme.- 1. Normierte ternäre Formen S. 170..- 2. Quaternionen S. 174..- 3. Die Norm einer eigentlich-orthogonalen Transformation S. 178..- 4. Zweireihige Matrizen über K. Die lineare Gruppe L2(K) S. 180..- 5. Konstruktion metrisch-nichteuklidischer Bewegungsgruppen S. 183..- §11. Die Bewegungsgruppen der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebenen als abstrakte, aus ihren involutorischen Elementen erzeugte Gruppen (H-Gruppen).- 1. Das Axiomensystem der H-Gruppen S. 187..- 2. Büschel von involutorischen Elementen. Folgerungen aus der Grundannahme und Axiom T S. 188..- 3. Enden. Folgerungen aus den Axiomen ~V, UV1, UV2 S. 189..- 4. Endenrechnung S. 191..- 5. Darstellung durch gebrochen-lineare Transformationen S. 195..- 6. Zusammenfassung S. 198..- 7. Eine spezielle Klasse von involutorischen Elementen der H-Gruppen S. 198..- IV. Euklidische Geometrie.- §12. Der Satz von Paapus -Pascal in der euklidischen Geometrie.- 1. Axiome und erste Folgerungen S. 201..- 2. Hilfssätze über parallele Geraden S. 202..- 3. Sechs Beweise des Satzes von Pappus-Pascal S. 205..- §13. Algebraische Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen.- 1. Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen als Bewegungsgruppen euklidischer Koordinatenebenen S. 210..- 2. Spezielle euklidische Bewegungsgruppen S. 215..- V. Hyperbolische Geometrie.- §14. Hyperbolische Bewegungsgruppen.- 1. Die Axiome der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 219..- 2. Enden S. 221..- 3. Das Bergausche Lemma vom Ende S. 222..- 4. Verbindbarkeit der Enden S. 224..- 5. Hyperbolische Bewegungsgruppen und H-Gruppen S. 226..- 6. Forderungen, die mit dem hyperbolischen Axiom H äquivalent sind S. 229..- §15. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen durch binäre lineare Gruppen.- 1. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 231..- 2. Hyperbolische Bewegungsgruppen, in denen jede Gerade Enden angehört S. 236..- VI. Elliptische Geometrie.- §16. Begründung der elliptischen Geometrie.- 1. Elliptische Bewegungsgruppen und ihre Gruppenebenen S. 239..- 2. Der Satz von Paapus -Pascal S. 241..- 3. Darstellung einer elliptischen Bewegungsgruppe als Bewegungsgruppe einer projektiv-metrischen Ebene S. 243..- §17. Der Gruppenraum einer elliptischen Bewegungsgruppe.- 1. Büschel und Drehgruppen S. 244..- 2. Räumliche projektive Inzidenzaxiome S. 245..- 3. Der Gruppenraum S. 246..- 4. Rechtsund Linksparallelismus. Cliffordsche Flächen S. 250..- 5. Beweis des Satzes von Paapus -Pascal aus räumlichen Tatsachen S. 252..- 6. Die Quadrate in einer elliptischen Bewegungsgruppe. Das Beweglichkeitsaxiom S. 256..- 7. Bewegungen des Gruppenraumes S. 259..- 8. Erzeugbarkeit von Clifford-Flächen durch Rotation S. 262..- 9. Halbdrehungen in der Gruppenebene und Schiebungen im Gruppenraum S. 265..- 10. Deutung des Gruppenraumes in der Gruppenebene S. 268..- 11. Ein Satz von Baer S. 271..- §18. Über die metrischen Bewegungsgruppen.- 1. Über verschiedene Erzeugendensysteme derselben Gruppe S. 275..- 2. Die projektiv-metrischen Bewegungsgruppen S. 277..- 3. Die vollständigen metrischen Bewegungsgruppen S. 277..- 4. Metrische Unter-Bewegungsgruppen S. 278..- 5. Zugehörige metrische Unter-Bewegungsgruppen S. 279..- 6. Beispiele S. 280..- §19. Metrisch-euklidische Ebenen.- 1. Geometrische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen S. 286..- 2. Algebraische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen S. 288..- 3. Metrisch-euklidische Teilebenen mit freier Beweglichkeit S. 293..- 4. Metrisch-euklidische Unter-Bewegungsgruppen S. 295..- Literatur.- Zusammenstellung besonderer Zeichen.- Axiomentafel.- Anmerkungen.- 1. Axiomensystem der metrischen Ebenen S. 305..- 2. Höhensatz S. 305..- 3. Gegenpaarungssatz S. 306..- 4. Rechtseitsatz S. 306..- 5. Zur Definition der Idealgeraden und der absoluten Polarität in der Idealebene S. 307..- 7. Elliptische Geometrie S. 310..- 8. Zum Begriff,,total ganzzahlig-einschließbar” S. 310..- Supplement.- § 20. Ergänzungen und Hinweise auf die Literatur.- 1. Involutorisch erzeugte Gruppen S. 313..- 2. Geometrie involutorischer Gruppenelemente S. 314..- 3. Axiomensystem der ebenen absoluten Geometrie S. 318..- 4. Kleine Axiome, Axiomensystem des Senkrechtstehens, Hjelmslev-Gruppen S. 318..- 5. Nicht-elliptische Hjelmslev-Gruppen S. 323..- 6. Minkowskische Gruppen S. 328..- 8. Orthogonale und projektiv-orthogonale Gruppen S. 333..- 10. Eigentlichkeitsbereiche und vollständige Spiegelungsgruppen metrischer Vektorräume S. 338..- 11. Gruppentheoretische Kennzeichnung orthogonaler Gruppen S. 340..- 12. Kinematische Räume S. 342..- 13. Hilbert-Ebenen S. 345..- 14. Modelle der absoluten Geometrie S. 349..- 15. Der Satz von der dritten Quasispiegelung S. 354..- Neuere Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.