Angewandte Tensorrechnung: Für Ingenieure, Physiker Und Mathematiker

ISBN-13: 9783642802935 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 278 str.

Horst Lippmann

Opis

Dieses Lehrbuch ist als Einfuhrung zu verstehen, und zwar fur Ingenieure, Physiker oder angewandte Mathematiker. Es beruht auf einer Vorlesung fur Studenten hoherer Semester und setzt Vorkenntnisse entsprechend den ublichen Lehrveranstaltungen in Mathematik und Mechanik voraus. Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Den einzelnen Kapiteln sind Ubungsaufgaben angefugt, die teilweise aufeinander aufbauen. Ihre Losungen werden gesondert zusammengefasst."

Spis treści

1. Einleitung.- 1.1 Raum, Zeit, Invarianz.- 1.2 Indizierte Größen.- 1.3 Summationskonvention.- 1.4 Indiziertes Summenzeichen, Kroneckersymbol.- 2. Skalare und Vektoren im euklidischen Raum.- 2.1 Linearer und metrischer Vektorraum, Skalarprodukt.- 2.2 Raumdimension, Basis, Koordinaten.- 2.3 Affine Basistransformation, Orientierung, Volumen.- 2.4 Metrische Grundgrößen.- 2.5 Permutationssymbole.- 2.6 Übungen.- 3. Tensoren.- 3.1 Definition und Beispiele.- 3.2 Tensorkoordinaten; Transformations- und Ziehregel.- 3.3 Rechenregeln und Ergänzungen.- 3.3.1 Horizontale Isomeren.- 3.3.2 Direktes Produkt.- 3.3.3 Summen und Differenzen.- 3.3.4 Verjüngung und Überschiebung, lineare Tensorabbildung.- 3.3.5 Vektorprodukt und Spatprodukt.- 3.3.6 Affine Punktkoordinaten, Ortsableitungen.- 3.3.7 Zeitableitungen.- 3.3.8 Physikalische Maßeinheiten.- 3.4 Übungen.- 4. Dyaden (Tensoren 2. Stufe).- 4.1 Beispiele.- 4.1.1 Nulldyade, Einsdyade, Permutationsdyade.- 4.1.2 Einige Stoffdyaden.- 4.1.3 Trägheitsdyade.- 4.1.4 Stoffunabhängige Dyaden der Kontinuumsmechanik.- 4.1.4.1 Einführung.- 4.1.4.2 Geschwindigkeitsgradient, Gauss-Greenscher Integralsatz.- 4.1.4.3 Punktverschiebung und Verschiebungsgradient.- 4.1.4.4 Cauchysche Spannungsdyade und technische Spannungen.- 4.2 Allgemeine Eigenschaften.- 4.2.1 Symmetrische Dyaden.- 4.2.1.1 Dyadenquadrik.- 4.2.1.2 Hauptachsen.- 4.2.1.3 Mohrscher Kreis.- 4.2.1.4 Skalarinvarianten.- 4.2.1.5 Tensorfunktionen.- 4.2.2 Antimetrische Dyaden.- 4.2.3 Unitäre Dyaden.- 4.2.4 Reguläre, singuläre, inverse, definite und semidefinite Dyaden.- 4.2.5 Dyadenzerlegungen.- 4.3 Anwendungen auf die Kontinuumsmechanik.- 4.3.1 Spannungen, Dreh- und Formänderungsgeschwindigkeiten.- 4.3.2 Formänderungsleistung, Formänderungsarbeit, Gleichgewicht.- 4.3.3 Formänderungen.- 4.4 Übungen.- 5. Krummlinige Koordinaten.- 5.1 Mannigfaltigkeiten.- 5.1.1 Parametermannigfaltigkeit.- 5.1.2 Grundmannigfaltigkeit (Körper, Fläche, Kurve) und Tangentialraum.- 5.1.3 Metrik.- 5.1.4 Ergänzungen.- 5.2 Beispiele.- 5.2.1 Affine Koordinaten.- 5.2.2 Polarkoordinaten und Kreiszylinder.- 5.2.3 Kugelkoordinaten und Kugeln.- 5.2.4 Tordierte (mitgeschleppte) Koordinaten, tordierter Kreiszylinder.- 5.2.5 Schalenkoordinaten, Schalen.- 5.3 Stokesscher Integralsatz und Anwendungen; Einbettbarkeit.- 5.4 Übungen.- 6. Christoffelsymbole.- 6.1 Abrollen und Abwickeln.- 6.2 Beispiele.- 6.2.1 Affine Koordinaten.- 6.2.2 Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten.- 6.2.3 Tordierter, elastisch-plastischer Kreiszylinder unter Eigenspannungen; Inkompatibilität.- 6.3 Weitere Betrachtungen.- 6.3.1 Christoffelsymbole 1. und 2. Art.- 6.3.2 Transformationsregeln; Cartanscher Tensor, Versetzungsdichte und Burgersvektor.- 6.3.3 Zusammenhang mit dem metrischen Grundtensor.- 6.4 Übungen.- 7. Tensorableitungen.- 7.1 Kovariante Ortsableitung, affiner Zusammenhang.- 7.2 Krümmungsmaße.- 7.2.1 Äußere Krümmungen.- 7.2.2 Innere Krümmungen.- 7.3 Zeitableitungen.- 7.3.1 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer starren Mannigfaltigkeit.- 7.3.2 Partielle und totale Zeitableitungen in starren Mannigfaltigkeiten.- 7.3.3 Anfangs- und Momentankonfiguration einer zeitlich veränderlichen Mannigfaltigkeit.- 7.3.4 Punktgeschwindigkeit und Punktbeschleunigung in einer zeitlich veränderlichen Mannigfaltigkeit.- 7.3.5 Zeitableitungen von Tensoren in veränderlichen Mannigfaltigkeiten.- 7.4 Übungen.- 8. Weitere Anwendungen.- 8.1 Vorbemerkungen.- 8.1.1 Allgemeines.- 8.1.2 Differentialoperatoren.- 8.1.3 Über die Formulierung von Gleichungen für veränderliche Kontinua.- 8.2 Ruhende Kontinua; bewegte Kontinua in Eulerscher Betrachtungsweise.- 8.2.1 Elektromagnetische Felder in ruhenden Körpern.- 8.2.2 Temperatur, Wärme, Entropie.- 8.2.3 Mechanisches Spannungsgleichgewicht, Formänderungs-geschwindigkeiten und Kompatibilitätsbedingungen.- 8.2.4 Flüssigkeiten und Gase.- 8.2.5 Starrplastisches Material.- 8.3 Kontinua in der aktuellen (updated) Lagrangeschen Betrachtungsweise.- 8.3.1 Elektromagnetische Felder in veränderlichen Körpern..- 8.3.2 Formänderungen, Formänderungs- und Spannungsgeschwindigkeiten.- 8.3.3 Elastisches und reversibles Materialverhalten.- 8.3.4 Elastisch-plastisches Materialverhalten.- 8.4 Kontinua in der bezogenen (total) Lagrangeschen Betrachtungsweise.- 8.4.1 Übertragungshypothesen.- 8.4.2 Parallelverschiebungshypothese und Piolaspannungen.- 8.4.3 Mitschlepphypothese und Kirchhoffspannungen.- 8.4.4 Gegenschlepphypothese.- 8.4.5 Abschließende Bemerkungen.- 8.5 Übungen.- 9. Lösungen der Übungsaufgaben.- Literatur.