Anfangswertprobleme Bei Partiellen Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783540022763 / Niemiecki / Miękka / 1958 / 284 str.

Robert Sauer

Opis

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB man noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der Art dieser zusatzlichen Daten spricht man in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = 0 stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = 0 gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn man die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

Spis treści

Erstes Kapitel Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen.- § 1. Dirichletsches Randwertproblem der Potentialgleichung.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung.- 3. Konstruktion der Lösung mittels der Greenschen Funktion.- 4. Festlegung der Lösung durch die Randwerte.- § 2. Anfangswertproblem der Wellengleichung.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche; Charakteristiken.- 3. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung; Ausbreitung von Unstetigkeiten.- 4. Charakteristisches Anfangswertproblem.- 5. Beispiel: Akustische Wellen in zylindrischem Rohr.- § 3. Hyperbolische, elliptische und parabolische Differentialgleichungen.- 1. Typeneinteilung der linearen Differentialausdrücke zweiter Ordnung.- 2. Normalformen der Differentialausdrücke L[f].- 3. Differentialgleichungen vom gemischten Typus.- §4. Analytische Lösungen analytischer Differentialgleichungen.- 1. Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski.- 2. Zurückführung des Existenzsatzes auf einen Konvergenzsatz.- 3. Bildungsgesetz der Koeffizienten cik.- 4. Konvergenzbeweis.- § 5. Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- 1. Formulierung analoger Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- 2. Lösung der Randwertaufgabe.- 3. Lösung der Anfangswertaufgabe.- 4. Grenzübergang von Differenzen- zu Differentialgleichungen.- 5. Anfangswertaufgabe bei allgemeineren Differenzengleichungen.- 6. Konvergenzbeweis.- § 6. Hyperbolische Differentialgleichungen in der Gasdynamik und Akustik.- 1. Grundgleichungen der Strömung kompressibler Medien.- 2. Spezialisierung für stationäre Strömungen.- 3. Spezialisierung für eindimensionale, zylindrische und kugelsymmetrische nichtstationäre Strömungen.- 4. Linearisierung der Differentialgleichungen.- Zweites Kapitel Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 7. Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Mongesches Richtungsfeld und Charakteristiken.- 2. Äquivalenzsatz.- 3. Anfangswertproblem.- 4. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich.- 5. Erläuterungen der Alternative an Differenzengleichungen.- 6. Spezialfall: Lineare Gleichung.- § 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Mongesches Richtungsfeld.- 2. Charakteristiken und charakteristische Streifen.- 3. Äquivalenzsatz.- 4. Anfangswertproblem.- 5. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich.- § 9. Vollständige und singuläre Integrale.- 1. Vollständige Integrale.- 2. Singuläre Integrale.- 3. Beispiele.- § 10. Berührungstransformationen.- 1. Elementvereine.- 2. Definition der Berührungstransformationen.- 3. Legendre-Transformation.- 4. Berührungstransformation von Differentialgleichungen.- § 11. Quasilineare Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristiken und Äquivalenzsatz.- 2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 3. Anfangswertproblem.- § 12. Allgemeine Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Streifen und Äquivalenzsatz.- 2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 3. Anfangswertproblem.- 4. Quadratische Differentialgleichungen erster Ordnung.- 5. Einführung einer Riemannschen Metrik im Rn.- § 13. Vollständige Integrale; Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.- 1. Vollständige Integrale.- 2. Anwendung auf die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung der Mechanik.- Drittes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 14. Charakteristiken eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Zweigliedrige Systeme.- 2. Deutung der Differentialgleichungen (14.1) längs einer vorgegebenen Kurve k.- 3. Erläuterung an Differenzengleichungen.- 4. Charakteristiken eines hyperbolischen Systems.- 5. n-gliedrige Systeme.- § 15. Anfangswertproblem zweigliedriger Systeme (14.1).- 1. Formulierung des Anfangswertproblems.- 2. Zurückführung auf ein charakteristisches System.- 3. Äquivalenzsatz.- 4. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche.- § 16. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) mittels Differenzenverfahren.- 1. Präzisierung der Aufgabe.- 2. Existenzbeweis.- 3. Schranken der Gitterfunktionen und ihrer Differenzenquotienten.- 4. Eindeutigkeitsbeweis.- 5. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche.