Analysis I

ISBN-13: 9783764316150 / Niemiecki / Miękka / 1984 / 258 str.

Ka-Nig

Opis

Dies ist der erste Band einer auf drei Bande angelegten Einfuhrung in die reelle Analysis. Sie soll etwa den Stoff der an den Universitaten der Bundesrepublik Deutsch- land ublichen dreisemestrigen einfuhrenden Vorlesung umfassen. Ich habe diese Vor- lesung viele Male gehalten. Die Darstellung des Buches ist verhaltnismaig kurz und von konzentrierter Diktion. Das Werk wird aber hinreichend umfassend sein, um als Fundament fur das Gesamtgebaude der Analysis dienen zu konnen. Struktur und Stoffauswahl sind durch meine eigenen Arbeiten wesentlich mitbeeinflut. Der erste Band umfat die Grenzwerttheorie und die Differential- und Integral- rechnung fur Funktionen einer reellen Veranderlichen. Er weist gegenuber den vor- liegenden Darstellungen mehrere Besonderheiten auf. 1) Die Begriffe Limes inferior und Limes superior, die in praktisch allen einfuhrenden Lehrbuchern nur fur reelle Zahlenfolgen definiert werden, dienen auch bei den reellen Funktionen einer reellen Veranderlichen als Fundament der Grenzwerttheorie. Der Limes superior wird syste- matisch zum Beweis von Grenzwertaussagen verwendet. Es ist den in der Analysis arbeitenden Forschern gelaufig, da diese Technik besonders kurze und ubersichtliche Schluweisen erlaubt. 2) Der Ideenkreis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung wird vollkommen neu dargestellt, und es wird mit besonderem Gewicht der Einsatz der Differentiation zum Gewinnen von Ungleichungen betrieben. 3) Das Buch entwickelt ausfuhrlich das in der Analysis viel benutzte elementare Stieltjes-Integral, und zwar in einer die komplexwertigen Funktionen und damit die Kurvenintegrale der komplexen Analysis umfassenden Version. 4) Es finden sich viele neue Ubungsaufgaben.

Spis treści

I. Die reellen Zahlen.- 1. Die natürlichen Zahlen.- Präliminarien über Mengen und Funktionen.- Die natürlichen Zahlen.- 2. Körper.- Binäre Operationen.- Körper.- 3. Angeordnete Körper.- Anordnungsrelationen.- Angeordnete Körper.- Einbettung von ? in einen angeordneten Körper.- 4. Vollständige angeordnete Körper und Grundannahme.- Vollständigkeit in einer Anordnungsrelation.- Vollständige angeordnete Körper und Grundannahme.- Wurzeln aus positiven Zahlen.- Infimum und Supremum.- Adjunktion von ? und — ?.- 5. Die reellen Zahlenräume und der Körper der komplexen Zahlen.- Die reellen Zahlenräume ?n.- Skalarprodukt und Absolutbetrag auf ?n.- Der Körper der komplexen Zahlen.- Einschaltung über Kombinatorik.- 6. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen.- Punktweise Operationen und Beschränktheit.- Polynomfunktionen und rationale Funktionen.- Monotone Funktionen.- Konvexe und konkave Funktionen.- II. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Zahlenfolgen.- Limes inferior und Limes superior.- Konvergenz und Grenzwert.- Beispiele.- 2. Häufungswerte und Teilfolgen.- Häufungswerte.- Abzählbare Mengen.- Teilfolgen.- Komplexe Zahlenfolgen.- 3. Unendliche Reihen.- Konvergenz und absolute Konvergenz.- Kriterien für absolute Konvergenz.- Rechengesetze für absolut konvergente unendliche Reihen.- Beispiele.- Darstellung derreellen Zahlen durch unendliche Reihen.- 4. Grenzwerte von Funktionen.- Grenzverhalten bei x ? ?.- Verwandte Grenzwertbegriffe.- Komplexwertige Funktionen.- 5. Stetige Funktionen.- Stetigkeit in einem Punkte.- Stetigkeit auf einem Intervall.- Der Zwischenwertsatz.- Komplexwertige Funktionen.- 6. Folgen von Funktionen.- Punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz.- Unendliche Reihen von Funktionen.- III. Differentiation bei Funktionen einer reellen Veränderlichen.- 1. Die Differentiation.- Differenzierbarkeit in einem Punkte.- Differenzierbarkeit auf einem Intervall.- Beispiele und Anwendungen.- Komplexwertige Funktionen.- 2. Differentiation und Funktionenfolgen.- Folgen von Funktionen.- Dietrigonometrischen Funktionen und die komplexe Logarithmusfunktion.- 3. Mehrfache Differentiation.- Definition und einfache Konsequenzen.- Näherungspolynome.- Der Satz von Taylor.- Analytische Funktionen.- IV. Integration bei Funktionen einer reellen Veränderlichen.- 1. Das Riemann-Integral.- Definition des Riemann-Integrals.- Eigenschaften des Riemann-Integrals.- Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 2. Das Berechnen von Stammfunktionen und Integralen.- Das Problem und das methodische Arsenal.- Beispiele.- Rationale Funktionen.- Weitere Beispiele.- 3. Das Stieltjes-Integral.- Definition des Stieltjes-Integrales.- Eigenschaften des Stieltjes-Integrales.- Funktionen von beschränkter Variation.- Das Stieltjes-Integral in Bezug auf Funktionen von beschränkter Variation.- 4. Uneigentliche Integrale.- Definition des uneigentlichen Integrales.- Beispiele.- Die Gamma-Funktion.- Lehrbücher der Analysis.- Verzeichnis der Symbole.- Verzeichnis der Definitionen.- Verzeichnis von Stichworten zu den numerierten Sätzen, Beispielen, Aufgaben etc.