Analysis Für Wirtschaftswissenschaftler Und Ingenieure

ISBN-13: 9783540601081 / Niemiecki / Miękka / 1995 / 387 str.

Dieter Hoffmann

Opis

Dieses Buch behandelt in einer eleganten, vergleichsweise konzisen Form zentrale Themen der Analysis, wie sie in einer zweisemestrigen Vorlesung fur Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure, aber auch fur Informatiker an Universitaten und Fachhochschulen behandelt werden. Die Ideen werden - mit standigem Blick auf Anwendungen - behutsam herausgearbeitet, zu leistungsfahigen Methoden ausgestaltet und durch vollstandig durchgerechnete Beispiele erlautert. Instruktive Abbildungen tragen zur Veranschaulichung bei. Eine Fulle von Ubungsaufgaben rundet den Text ab. Das Buch ist als Basis fur eine Vorlesung, aber auch zum Selbststudium, bestens geeignet."

Spis treści

1 Grundlagen.- 1.1 Mengen und ihre Verknüpfungen.- 1.2 Aussagen und Quantoren.- 1.3 Abbildungen und ihre Eigenschaften.- 1.4 Die reellen Zahlen.- 1.4.1 Axiome und erste Folgerungen.- 1.4.2 „Bruchrechnen“.- 1.4.3 Das Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen.- 1.5 Die natürlichen und die ganzen Zahlen.- 1.5.1 Vollständige Induktion, rekursive Definition.- 1.5.2 Binomial-Koeffizienten, Binomischer Satz.- 1.6 Die rationalen Zahlen.- 1.7 Zum Vollständigkeitsaxiom.- 1.8 Darstellungen reeller Zahlen.- 1.9 Komplexe Zahlen.- 1.9.1 Einführung der komplexen Zahlen.- 1.9.2 Konjugiert komplexe Zahlen, Beträge, Real- und Imaginärteil.- 1.10 ,Stetigkeit‘ der Grundoperationen (in ? und ?).- 2 Funktionen einer reellen Variablen.- 2.1 Der Funktionsbegriff.- 2.1.1 Definition und erste Beispiele.- 2.1.2 Graphische Darstellung von Funktionen.- 2.1.3 Grundeigenschaften von Funktionen.- 2.1.4 Verknüpfung von Funktionen.- 2.2 Ganzrationale Funktionen (Polynome).- 2.2.1 Das HORNER-Schema.- 2.2.2 Stellenwertsysteme.- 2.2.3 Das Rechnen mit Polynomen.- 2.2.4 Nullstellen von Polynomen.- 2.3 (Gebrochen) Rationale Funktionen.- 3 Folgen, Reihen — GrenzwertbegrifF, Stetigkeit.- 3.1 Folgen.- 3.1.1 Definitionen.- 3.1.2 Konvergenz von Folgen.- 3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten (Grundregeln).- 3.1.4 Bestimmte Divergenz.- 3.1.5 C AUCH Y-Kriterium.- 3.2 Reihen.- 3.2.1 Definitionen und erste Beispiele.- 3.2.2 Das Rechnen mit Reihen.- 3.2.3 Absolut konvergente Reihen.- 3.2.4 Konvergenzkriterien (für absolute Konvergenz).- 3.2.5 Alternierende Reihen, LEIBNIZ-Kriterium.- 3.3 Potenzreihen.- 3.3.1 Definition, Konvergenzradius.- 3.3.2 Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos — Teil I.- 3.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit.- 3.4.1 Grenzwerte von Funktionen.- 3.4.2 Stetigkeit, Zwischenwertsatz.- 3.4.3Unstetigkeiten.- 4 Differentialrechnung.- 4.1 Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten.- 4.2 Differentiationsregeln (Ableitungskalkül).- 4.3 Beispiele.- 4.4 Satz von ROLLE und verallgemeinerter Mittelwertsatz; lokales Verhalten.- 4.5 Differentiation von Potenzreihen.- 4.6 Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos — Teil II.- 4.7 Die Funktionen tan, cot, Tan, Cot.- 4.8 Differentiation der Umkehrfunktion.