Analysis 1 , m. 1 Buch, m. 1 E-Book

ISBN-13: 9783662677759 / Niemiecki / Mixed media product / 2023 / 298 str.

Martin Brokate; Johannes Zimmer; Florian Lindemann

Opis

Ziel dieses Lehrbuchs ist es, das Material des ersten Semesters eines Vorlesungszyklus zur Analysis prägnant und verständlich darzustellen und darüber hinaus Ausblicke und Ergänzungen zu geben, die den Stoff lebendig werden lassen. 
Besonderer Wert wird auf die Motivation der zu behandelnden Themen gelegt. Zu Beginn des Buchs wird die mathematische Denkweise, insbesondere Beweistechniken und axiomatisches Vorgehen, ausführlich eingeführt. Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die regelmäßig und seit vielen Jahren an der TU München abgehalten werden. Zahlreiche Abbildungen veranschaulichen die behandelten Konzepte und Ideen. Zudem ermöglicht dieses Lehrbuch den Zugriff auf mehr als 250 interaktive Aufgaben in der Springer Nature Flashcards-App, mit denen Wissen und Verständnis überprüft werden kann - hervorragend geeignet auch zur Prüfungsvorbereitung.

Spis treści

Inhaltsverzeichnis

1 Aussagen

1.1 Grundlagen

1.2 Verknupfung von Aussagen

1.3 Quantoren

2 Vollstandige Induktion

2.1 Summen- und Produktnotation

2.2 Die Beweismethode der vollstandigen Induktion

2.3 Verallgemeinerungen des Induktionsprinzips

2.4 Bonusmaterial und Anmerkungen

3 Mengen

3.1 Grundbegri_e der Mengenlehre

3.2 Mengenoperationen und ihre Rechenregeln

3.3 Indizierte Mengen

3.4 Mengen von Mengen

3.5 Geordnete Paare. Das Produkt zweier Mengen

3.6 Schlussbemerkungen

3.6.1 Cantors Werk und seine Rezeption

3.6.2 Zur De_nition der naturlichen Zahlen

4 Einige Beweistechniken

4.1 Kontraposition und Widerspruchsbeweis

4.2 Zum axiomatischen Aufbau der Mathematik

4.3 Die Jagd nach dem kleinsten Verbrecher

5 Reelle Zahlen

5.1 Axiomatische Charakterisierung

5.1.1 Korperaxiome

5.1.2 Anordnungsaxiome

5.1.3 Vollstandigkeit

5.2 Folgerungen aus den Korpereigenschaften

5.3 Potenzen

5.4 Elementare Ungleichungen

5.5 Absolutbetrag, Minimum und Maximum

5.6 Supremum und In_mum. Vollstandigkeit

5.7 Ausblick: Zum Archimedischen Axiom

6 Funktionen

6.1 Der Funktionsbegri

6.2 Eigenschaften von Abbildungen

6.3 Die Umkehrfunktion. Wurzeln

6.4 Komposition von Funktionen

7 Die komplexen Zahlen

7.1 Motivation

7.2 De_nition und elementare Eigenschaften komplexer Zahlen

7.3 Nachbemerkung und Ausblick

8 Folgen

8.1 Motivation

8.2 Folgen und Grenzwerte

8.3 Rechenregeln fur Grenzwerte

8.4 Vertraglichkeit von Grenzwert und Ungleichungen

8.4.1 Montone Folgen

8.5 Uneigentliche Konvergenz

8.6 Der Satz von Bolzano-Weierstra

8.6.1 Teilfolgen und Haufungspunkte

8.7 Limes superior und Limes inferior

8.8 Vollstandigkeit

8.9 Folgen komplexer Zahlen

8.10 Bonusmaterial

9 Reihen

9.1 Motivation und grundlegende Begri_e

9.2 Absolute Konvergenz

9.3 Weitere Konvergenzkriterien

9.4 Alternierende Reihen

9.5 Potenzreihen

9.6 Reihenprodukte

9.7 Bemerkungen und Ausblicke

10 Stetige Funktionen

10.1 Motivation

10.2 Grundlegende Begri_e

10.3 Satze uber stetige Funktionen

10.4 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen

10.5 Monotone Funktionen