- § 17. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) durch Iteration.- 1. Zurückführung des charakteristischen Systems auf ein System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Iterationsverfahren für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 3. Iterationsverfahren für das n-gliedrige System zweiter Ordnung (17.1).- § 18. Massausche Gitterkonstruktion.- 1. Beschreibung der Gitterkonstruktion.- 2. Verfeinerung der Gitterkonstruktion.- 3. Spezialfälle (vgl. § 14, Ziff. 1).- § 19. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung.- 2. Anfangswertproblem.- 3. Homogene Differentialgleichung.- 4. Legendre-Transformation.- 5. Anwendung der Massauschen Gitterkonstruktion.- § 20. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit geradlinigen Charakteristiken.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Geradliniges Charakteristikennetz in der x, y-Ebene.- 3. Geradliniges Charakteristikennetz in der u, v-Ebene.- 4. Übertragung auf elliptische Differentialgleichungen.- 5. Normalform der Differentialgleichung (20.1) mit geradlinigem Charakteristikennetz in der x, y-Ebene.- 6. Transformationssatz für lineare homogene Differentialgleichungen (20.1).- §21. Anwendungen auf die Flächentheorie.- 1. Infinitesimale Flächenverbiegung.- 2. Bestimmtheits- und Einflußbereiche bei der Flächenverbiegung.- 3. Infinitesimale Verbiegung zueinander projektiver Flächen.- 4. Infinitesimale Verbiegungen der Flächen zweiter Ordnung und der Flächen, bei denen der Grundriß der Asymptotenlinien ein Rükkungsnetz bildet.- 5. Minimalflächen.- § 22. Anwendungen auf die stationäre Gasströmung.- 1. Zweidimensionale Überschallströmung.- 2. Spezielle Adiabatengleichungen.- 3. Drehsymmetrische dreidimensionale Überschallströmung.- 4. Nichtisentropische Überschallströmung.- §23. Anwendungen auf die nichtstationäre Gasströmung.- 1. Eindimensionale Strömung.- 2. Spezielle Adiabatengleichungen.- 3. Dreidimensionale zylindersymmetrische und kugelsymmetrische Strömungen.- 4. Nichtisentropische Strömung.- 5. Druckwellen in zylindrischem Rohr.- 6. Vergleich mit der Akustik.- § 24. Anwendungen auf die Oberflächenwellen und auf plastische Spannungsfelder.- 1. Theorie der Oberflächenwellen in seichtem Wasser.- 2. Anwendung der Charakteristikentheorie.- 3. Theorie der ebenen plastischen Spannungsfelder.- 4. Anwendung der Charakteristikentheorie.- § 25. Allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 1. Zurückführung auf ein charakteristisches System.- 2. Pseudolineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 3. Monge-Ampèresche Differentialgleichung.- § 26. Anfangswertproblem und Integration n-gliedriger Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Zurückführung allgemeiner Differentialgleichungen auf Systeme quasilinearer Differentialgleichungen.- 2. Charakteristische Form halblinearer Gleichungssysteme (26.1).- 3. Charakteristische Form allgemeiner quasilinearer Gleichungssysteme (26.1).- 4. Lösung des Anfangswertproblems der charakteristischen Systeme.- 5. Massausche Gitterkonstruktion.- 6. Anwendung auf nichtisentropische Gasströmungen.- 7. Probleme mit gemischten Anfangs- und Randbedingungen.- § 27. Unstetigkeiten bei Lösungen hyperbolischer Differentialgleichungen.- 1. Unstetigkeiten längs Charakteristiken.- 2. Anwendung auf die nichtstationäre Gasströmung.- 3. Unstetigkeiten erster und militer Ordnung.- § 28. Riemannsches Integrationsverfahren.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Greensche Formel.- 3. Randwertproblem der elliptischen Differentialgleichung (28.1) und Greensche Funktion.- 4. Anfangswertproblem der hyperbolischen Differentialgleichung (28.1) und Riemannsche Funktion.- 5. Charakteristisches Anfangswertproblem und Symmetrieeigenschaft der Riemannschen Funktion.- 6. Gegenüberstellung der Greenschen Funktion und der Riemannschen Funktion.- 7. Anwendung des Riemannschen Integrationsverfahren auf die Wellengleichung und die Telegraphengleichung.- §29. Anwendung auf die eindimensionale nichtstationäre und die zweidimensionale stationäre Gasströmung.- 1. Normalform der Potentialgleichung.- 2. Zurückführung der Riemannschen Funktion auf Kugelfunktionen.- 3. Zurückführung der Riemannschen Funktion auf eine Bessel-Funktion.- Viertes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die quasilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 30. Charakteristikentheorie eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Deutung der Differentialgleichung auf einer vorgegebenen Fläche ?.- 2. Charakteristische Flächen.- 3. Charakteristische Kegel und charakteristische Konoide; Unstetigkeiten.- 4. Verallgemeinerung auf p-gliedrige Systeme und auf n unabhängige Veränderliche.- 5. Anfangswertproblem und Massausche Gitterkonstruktion.- § 31. Charakteristikentheorie quasilinearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung.- 2. Charakteristische Flächen als Unstetigkeitsflächen; Wellenfronten.- 3. Huyghenssche Konstruktion der Frontlinien.- § 32. Anwendung auf stationäre und nichtstationäre Gasströmungen.- 1. Dreidimensionale stationäre Überschallströmung.- 2. Zweidimensionale nichtstationäre Strömung.- 3. Schallausbreitung in einer stationären Gasströmung.- § 33. Allgemeine Eigenschaften linearer Differentialgleichungen.- 1. Superposition von Lösungen.- 2. Methode der Variation der Konstanten.- 3. Typeneinteilung.- 4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- §34. Wellengleichung im R1 und R3; Prinzip von Huyghens.- 1. Wellengleichung im R1.- 2. Homogene Wellengleichung im R3.- 3. Verifikation der Lösung.- 4. Beweis des Hilfssatzes (34.15).- 5. Nichthomogene Wellengleichung im R3.- 6. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche; Huyghenssches Prinzip.- 7. Ausstrahlungslösungen.- § 35. Wellengleichung im R2; Absteigmethode von Hadamard.- 1. Homogene und nichthomogene Wellengleichung im R2.- 2. Ausstrahlungslösungen.- 3. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche; Nichtgültigkeit des Huyghensschen Prinzips.- 4. Gegenüberstellung der Ausstrahlungslösungen im R1, R2 und R3.- § 36. Anwendung auf die linearisierte stationäre Überschallströmung um Drehkörper (linienhafte Quellenverteilung).- 1. Achsensymmetrische Strömung um Drehkörper.- 2. Nichtgültigkeit des Huyghensschen Prinzips.- 3. Schiefe Strömung um Drehkörper.- § 37. Wellengleichung im Rm; Darbouxsche Gleichung.- 1. Anfangswertproblem und Ausstrahlungslösungen.- 2. Umformungen und Huyghenssches Prinzip.- 3. Darbouxsche Gleichung der Mittelwerte.- 4. Elementare Lösungen der Darbouxschen Gleichung.- § 38. Reduktion dreidimensionaler Probleme auf zwei- und eindimensionale durch Symmetrieannahmen.- 1. Symmetrieannahmen und Trennung der Veränderlichen.- 2. Nachbarlösungen drehsymmetrischer Überschallströmungen.- 3. Dreh- und kegelsymmetrische Überschallströmungen und Nachbarlösungen.- 4. Kegelsymmetrische linearisierte Überschallströmung.- § 39. Hadamardsche Integrationstheorie.- 1. Grundgedanke.- 2. Greensche Formel im Rn.- 3. Grundlösung.- 4. Darstellungsformel der Lösung des Anfangswertproblems.- §40. Erläuterung des hadamardschen Grenzprozesses.- 1. Endlicher Bestandteil divergenter Integrale.- 2. Rechenregeln für endliche Bestandteile.- 3. Beispiel.- 4. Erweiterung der Betrachtungen auf mehrfache Integrale.- 5. Grenzprozeß ? ? 0 für das Flächenintegral Qm?? über den Mantel des charakteristischen Konoids.- 6. Grenzprozeß ? ? 0.- 7. Symmetrieeigenschaft der Grundlösung G (x, ?).- 8. Verifikation der Darstellungsformel (39.22).- §41. Anwendung auf die Wellengleichung im R2.- 1. Grundlösung.- 2. Grenzprozeß ? ? 0 für das Integral QM?? über den Mantel des charakteristischen Konoids.- 3. Grenzprozeß ? ? 0.- 4. Darstellungsformel.- Fünftes Kapitel Behandlung von Anfangswertproblemen mit Hilfe des Distributionskalküls.- §42. Grundzüge des Distributionskalküls.- 1. Begriff der Distribution im R1.- 2. Ableitung einer Distribution.- 3. Gleichheit von Distributionen; Träger.- 4. Konvergenz.- 5. Faltung; Dirac-Distributionen.- 6. Regularisierung.- 7. Distributionen im Rn.- § 43. Sprungfunktionen.- 1. Funktionen mit endlichem Sprung im R1.- 2. Funktionen mit endlichem im Sprung im Rn.- 3. Funktionen mit unendlich großem Sprung im R1.- 4. Funktionen mit unendlich großem Sprung im Rn.- 5. Beziehungen zum Chadamardschen Grenzprozeß.- §44. Faltungsgleichungen und Anfangswertprobleme.- 1. Verschiedene Typen von Faltungsgleichungen.- 2. Formale Lösung einer Faltungsgleichung mittels Grundlösung.- 3. Anfangswertproblem der Wellengleichung; huyghenssches Prinzip; Absteig- und Aufsteigmethode.- 4. Wellengleichung für m = 1, m = 2 und m = 3.- § 45. Anwendung des Distributionskalküls auf die dreidimensionale stationäre Überschallströmung.- 1. Problem des flachen Körpers (Tragflügel).- 2. Umströmung eines Tragflügels bei vorgegebener Gestalt oder bei vorgegebener Auftriebsverteilung.- 3. Weitere Durchrechnung.- 4. Vereinfachung der Durchrechnung durch den Distributionskalkül.- 5. Problem des schlanken Körpers (drehsymmetrischer Rumpf).- §46. Anwendung der Laplace-Transformation auf Anfangswertprobleme.- 1. Definition und Rechenregeln der Laplace-Transformation in der klassischen Analysis.- 2. Erweiterung der Laplace-Transformation auf Distributionen.- 3. Rechenregeln der Laplace-Transformation im Distributionsraum.- 4. Tabelle von Laplace-Korrespondenzen.- 5. Anwendung auf Faltungsgleichungen.- 6. Anwendung auf Anfangs-Randwert-Probleme bei linearen partiellen Differentialgleichungen.- 7. Anwendung auf Ausstrahlungsprobleme bei linearen partiellen Differentialgleichungen.- 8. Anwendung auf die stationäre Überschallströmung um einen quasizylindrischen Körper.- Namenverzeichnis.