- 4.9 Höhere Ableitungen.- 4.10 Konvexität, Konkavität.- 4.11 Anwendungen.- 4.11.1 Kurvenuntersuchungen.- 4.11.2 Extremwertaufgaben.- 4.12 Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen.- 5 Integralrechnung.- 5.1 Stammfunktionen (unbestimmte Integrale).- 5.1.1 Grundlagen.- 5.1.2 Integraltafel (Tabelle von Stammfunktionen).- 5.1.3 Integration rationaler Funktionen.- 5.1.4 Integration gewisser algebraischer Funktionen.- 5.1.5 Integration gewisser transzendenter Funktionen.- 5.2 Bestimmtes Integral, Flächeninhalt.- 5.2.1 Vorüber legungen zum Flächeninhalt.- 5.2.2 Definition des bestimmten Integrals („RIEMANN- Integral“).- 5.2.3 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 5.2.4 Anwendungsbeispiele (Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen, LEiBNizsche Sektor-formel, Volumenberechnung von Rotationskörpern).- 5.3 Uneigentliche Integrale.- 5.3.1Definition des uneigentlichen Integrals.- 5.3.2 Absolute Integrierbarkeit; Majorantenkriterium.- 5.3.3 Zusammenhang mit der Konvergenz von Reihen.- 5.3.4 Die T-Funktion.- 5.4 Elementare Methoden zur numerischen Berechnung von Integralen.- 5.4.1 Trapez- und SIMPSON-Regel.- 5.4.2 Zusammengesetzte Formeln.- 6 Approximation von Funktionen.- 6.1 Polynom-Interpolation.- 6.2 TAYLOR-Reihen.- 6.3 Unbestimmte Ausdrücke, Regeln von DE L’HOPITAL.- 6.4 FOURIER-Reihen.- 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGLn).- 7.1 Richtungsfelder (für explizite DGLn 1. Ordnung).- 7.2 DGLn mit „getrennten Variablen“.- 7.3 Die lineare DGL 1. Ordnung.- 7.4 BERNOULLische DGL.- 7.5 EuLER-homogene DGLn.- 7.6 Explizite DGLn 2. Ordnung ,ohne y’.- 7.7 Explizite DGLn 2. Ordnung ,ohne x’.- 7.8Lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 7.8.1 Allgemeine Lösung der homogenen DGL.- 7.8.2 Reelle Lösungen zu komplexen Nullstellen.- 7.8.3 Spezialfall n = 2.- 7.8.4 Lösung der inhomogenen DGL.- 8 Differenzenrechnung und Differenzengleichungen.- 8.1 Differenzenoperator.- 8.2 Höhere Differenzen.- 8.3 Faktorielle.- 8.4 (Gewöhnliche) Differenzengleichungen.- 8.5 Lineare Differenzengleichungen.- 8.6 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung.- 8.7 Lineare DZGn mit konstanten Koeffizienten, Operatormethoden.- 8.8 Inhomogene Differenzengleichungen.- 9 Funktionen mehrerer Variabler.- 9.1 Der ?n als normierter Vektorraum.- 9.2 ,Geometrie‘ ?-wertiger Funktionen.- (Graphen, Niveaumengen, Vertikalschnitte).- 9.3 Folgenkonvergenz, Grenzwert (von Funktionen) und Stetigkeit.- 9.4 (,Totale‘) Differenzierbarkeit, partielle Differenzierbarkeit.- 9.5 Partielle Ableitungen höherer Ordnung, Satz von SCHWARZ.- 9.6 Satz von TAYLOR, Fehlerfortpflanzung, HESSEsche Matrix.- 9.7 Extremwerte (Notwendige und hinreichende Bedingungen).- 9.8 Satz über implizite Funktionen, Extrema unter Nebenbedingungen (LAGRANGE-Multiplikatoren).- 10 Übungen.- 10.1 Übungen zu Kapitel 1.- 10.2 Übungen zu Kapitel 2.- 10.3 Übungen zu Kapitel 3.- 10.4 Übungen zu Kapitel 4.- 10.5 Übungen zu Kapitel 5.- 10.6 Übungen zu Kapitel 6.- 10.7 Übungen zu Kapitel 7.- 10.8 Übungen zu Kapitel 8.- 10.9 Übungen zu Kapitel 9.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.