10.6 Anmerkungen

11 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus

11.1 Die Exponentialfunktion im Reellen

11.2 Die Exponentialfunktion im Komplexen. Trigonometrische Funktionen

11.3 Die Kreiszahl

11.4 Polarkoordinaten

11.5 Tangens und hyperbolische Funktionen

11.6 Logarithmen

11.7 Die allgemeine Potenzfunktion

12 Di_erenzierbarkeit reeller Funktionen

12.1 Kontext. De_nition der Di_erenzierbarkeit

12.2 Rechenregeln

12.3 Eigenschaften di_erenzierbarer Funktionen

12.4 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

12.5 Hohere Ableitungen

12.6 Konvexe Funktionen

12.7 Schlussbemerkung: Nicht di_erenzierbare Funktionen

13 Folgen von Funktionen

13.1 Punktweise Konvergenz

13.2 Gleichma_ige Konvergenz

14 Das Integral

14.1 Grundlagen

14.2 Der Hauptsatz der Di_erential- und Integralrechnung

14.3 Integrationsregeln

14.4 Bonusmaterial: Integrationspraxis

14.4.1 Integration rationaler Funktionen

14.4.2 Integrale von Verkettungen rationalen Funktionen

14.5 Weitere Charakterisierungen von Regelfunktionen

14.6 Uneigentliche Integrale

14.7 Anwendung: Wallis'sches Produkt und Stirlingsche Formel

14.8 Ausblick

15 Vertauschungssatze

15.1 Punktweise Konvergenz: Drei Enttauschungen

15.2 Vertauschungssatze fur gleichma_ige Konvergenz

16 Potenzreihen und Taylorreihen

16.1 Gleichma_ige Konvergenz von Potenzreihen

16.2 Taylorreihen

16.3 Bonusmaterial

17 Einfuhrung in Di_erentialgleichungen

17.1 Separable Di_erentialgleichungen erster Ordnung

17.2 Inhomogene Gleichungen erster Ordnung

17.2.1 Integrierende Faktoren

17.2.2 Variation der Konstanten

17.3 Anwendung: Co_eingehalt im Blut

18 Unendliche Mengen

O autorze

Prof. Dr. Martin Brokate ist Professor i.R. für Mathematik an der Technischen Universität München.

Prof. Dr. Johannes Zimmer ist Professor für Analysis und Modellbildung an der Technischen Universität München.

Dr. Florian Lindemann ist Akademischer Rat an der Technischen Universität München. 

Blurb

Ziel dieses Lehrbuchs ist es, das Material des ersten Semesters eines Vorlesungszyklus zur Analysis prägnant und verständlich darzustellen und darüber hinaus Ausblicke und Ergänzungen zu geben, die den Stoff lebendig werden lassen. 

Besonderer Wert wird auf die Motivation der zu behandelnden Themen gelegt. Zu Beginn des Buchs wird die mathematische Denkweise, insbesondere Beweistechniken und axiomatisches Vorgehen, ausführlich eingeführt. Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die regelmäßig und seit vielen Jahren an der TU München abgehalten werden.

 

Zahlreiche Abbildungen veranschaulichen die behandelten Konzepte und Ideen. Zudem ermöglicht dieses Lehrbuch den Zugriff auf mehr als 250 interaktive Aufgaben in der Springer Nature Flashcards-App, mit denen Wissen und Verständnis überprüft werden kann – hervorragend geeignet auch zur Prüfungsvorbereitung.

Die Autoren

Prof. Dr. Martin Brokate ist Professor i.R. für Mathematik an der Technischen Universität München.

Prof. Dr. Johannes Zimmer ist Professor für Analysis und Modellbildung an der Technischen Universität München.

Dr. Florian Lindemann ist Akademischer Rat an der Technischen Universität München.