Analytische Eigenschaften des Hindernisproblems. Die Penalty-Methode und die duale Formulierung

ISBN-13: 9783668250437 / Niemiecki / Miękka / 2016 / 60 str.

Julia Flach

Opis

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0, Albert-Ludwigs-Universitat Freiburg (Mathematische Fakultat), Sprache: Deutsch, Abstract: Das Hindernisproblem ist ein typisches und anschauliches Minimierungsproblem, bei dem versucht wird, die Energie des Dirichletfunktionals zu minimieren. Losungsfunktionen werden dabei als schwache Losungen aus einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum interpretiert, was vor allem Beweistechniken aus der linearen sowie der nichtlinearen Funktionalanalysis erfordert. Die Existenz eines Minimierers haben wir mit Hilfe der Direkten Methode der Variationsrechnung bewiesen. Aufgrund der zusatzlichen Voraussetzung der strikten Konvexitat des Energiefunktionals konnten wir die Eindeutigkeit einer schwachen Losung zeigen. Eine notwendige und hinreichende Bedingung an den eindeutig bestimmten Minimierer des Funktionals lieferte die Variationsungleichung, welche im weiteren Verlauf der Arbeit immer wieder Anwendung fand. Tiefer gehende Resultate uber Differentiation in Banachraumen, der Betrachtung des Subdifferentials sowie der auerst nutzlichen Definition einer Indikatorfunktion erlaubte, ein unrestringiertes Funktional zu betrachten und dadurch eine Formulierung mit einem Lagrange-Multiplikator herzuleiten. Besonders die Definition und Unterscheidung des Gebietes in Kontaktzone und deren Komplement brachten uns grundlegende Resultate bezuglich des Lagrange-Multiplikators. Anschlieend haben wir die Regularitat der schwachen Losung thematisiert. Dabei konnten wir feststellen, dass Losungsfunktionen im Eindimensionalen hoheren Regularitsanforderungen genugen. Unter zusatzlichen Voraussetzungen an das zugrunde liegende Gebiet gilt dieses Ergebnis auch in hoherdimensionalen Situationen. Beachtenswert war ein einfaches Beispiel, welches verdeutlichte, dass die Forderung u ∈ H3(Ω) im Allgemeinen nicht gultig ist. Etwas abstrakter wurde die du